1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 65 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 =( )（A）30m（B） -15m（C） 6m（D）-6m 2 已知 A= ，矩阵 B 满足 A*B+4A-1=B，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则B =( )3 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+A-4E=0，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则(A-E) -1=( )4 设 A，B，C 为 n 阶矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C=( )（A）E （B） -E（C） A（D）-A5 设向量组 1=(6，+1，7)， 2=(，2，2)， 3=(，1，0)线性相关，
2、则( )（A）=1 或 =4（B） =2 或 =4（C） =3 或 =4（D）=-32 或 =46 设 A，B，C ，D 是 4 个 4 阶矩阵，其中 A0， B0，C0，D0 ，且满足 ABCD=0若 R(A)+R(B)+R(C)+R(D)=r，则 r 的取值范围是 ( )（A）r10（B） 10r12（C） 12r16（D）r167 设 1， 2， 3 均为三维向量，则对任意常数 K， L，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量 1， 2， 3 线性无关的( )（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件8 设 1= ，则 3 条直线a1x+b
3、1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=1 ，2，3)交于一点的充要条件是( )（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C） R(1， 2， 3)=R(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关9 设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵下列命题不正确的是( )（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价（B）若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价（C）若 B=PAQ，则 A 的行 (列)向量组与 B 的行(列)向量组等价（D）若 A 的行(
4、列) 向量组与 B 的行(列)向量组等价，则 A 与 B 等价10 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是其对应的齐次线性方程组的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解必是( )（A）k 11+k2(1+2)+（B） k11+k2(1-2)+（C） k11+k2(1+2)+（D）k 11+k2(1-2)+11 设有齐次线性方程组 AX=0 与 BX=0，其中 A， B 为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 AX=0 的解均是 BX=0 的解，则 R(A)R(B)；若 R(A)R(B)，则 AX=0 的解均是 BX=0 的解；若 A
5、X=0 与 BX=0 同解，则 R(A)=R(B)；若 R(A)R(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解其中正确的是( )（A），（B） ，（C） ，（D），12 设 1， 2， 3， 4 是 4 维非零列向量组，A=( 1， 2， 3， 4)，A *是 A 的伴随矩阵，已知方程组 AX=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T，则方程组 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1+2， 2+3，3 3（C） 2， 3， 4（D） 1+2， 2+3， 3+4， 4+113 矩阵 A= 的特征值为 ( )（A）1，4，0（B） 2，3，0（C） 2，4，0（D）2，4，-
6、114 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知规维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T15 下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是( )16 n 阶方阵 A 与 B 的特征多项式相同，则( )（A）A，B 同时可逆或不可逆（B） A，B 有相同的特征值和特征向量（C） A，B 与同一对角矩阵相似（D）矩阵(E-A)与(E-B)相等17 设 A 是 n 阶方阵，交换 A 的第 i，j 列后再交换第 i，j 行得到的矩阵记为 B，则A 和 B( )（A）等价但不相似
7、（B）相似但不合同（C）相似、合同但不等价（D）相似、等价、合同18 已知 f(x1， x2，x 3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3 的秩为 2，则 c=( )（A）3（B） -3（C） 2（D）-2 二、填空题19 计算 n 阶行列式：D n= =_20 设矩阵 A=E-T，其中 ， 是 n 维非零列向量，且 A2=3E-2A，则T=_21 设 A 是 n 阶可逆矩阵，满足 A2=E，则 R(A-E)+R(A+E)=_22 设向量组 1=(1，2，3，4) T， 2=(2，3，4，5) T， 3=(3，4，5，6)T， 4=(4，5，6，7) T，则 R(
8、1， 2， 3， 4)=_23 四元齐次线性方程组 的基础解系是_24 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n-1，则线性方程组 AX=0的通解为_25 设线性方程组() 有非零公共解，则参数 a=_26 可逆矩阵 U=_时， A= 可由 U-1AU 对角化27 若 n 阶矩阵 A 有 n 个属于特征值 的线性无关的特征向量，则 A=_考研数学一（线性代数）模拟试卷 65 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因为条件 A*B+4A=B 4A-1=B
9、-A*B 4AA-1=(A-AA*)B 4E= A- AEB B= 又因为 A= =-2，所以 A-AE= A-AE=34 2，B= ，所以选择 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 A 2+A-4E=0 A2+A-2E=2E (A-E)(A+2E)=2E (A-E)=E所以由定义得(A-E) -1= ，所以选择 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB (E-A)B=E，所以(E-A) -1=B从而 (E-A)B=B(E-A)=E， AB=BA，则 B-C=E+AB-A-CA=E-A+BA-CA=E-A+(B-C)A， (B-C)(E-A
10、)=E-A，由E-A 可逆，有 B-C=E 可逆，应选 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因 1， 2， 3 线性相关，故 1， 2， 3= =22-5-12=0，解得 1=32 或 2=4【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A0，D0，故 R(A)1，R(D)1，R(A)+R(D)2又因为B 0，C0，故 R(B)=4，R(C)=4从而有R(A)+R(B)+R(C)+R(D)10又由 ABCD=0 以及 B 和 C 可逆知，R(A)+R(D)=R(AB)+R(CD)4于是R(A)+R(B)+R(C)+R(D)12所以 10r12，选择 B【知
11、识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 因为( 1+k3， 2+l3)=(1， 2， 3) 必要性：记A=(1+k3， 2+l3)，B=( 1， 2， 3)，C= 若 1， 2， 3 线性无关，则R(A)=R(BC)=R(C)=2，故 1+k3， 2+l3 线性无关 充分性：当 3=0 时，则1， 2 线性无关，但此时 1， 2， 3 却线性相关 综上所述，对任意常数 k，l，向量 1+k3， 2+l3 线性无关是向量 1， 2， 3 线性无关的必要非充分条件 故选 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 将上述方程组写成矩阵形式：A 32X=b，其中 A= =(
12、1， 2)是其系数矩阵， b= =-3 A 项1， 2， 3 线性相关，当 1=2=3 时，方程组 AX=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数，则方程组有无穷多解，根据解的个数与直线的位置关系3 条直线重合，A 不成立 B 项 1， 2， 3 线性无关， 3 不能由 1， 2 线性表出，方程组 AX=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等，方程组无解，根据解的个数与直线的位置关系，3 条直线无交点，B 不成立 C 项 R(1， 2， 3)=R(1， 2)，当 R(1， 2， 3)=R(1， 2)=1 时，3 条直线重合，不只交于一点，故C 不成立【知识模块】 线性代数9 【正确答案】
13、 C【试题解析】 事实上，将 A，B 按列分块：A=( 1， 2， n)，B=(1， 2， ， n)，则( 1， 2， n)=(1， 2， n) 这表明向量组 1， 2， n 可由向量组 1， 2， ， n 线性表示由于 Q 可逆，从而有 A=BQ-1，即( 1， 2， n)=(1， 2， n)Q-1这表明1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示从而这两个向量组等价选项 A 正确 同理将 A 与 B 按行分块，由 PA=B 易知 A 与 B 的行向量组等价，从而 B、 D 都正确事实上，若 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价，则此两向量组等秩，从而矩阵 A 与 B 等
14、秩，于是 A 与 B 等价反例：易见 A 的行(列) 向量组与 B 的行(列)向量组不等价所以应选 C【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 排除 A： 不是方程组 AX=b 的解； 排除 C： 1+2 不是方程组 AX=0 的解； 排除 D：虽然 1， 1-2 是 AX=0 的解，但 1， 1-2 是否线性无关未知，故不能断定它们构成 AX=0 的基础解系 选项 B：AX=-b 的通解由 Ax=0通解加上 Ax=b 的特解组成 因为 A1=b，A 2=b，A( 1+2)=2b，故是 Ax=b 的特解 因为 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 1， 2 无关且 A1=0
15、，A 2=0，从而 A(1-2)=0 且 1 与 1-2 无关(设k11+k2(1-2)=0，则(k 1+k2)2-k22=0，因 1， 2 无关，从而 k1=k2=0)，所以1， 1-2 可做 Ax=0 的基础解系，从而 B 正确【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 与 BX=0 同解，则 R(A)=R(B)，即命题成立，可排除 A、C；但反过来，若 R(A)=R(B)，则不能得到方程组 AX=0 与 BX=0 同解，如 A= 有 R(A)=R(B)，但 AX=0 与 BX=0 不同解，可见命题不成立，排除 D故选 B【知识模块】 线性代数12 【正确
16、答案】 C【试题解析】 由 AX=0 的基础解系仅含 1 个解向量，知 A0 且 R(A)=3，所以R(A*)=1，A *X=0 的基础解系应含 3 个解向量，故排除 D 又由题设有(1， 2， 3， 4)(1，0，2，0) T=0，即 1+23=0，亦即 1， 3 线性相关，所以排除A、B，选择 C【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 得特征值为 0，1，4，所以选择 A【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 B【试题解析】 因为 a 是 A 的属于特征值 的特征向量，所以 A=，矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量必须满足(P -1AP)T=，将 =PT 代
17、入得 (P -1AP)T(PT)=PTAT(P-1)TPT= PTAT(PT)-1PT=PTA=(PT)， 故 PT 是矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量，选 B【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 B【试题解析】 设 4 个答案中的矩阵依次为 A，B， C，D，则E-A =0，得 1=1， 2=2， 3=3，因它有 3 个不同的特征值，则必可对角化，故可排除 A；又 E-B= =(-1)2(-2)=0，得1=2=1， 3=2，B 是否可对角化取决于 1=2=1 时，方程组(E-B)X=0 的基础解系是否含 2 个解向量由 E-B= 知 R(E-B)=2，故方程组(E-B)X=
18、0 的基础解系只含 1 个解向量，此时 B 只有两个线性无关的特征向量，而 B 是 3 阶矩阵，故 B 不能相似于对角矩阵，所以选择 B选项 C 中矩阵为实对称矩阵，故一定可相似对角化，所以不选择 C选项 D：E-D= =(-1)2(-2)=0，得 1=2=1， 3=2，D 是否可对角化取决于对 1=2=1，方程组(E-D)X=0 的基础解系是否含 2 个解向量，由 E-D= 知 R(E-D)=1，故方程组(E-D)X=0 的基础解系含 2 个解向量，则 D 可相似对角化，所以排除 D【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 A【试题解析】 因为E-A=E-B，矩阵 A，B 有相同的特征值，因
19、此A=B= ，故 A，B 同时可逆或不可逆，选 A【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 D【试题解析】 B=E(i，j)AE(i，j)，因 E(i，j)=E(i， j)，E(i，j) T=E(i，j)，故 A 和B 相似、等价、合同【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A【试题解析】 二次型 f 所对应的矩阵为 对 A 作初等行变换：因为二次型 f 的秩为 2，故有 R(A)=2 c=3【知识模块】 线性代数二、填空题19 【正确答案】 a n+an-1x+a2xn-2+a1xn-1【试题解析】 D n 按第一列展开，得 Dn= =xDn-1+(-1)n+1an(-1)n-1=xDn-
20、1+an 由此递推得 Dn=an+xDn-1=an+x(an-1+xDn-2)=an+xan-1+x2Dn-2=an+an-1x+an-2x2+xn-1D1=an+an-1x+a2xn-2+a1xn-1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 4【试题解析】 因为 A=E-T，其中 ， 是 N 维非零列向量，且 A2=3E-2A，所以A2=(E-T)(E-T)=E-T-T+TT=E-2T+(T)T=E+(T-2)T 由已知A2=3E-2A 得 A2=3E-2(E-T)=E+2T 由、 两式整理得，E+( T-2)T=E+2T，从而有( T-4)T=0，又因为 ， 是 n 维非零列向量，所以T0
21、；从而有 T-4=0，即 T=4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 n【试题解析】 因为 A2=E A2-E=0 (A+E)(A-E)=0，所以得到 R(A-E)+R(A+E)nn=R(2A)=R(A-E+A+E)R(A-E)+R(A+E) ，所以 R(A-E)+R(A+E)=n【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 2【试题解析】 由 ，故 R(1， 2， 3， 4)=2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1=(0，1，0，0) T， 2=(-2，0，3，1) T【试题解析】 由齐次方程组的系数矩阵 A= ，易见 R(A)=2，那么 n-R(A)=4-2=2，故基础解系由两个线
22、性无关的解向量所构成，且每个解向量中有两个自由变量由于第 1、3 两列所构成的 2 阶子式 0，故可取 x2，x 4为自由变量 令 x2=1，x 4=0，由第 2 个方程 x3-3x4=0 求出 x3=0再把x2=1， x4=0， x3=0 代入第一个方程 x1+2x4=0 求出 x1=0，于是得到 1=(0，1，0，0)T 令 x2=0， x4=1，由第 2 个方程 x3-3x4=0 求出 x3=3，再将 x2=0，x 4=1，x 3=3 代入第一个方程 x1+2x4=0，求出 x1=-2，于是得到 2=(-2，0，3，1) T 所以 AX=0 的基础解系是 1， 2【知识模块】 线性代数2
23、4 【正确答案】 X=k(1，1，1) T，k 为任意实数【试题解析】 因 A 的秩为 n-1，故方程组 AX=0 的基础解系只含 n-(n-1)=1 个解向量，又 A 的各行元素之和为零，知(1，1，1) T 为 AX=0 的非零解，则 AX=0的通解为 X=k(1，1， 1)T，k 为任意实数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 1【试题解析】 线性方程组()和() 有非零公共解，则()和( )联立方程组有非零解，对联立方程组的系数矩阵作初等行变换，有所以 a=1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征多项式为所以 A 的特征值为 1=-2， 2=1， 3=4当 1=-2 时，A+2E=，得 1=(1， 2，2) T当 2=1 时，A-E=，得 2=(-2，-1，2) T当 3=4 时，A-4E=，得 3=(2， -2，1) T因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，所以 A 能对角化，且【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 e【试题解析】 因 A 有 n 个属于特征值 的线性无关的特征向量，故方程组(E-A)X=0 的基础解系含有 n 个解向量，则 R(E-A)=0，即 E-A=0，A=E【知识模块】 线性代数
