1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 67 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 行列式 =( )（A）(ad-bc) 2（B） -(ad-bc)2（C） a2d2-b2c2（D）b 2c2-a2d22 设 A，B 都是 n 阶方阵，则下列结论正确的是( )（A）设 A，B 均可逆，则 A+B 可逆（B）设 A，B 均可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 A-B 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 均可逆3 已知向量 =(1，2，3) ，= ，设 A=T，其中 T 是 的转置，则 An=( )（A）A（B） 2n-1A（C） 3n-1A（D）4
2、n-1A4 已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 3 列的-3倍加至第 2 列得 C，则满足 PA-1=C-1 的矩阵 P 为( )5 设向量 1， 2， s 的秩为 r，则( )（A）必定 rs（B）向量组中任意个数小于 r 的部分组线性无关（C）向量组中任意 r 个向量线性无关（D）若 rs，则向量组中任 r+1 个向量必线性相关6 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=07 设有两个 n 维向量组：()
3、1， 2， r；() 1， 2， r， r+s，则必有( )（A）() 相关 ()相关（B） ()无关 ()无关（C） ()相关 ()相关（D）() 相关 ()无关8 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可以由 1， 2， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可以由 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价9 已知向量组() ： 1， 2， s 线性无关，()： 1， 2
4、， t 线性无关，且()中任一向量 i(1is)不能由()线性表出，( )中任一向量 j(1jt)不能由()线性表出，则向量组( )（A） 1， 2， s， 1， 2， t 必线性相关（B） 1， 2， s， 1， 2， t 必线性无关（C） s， 1， 2， t 必线性相关（D） 1， 2， s， t 必线性无关10 设 n 元齐次线性方程组 AX=0，R(A)=n-3，且 1， 2， 3 为其 3 个线性无关的解，则( )为其基础解系（A） 1+2， 2+3， 3+1（B） 1-2， 2-3， 3-1（C） 1+2+3， 3-2， 1+23（D） 1-2，2 2-33，3 3-2111 设
5、 A，B，C 都是规阶方阵，且 ABC=0，则( )（A）C 的列向量是 BX=0 的解向量（B） B 的列向量是 AX=0 的解向量（C） AB 的行向量是 CTX=0 的解向量（D）A 的列向量是(BC) TX=0 的解向量12 零是矩阵 A 的特征值是方阵 A 不可逆的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）以上都不对13 设 A 为 n 阶方阵，且 Ak=0(k 为正整数)，则( )（A）A=0（B） A 有一个不为 0 的特征值（C） A 的特征值全为 0（D）A 有 n 个线性无关的特征向量14 设矩阵 A 相似于 B，且 B= ，则 R(A-2E)与 R(A-E)之
6、和等于( )（A）2（B） 3（C） 4（D）515 设 A 是 3 阶矩阵，R(A)=1 ，A 有特征值 =0，则 =0( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）是 A 的一、二、三重特征值都可能16 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )17 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似18 与二次型 f=x12+x22+2x32+6x1x2 对应的矩阵 A 既合同又相似的矩阵是( )二、填空题19 设 =(1， 0，-1) T，矩阵 A=T，n 为正整数，则2E-A n
7、=_20 设 n(n3)阶矩阵 A= ，若矩阵 A 的秩为 n-1，则a=_21 已知向量组( 1， 3)，( 1， 3， 4)，( 2， 3)都线性无关，而( 1， 2， 3， 4)线性相关，则向量组( 1， 2， 3， 4)的极大无关组是_22 设列向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性_23 设 A= ，其中 aiaj(ij)(i，j=1，2，n)，则方程组 ATX=B 的解是_24 设 A 为 n 阶方阵，若对任意 nn(mn)矩阵 B 都有 AB=0，则 A=_25 A= ，其中 ai0(i=1，2，m) ，bj0(j=1，2，n)，则线性方程组
8、 AX=0 的基础解系含有解向量的个数是_26 设 A 是 3 阶矩阵， 是线性无关的 3 维列向量，满足A=0，A= ，A=，则 A 相似于对角矩阵 A，其中 A=_27 若 n 阶可逆矩阵 A 的每行元素之和均为 c，则矩阵 3A-2A-1 有一个特征值为_考研数学一（线性代数）模拟试卷 67 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式的展开定理展开第一列=-ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-(ad-bc)2 故选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 均可逆，则A0，B0 ，
9、AB= AB0，所以 AB 可逆，故应该选择 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知， T=3，A n=(T)n=T(T)=3n-1T=3n-1A故选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵 A 作一次初等列变换，相当于用相应的初等矩阵右乘 A，故【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，若有 r+1 个向量构成的向量组线性无关，则向量组1， 2， s 的秩大于 r.【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 B 是 nm 矩阵，当 mn 时，则 R(B)nm，方程组 BX=0 必有非零解(系数矩阵的秩小于
10、未知数的个数)，即存在 X00，使得 BX0=0，两边左乘A，得 ABX0=0，即 ABX=0 有非零解，从而AB =0，故选 B【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查向量组的性质中部分向量组和整体向量组之间的线性关系，因为 1， 2， r 是 1， 2， r， r-s 的部分向量组，若1， 2， r 线性相关，则 1， 2， r， r+s 也相关，即部分向量组相关，则整体向量组相关，所以选择 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 设 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0 ，0) T； 1=(0，0，1，0)T， 2=(0，0， 0，1)
11、 T 各自都线性无关，但它们之间不能相互线性表示，故排除A、B；既然不能相互线性表示，则不可能有等价关系，故排除 CD 选项：因为n 维向量组 1， 2， m 无关，则 R(1， 2， m)=m，同理，由 n 维向量组 1， 2， m 无关得 R(1， 2， m)=m，故设 A=(1， 2， m)，B=(1， 2， ， m)，A 与 B 同型，且 R(A)=R(B)，由矩阵等价的充要条件得 A与 B 等价【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 假设 1， 2， s， t 线性相关，则存在不全为零的数k1，k 2，k s，k s+1 使得 k 11+k22+kss+s+1t=0，
12、其中是 ks+1=0(若 k0，则t= (k11+k22+kss)与( )中任一向量不能由()线性表示矛盾) 因1， 2， s 线性无关，从而得 ki=0，i=1，2，s这和假设矛盾，故1， 2， s， t 线性无关，即 D 正确 同理可知 s， 1， 2， t 线性无关，故 C 错误 向量组 1， 2， s， 1， 2， t 可能线性相关，也可能线性无关，例：() 1=(1，0，0)， 2=(1，1，0)线性无关， () 1=(0，0，1)，2=(0，1，1)线性无关，且 2， 2 均不能由 1， 2 线性表出， 1， 2 均不能由1， 2 线性表出，但 1， 2， 1， 2 是四个三维向量
13、，必线性相关，故 B 不能成立 再比如() 1=(1，0)线性无关，() 1=(0，1)线性无关，且不能互相表出，但1， 1是线性无关的，故 A 也不成立【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 因( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0，则 B 中向量组线性相关，不能构成方程组 AX=0 的基础解系，故可排除 B； 同理，由 ( 1+2+3)+(3-2)-(1+23)=0， 2(1-2)+(22-33)+(33-21)=0， 知 C、D 的向量组都线性相关，故排除 C、D ，选A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 由 ABC=0 (ABC)T=CT(AB
14、)T=0，故(AB) T 的列向量(即 AB 的行向量)为方程组 CTX=0 的解向量，所以选择 C【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 因A= ，零是矩阵 A 的特征值，所以 即根据特征值的性质A=0，根据矩阵可逆的充要条件，则矩阵 A 不可逆，反之亦然，故选择 C【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 C【试题解析】 设 是 A 的一个特征值，则 k 是 Ak 的特征值因为 Ak=0，而零矩阵的特征值只能是零，所以 Ak 的全部特征值应为 0，从而 k=0，故 =0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 相似于 B，则存在可逆矩阵 P，使
15、P-1BP=A，所以 A-2E=P -1BP-2P-1P=P-1(B-2E)P， 即矩阵(A-2E)相似于(B-2E)，同理(A-E)相似于(B-E)，又R(B-2E)=3，R(B-E)=1，且相似矩阵的秩相等，故 R(A-2E)+R(A-E)=3+1=4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 B【试题解析】 因为 R(A)=1，所以 AX=0 至少有两个线性无关的解向量，即对应=0至少有两个线性无关的特征向量因为特征值的重数不小于对应的线性无关的特征向量的个数，故 =0至少是 A 的二重特征值，也可能是 A 的三重特征值，例如： =0是 A 的三重特征值【知识模块】 线性代数16 【正确答
16、案】 D【试题解析】 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有 3 个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化 C 是秩为 1 的矩阵，由E-A= 3-42，知矩阵的特征值是4，0，0对于二重根 =0，由秩 R(0E-A)=R(A)=1，知齐次方程组(0E-A)X=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的解向量，即 =0有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，-1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩 R(E-A)= =2，知齐次方程组(E-A)X=0 只有 3-2=
17、1 个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A【试题解析】 因 E-A(-4)=0 2 1=4， 2=3=4=0，E-B=(=4) 3=0 1=4， 2=3=4=0，A B A，B 有相同的特征值且都能对角化，事实上，AA= ，由相似具有传递性 BA= ，故 AB；又正惯性指数和秩相等(都是对称矩阵)而 A 与 B 的正惯性指数都是1，R(A)=R(B)=1，故 A 与 B 合同故选 A【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 B【试题解析】 二次型 XTAX 经正交变换 X=QY 化为二次型 YTBY，即XTAX=(QY)TA(Q
18、Y)=YT(QTAQ)Y，则有 QTAQ=B，又因 Q 是正交矩阵，则QT=Q-1，故 QTAQ=Q-1AQ=B，即在正交变换下，二次型矩阵 A 与 B 既合同又相似 选项 B 为对角矩阵，且E-A= =(-2)(-4)(+2)矩阵 A 的特征值是 2，4，-2 ，所以应选 B【知识模块】 线性代数二、填空题19 【正确答案】 8(1-2 n-1)【试题解析】 因 所以 A 的特征值为 0，0，2，A n 的特征值为 0，0，2 n，2E-A n 的特征值为 2-0，2-0，2-2n，2E-A n=(2-0)(2-0)(2-2 n)=4(2-2n)=8(1-2n-1)【知识模块】 线性代数20
19、 【正确答案】 【试题解析】 因 R(A)=n-1，故A=0，即(n-1)a+1(1-a) n-1=0，则 a=1 或 a=若 a=1，则 A= ，此时 R(A)=1n-1，故a1，a=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 ( 1， 3， 4)【试题解析】 因向量组( 1， 2， 3， 4)线性相关，则它的极大无关组最多含 3 个向量，又( 1， 3)，( 1， 3， 4)，( 2， 3)都线性无关，由极大无关组的定义知(1， 3， 4)为它的极大无关组【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 无关【试题解析】 (用秩) 因为向量组 1， 2， 3 线性无关，所以 R(1， 2， 3)=3
20、，若R(1+2， 2+3， 1+3)=3，则向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性无关；若R(1+2， 2+3， 1+3)3，则向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性相关而事实上，令 C=(1+2， 2+3， 1+3)=(1， 2， 3) =AB，因为 R(1， 2， 3)=3，即 A 可逆故 R(C)=R(B)，因 =20，所以 R(C)=R(B)=3，故1+2， 2+3， 1+3 线性无关【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1，0，0，0) t【试题解析】 因 aiaj，故由范德蒙行列式的结论知：A 0，故非齐次线性方程组 ATX=B 有唯一解：x j= (j=1，2，n)，其
21、中A j是将A T中的第j 列改成 B=(1，1，1) T 而成的行列式故A 1=A，A j=0(j=2，3，n)，所以方程组的解为(1，0， 0，0) T【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 0【试题解析】 取基本单位向量组为 1= ，当 m=n时，因对任意 B 都有 AB=0，则对 B=(1， 2， n)=En，即 AEn=0，故 A=0；当 m n 时，取 B=(1， 2， n，B 1)=(En，B 1)，则由 AB=A(En，B 1)=0 知，AEn=0，故 A=0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 n-1【试题解析】 因为 ai0(i=1，2，m) ，b j0(j=1，2，
22、n)，所以因此 R(A)=1，线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-1 个解向量【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【试题解析】 由题设条件A=0 知，A 有特征值 1=0又 A=，A=，则 A(+)=+=+， A(-)=-=-(-)，因 ， 为线性无关向量，故 +0，-0故 A 有特征值 2=1， 3=-1因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 相似于对角矩阵 A，且 A=【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【试题解析】 因 A 的每行元素之和均为 c，则 设=(1，1，1) T，则 A=c，故 c 是 A 的特征值，又 A 为可逆矩阵，则 c0，且是 A-1 的特征值，则 3A-2A-1 对应的特征值为【知识模块】 线性代数
