1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）ABAB（B）若 AB0，则 A0 或 B0（C） ABA B（D）ABAB2 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且A 1， 2， 3， 1m，B 1， 2， 2， 3n，则 3， 2， 1， 1 2为( )（A）mn（B） m 一 n（C）一 (mn)（D）n 一 m3 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB0（C）当 nm 时，必
2、有AB0（D）当 nm 时，必有AB04 设 A，B，AB，A 1 B 1 皆为可逆矩阵，则(A 1 B 1 )1 等于( )（A）AB（B） A1 B 1（C） A(AB) 1 B（D）(AB) 15 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(AB) *A *B *（B） (AB)*B *A*（C） (AB)*A *一 B*（D）(AB) *一定可逆6 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） knA*（C） kn1 A*（D）k n(n1) A*7 设 A 为 n 阶矩阵，A 2A，则下列成立的是( )（A）A0（B） AE（C）若 A 不
3、可逆，则 A0（D）若 A 可逆，则 AE8 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)mn，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m 0)9 设则m，n 可取( )（A）m3，n2（B） m3，n5（C） m2，n3（D）m2，n210 （A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P111 设 ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQ 0，则( ) （A）当 t6 时，r(Q) 1（B）当 t6 时，r(Q)2（C）当 t
4、6时，r(Q)1（D）当 t6时，r(Q)2二、填空题12 13 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E AE 一 2AE 一3A0，则B 1 2E_14 设 A 为三阶正交阵，且A0，BA一 4，则EABT_15 设 A 为 n 阶矩阵，且Aa0，则(kA) * _16 设 A，B 都是三阶矩阵， ，且满足 (A*)1 BABA2A 2，则B_17 设矩阵 A，B 满足 A*BA2BA 一 8E，且 ，则B_18 19 设 A ，B 为三阶矩阵，r(B *)1 且 AB0，则 t_20 设 A ，B0 为三阶矩阵，且 BA0，则 r(B)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
5、步骤。21 设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA022 设 A(a ij)nn 是非零矩阵，且 A中每个元素 aij 与其代数余子式 Aij 相等证明：A023 24 25 26 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 11， 22 为 A 的两个特征值，B 2，求26 设 AE 一 T，其中 为 n 维非零列向量证明：27 A2A 的充分必要条件是 为单位向量；28 当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵28 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 是 n 维列向量，b 为常数，29 计算 PQ；30 证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA1 b31 设矩阵 A 满足(2E C1 B)ATC 1 ，且
6、，求矩阵 A.32 设 ， 是 n 维非零列向量，A T T证明： r(A)233 设 是 n 维单位列向量，AE 一 T证明： r(A)n34 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *) ，其中 n235 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量，使得 A T36 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n 一 1证明：存在常数 k，使得(A *)2kA *37 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*A n2 A38 设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB0证明：r(A)r(B)n考研数学一（线性代数）模拟试卷 5 答案与解析一、选择
7、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 、(C) 显然不对，设 ，显然 A，B 都是非零矩阵，但 AB0，所以AB0，(B)不对，选(D)【知识模块】 线性代数部分2 【正确答案】 D【试题解析】 3， 2， 1， 1 2 3， 2， 1， 1 3， 2， 1， 2一 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2一 1， 2， 3， 1 1， 2， 2， 3n 一 m， 选(D)【知识模块】 线性代数部分3 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(
8、B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)n m，于是AB0，选(B)【知识模块】 线性代数部分4 【正确答案】 C【试题解析】 A(AB) 1 B(A1 B 1 )一(A B)A 1 1 (BA1 E)(BA 1 E)1 (BA1 E)E，所以选(C)【知识模块】 线性代数部分5 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *AB(AB)1 ABB 1 A1 BB 1 ?AA 1 B *A*，所以选(B)【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n 一 1 阶子式，所以(kA) *k n1
9、A*，选(C)【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2A，所以 A(EA)0，由矩阵秩的性质得 r(A)r(EA)n，若 A 可逆，则 r(A)n，所以 r(EA)0，A E，选(D)【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)mn ，得 r(A) mn，所以方程组 AXb 有无穷多个解选(C) 【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分10 【正确答案】 C【试题解析】 BAE 14E23 或 BAE 23E14 即 BAP 1P2 或 BAP 2P1，所以B1 P21 P11 A1 或
10、 B1 P 11 P21 A1 ，注意到 Eij1 E ij，于是B1 P2P1A1 或 B1 P 1P2A1 ，选(C) 【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Q0，所以 r(Q)1，又由 PQ0 得 r(P)r(Q)3，当 t6时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)1，选(C)【知识模块】 线性代数部分二、填空题12 【正确答案】 0【试题解析】 A 31A 32A 33A 31A 32A 330A 340A 35【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 60【试题解析】 因为EAE 一 2AE 一 3A0，所以 A 的三个特征值为 ，又 AB，所
11、以 B 的特征值为 ，从而 B1 的特征值为1，2，3，则 B1 2E 的特征值为 3，4，5，故B 1 2E60【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 4【试题解析】 A0 A一 1.EAB TAA TABTA(AB T)一ABBA4【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 K n(n1) an1【试题解析】 因为(kA) *K n1 A*，且A * A n1 ，所以(kA)*k n1 A*k n(n1) A N1 K n(n1) an1【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 【试题解析】 A一 3，A *AA 1 一 3A1 ，则(A *)1 BABA2A 2 化为 ABA
12、2A 2，注意到 A 可逆，得 BA2A 或一 B3BA6A，则 B一 6A(E3A) 1 ，【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA2BA 一 8E，得 AA*BA2ABA 一 8A，即一2BA2ABA 一 8A，于是一 2B2AB 一 8E，(A E)B4E，所以 B4(A E)1 .【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*) 1，所以 r(B)2，又因为 AB0，所以 r(A)r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)1，于是 t6【知识模块】 线性
13、代数部分20 【正确答案】 1【试题解析】 BA0r(A) r(B)3 ，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 B0，所以 r(B)1【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATAE，两边取行列式得A 21，因为A0，所以A一 1。 由EAA TAA(A TE)AAA TE 一A TE一(A E) T一E A 得EA 0【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则 Aa k1Ak1a k2Ak2a knAkna k12a
14、k22a kn20【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由B 1232 得 31AE 的特征值为 2，3，2，(AE) 1 的特征值为，则(AE) 1 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为，即为 2，1，2，于是B *4，(2B)*4B *4 3B *256，故【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 令 Tk，则 A2(E 一 T)(E 一 T
15、)E 一 2Tk T，因为为非零 向量，所以 T0，于是 A2A 的充分必要条件是 k1，而T 2，所以 A2A 的充要条件是 为单位向量【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 当 是单位向量时，由 A2A 得 r(A)r(EA)n，因为 E 一A T0，所以 r(EA)1，于是 r(A)n一 1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分29 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分30 【正确答案】 PQA 2(b 一 TA1 )，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0 ，即 TA1 b【知识模块】 线性代数部分31 【正确答案】 由(2E C1 B)ATC
16、 1 ，得 AT(2EC 1 B)1 C1 C(2E C1 B)1 (2CB) 1【知识模块】 线性代数部分32 【正确答案】 r(A)r( T T)r(T)r( T)，而 r(T)r()1，r( T)r()1，所以 r(A)r(T)r( T)2【知识模块】 线性代数部分33 【正确答案】 A 2(E 一 T)(E 一 T)E 一 2T T.T，因为 为单位列向量，所以 T1，于是 A2A由 A(EA)0 得 r(A)r(EA)n，又由 r(A)r(E A)rA(EA) r(E)n，得 r(A)r(E A)n因为 E 一 A T0，所以 r(EA)r( T)r()1，故 r(A)n 一 ln
17、【知识模块】 线性代数部分34 【正确答案】 AA *A *AAE 当 r(A)n 时，A 0，因为A *A n1 ，所以A *0，从而 r(A*)n； 当 r(A)n 一 1 时，由于A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是A*0，故 r(A*)1，又因为A0，所以 AA*AE0，根据矩 阵秩的性质有 r(A)r(A *)n，而 r(A)n 一 1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)1； 当 r(A)n 一 1时，由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，所以 A*0，故 r(A*)0【知识模块】 线性代数部分35 【正确答案】 设 r(A)
18、 1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， 【知识模块】 线性代数部分36 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分37 【正确答案】 (A *)*A*A *EA n1 E，当 r(A)n 时，r(A *)n，A *AA 1 ，则 (A *)*A*(A *)*AA 1 A n1 E，故(A *)*A n2 A当 r(A)n 一 1 时，A0，r(A *)1，r(A *)*0，即(A *)*0，原式显然成立当 r(A)n 一 1 时，A0，r(A *)0，(A *)*0，原式也成立【知识模块】 线性代数部分38 【正确答案】 令 B( 1， 2， s)，因为 AB0，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX0 的一组解，而方程组 AX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n 一 r(A)，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 n 一r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)r(B)n【知识模块】 线性代数部分
