1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 73 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，有特征值 1，1，2，则下列矩阵中可逆的是 ( )（A）EA（B） E+A（C） 2EA（D）2E+A2 设线性方程组 A34X=b 有通解 k11，2，0，2 T+k24，1，1，1T+1，0，1，1 T，其中 k1，k 2 是任意常数，则下列向量中也是 Ax=b 的解向量的是( )（A） 1=1， 2，0，2 T（B） 2=6，1，2，2 T（C） 3=3，1，2，4（D） 4=5， 1，1， 3T3 设四个平面为 a 1x+b1y+c1z=d1， a 2
2、x+b2y+c2z=d2， a 3x+b3y+c3z=d3， a4x+b4y+c4z=d4，记系数矩阵 增广矩阵为 A 中去掉第 i 行(i=1，2， 3，4) 的矩阵记为 Ai， 则 4 个平面构成一个四面体的充要条件是( )（A）r(A)= =3（B） r(A1)=r(A2)=r(A3)=r(A4)=3，（C） r(A)=3，（D）r(A 1)=r(A2)=r(A3)=r(A4)= =34 设矩阵 则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，又不相似二、填空题5 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A= 1，2 2， 3，B=1
3、+2， 14 3， 2+23，如果行列式A=2，则行列式B=_6 已知向量 1=(1，1，1，3) T， 2=(a，1，2，3) T， 3=(1，2a 1，3，7)T， 4=(1，1,a 1,1) T 的秩为 3，则 a=_7 若三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，5，5，则秩 r(5EA)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设矩阵 已知齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的维数为 2，求 a的值并求出方程组 Ax=0 的用基础解系表示的通解9 设 A 是 n 阶方阵，且 E+A 可逆，令 f(A)=(EA)(E+A) 1 ，证明：若 A 是反对称矩阵，则 F(A)是正交阵
4、9 设 A、B 是 n 阶方阵，E+AB 可逆10 验证 E+BA 也可逆，且(E+BA) 1 =EB(E+AB)1 A11 设 其中 利用上一题证明 P 可逆，并求 P1 12 已知 A=1， 2， 3， 4是 4 阶矩阵， 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1， 2，2，1) T+k(1，2，4，0) T，又 B=3， 2， 1， 4，求方程组Bx=1 2 的通解13 已知 3 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 5，且 AB=0，其中 求矩阵A 及A+E14 已知线性方程组求()和()的非零公共解15 讨论矩阵 的秩16 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C，使得 ACCA=B
5、，并求所有矩阵 C17 设两个线性方程组()，() 为 证明：方程组()有解的充分必要条件是方程组() 无解17 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=1 ，1，1 T， 2=1，2，1 T18 求 A 的属于特征值 3 的特征向量19 求矩阵 A20 设 A 是 n 阶反对称阵，B 是主对角元均大于零的 n 阶对角阵，证明：A+B 是可逆阵21 设分块矩阵 是正交矩阵，其中 A、 C 分别为 m，n 阶方阵，证明：A、C 均为正交矩阵，且 B=022 设 f(x)=xTAx 为n 元二次型，且有 Rn 中的向量 x1 和 x2，使得 f(
6、x1)0，f(x 2)0证明：存在 Rn 中的向量 x00，使 f(x0)=022 若 n 阶矩阵 A=1， 2， n1 ， n的前 n1 个列向量线性相关，后，n1个列向量线性无关，= 1+2+ n证明：23 方程组 Ax=B 必有无穷多解24 若(k 1，k 2，k n)T 是 Ax=B 的任一解，则 kn=125 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 A2+A=0，B 2+B=0，证明：=1 必是矩阵 A 与B 的特征值若 AB=BA=0， 与 分别是 A 与 B 属于特征值 =1 的特征向量，证明：向量组 ， 线性无关26 已知 A，B 都是 n 阶正定矩阵，证明：AB 是 n 阶正定矩阵
7、的充分必要条件是A 与 B 可交换26 设 A 为 n 阶矩阵27 已知 为 n 维非零列向量，若存在正整数 k，使得 Ak0，但 Ak+1=0，则向量组 ，A，A 2，A k 线性无关；28 证明：齐次线性方程组 Anx=0 与 An+1x=0 是同解线性方程组；29 证明：r(A n)=r(An+1)30 设 1， 2 是 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的对应于特征值 1的一个单位特征向量，求矩阵 B=A 1T 的两个特征值考研数学一（线性代数）模拟试卷 73 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2
8、E+A 0(2 不是 A 的特征值 )故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知，通解为 k 11+k22+=k11，2，0，2T+k24，1，1，1 T+1，0，1，1 T因 1=1， 4=1+2 均是对应齐次方程的解，故 A、D 不成立， 2， 3 是否是 AX=b 的解向量，则要考虑是否存在k1，k 2，使得 2=k11+k22+ 及 3=k11+k22+ 即 2 =k11+k22， 3=k 11+k22 是否有解，因 1， 2， 2， 3知 2 可由 1， 2 表出， 3 不能由1， 2 表出故 2 是 AX=b 的解向量故选 B【知识模块】 线性代数3
9、【正确答案】 B【试题解析】 四个平面相交成一个四面体任意两个平面相交直线，三个平面相交点，四个平面无公共点 r(Ai)=3，必有 i=1，2，3，4 =4r(A)3 故选 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由E A=0 得 A 的特征值为 0，3，3，而 B 的特征值为0，1，1，从而 A 与 B 不相似又 r(A)=r(B)=2，且 A、 B 有相同的正惯性指数，因此 A 与 B 合同故选 B【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 应填 2【试题解析】 B= 1+2， 143， 2+23=1， 2， 3 又 A= 1，2 2， 3=2 1， 2， 3，所以
10、 1， 2， 3= =1，故B = 1， 2， 3 =12=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填【试题解析】 对 A=(1， 2， 3， 4)作初等行变换，有如果 a=1，则矩阵转化为 其秩为 2，不合题意，故 a1，于是那么 r(1， 2， 3， 4)=33a2+a=2a+2， a1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 应填 1【试题解析】 实对称矩阵必可相似对角化，因而 =5 必有两个线性无关的特征向量，所以齐次方程组(5EA)x=0 的基础解系由两个线性无关的解向量所构成，从而秩 r(5EA)=3 2=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11、8 【正确答案】 由四元齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的维数为 4r(A)=2，得r(A)=2对 A 作初等变换由阶梯形矩阵可见，当且仅当 a=1 时，r(A)= ，故 a=1 当 a=1 时，将 A 进步化成行最简形式由此可得方程组 Ax=0 的用自由未知量表示的通解 代入上式，即得 Ax=0 的基础解系为于是得 Ax=0 的用基础解系表示的通解为x=k11+k22(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A T=A，E+A 可逆，要证 F(A)=(EA)(E+A)1 是正交阵，只要证 F(A)F(A)T=E，即 (E A)(E+A) 1 E(EA)(E+A)
12、1 T =(EA)(E+A)1 (E+A)1 T(EA)T =(EA)(E+A)1 (EA)1 (E+A) =(E+A) 1(EA)(EA)1 (E+A) =E 即F(A)是正交阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (E+BA)EB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB) 1 ABAB(E+AB)1 A =E+BA B(E+AB)(E+AB)1 A =E， 故 (E+BA) 1 =EB(E+AB)1 A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 其中X=(x1，x 2，x n)T，Y=(y 1，Y 2，Y n)T 因 1+XTY=1+ =20，由(1) 知P=E
13、+XYT 可逆，且 p1 =(E+XYT)1 =EX(1+YTX)YT=E2XY T【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由方程组的解 Ax= 的结构知 r(A)=r 1， 2， 3， 4=3， 1+22+23+4=， 122+43=0 因为 B=3， 2， 1， 4=3， 2， 1， 1+22+23，且 1， 2， 3 线性相关，可见 r(B)=2由=1 2 知，(0，1，1，0)T 是方程组Bx=1 2 的一个解又知(4，2，1，0)T，(2，4， 0，1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解，故 Bx=1 2 的通解是0，1，1，0) T+k1(4，2，1，0) T+k2(2，4，
14、0，1) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 A 的各行元素之和均为 5，有因为矩阵 A 的特征值是 5，0，0，知 A+E 的特征值是 6，1，1故A+E=6【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为方程组()、() 有非零公共解，即把()、( )联立所得方程组( )有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有方程组()有非零解a=1求出 =(2，6，2，1) T 是( )的基础解系，所以()、()的所有公共解是k【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 对矩阵作初等变换由阶梯形矩阵知ab，a(n1)b 时，r(A)=n；a=b=0 时，A=0，r(A)=0 ；a=b0 时，r(A
15、)=1；a=(n1)b0 时，r(A)=n1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换得当 a1 或 b0 时，方程组无解当 a=1，b=0 时，方程组 有无穷多解，此时所以，当a=1，b=0 时，存在矩阵 C，使得 ACCA=B，并且k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 方程组表示成矩阵形式有 AY=b， ()有解 r(A)=r(A b) 方程组()无解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交，设3=x1， x2， x3T，则 得 3=1，0，1 T【知识模块】 线
16、性代数19 【正确答案】 令 P=1， 2， 3=故【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A+B 是正定阵=A+B 是可逆阵 因 AT=A，对任给X0，X TAX=(XTAX)T=XTATX=X TAX=XT1，d 2，d n其中 di0，i=1，2，n，对有 XTBX=d1x12，d 2x22，d nxn0 故， XT(A+B)X=XTAX+XTBX0，从而知 A+B 是正定阵，所以 A+B 是可逆阵【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由于 P 为正交矩阵，有 PPT=Em+n，所以有 AA T+BBT=Em BCT=0 CBT=0 CCT=En 由式即知 C 为正交矩阵，因此 C
17、 可逆，用 C1 左乘两端，得 BT=0，从而 B=0，于是由式得 AAT=Em，所以，A 也是正交矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令向量 x0=tx 1+x2，其中 t 为待定实数，选择 t，使 f(x1)=0，即 x0TAx0=(tx1+x2)TA(tx1+x2) =(t1T+x2T)A(tx1+x2) =t2x1TAx1+2tx1TAx2+x2T2Ax2=0， 记实数 a=x1TAx1，b=x 1TAx2，c=x 2TAx2，则由题设条件知 a0，c0于是上式可写为at2+2bt+c=0 由于关于 t 的这个二次方程有 a0，判别式 =4b24ac0，故该方程必有实根 t0
18、0，于是有向量 x0=tx1+ x20(否则 t0x1+x2=0，则 x2=t 0x1，于是f(x2)=x21Ax2= (t 0x1)TA(t 0x1)=t02x1TAx10，它与已知的 f(x2)0 相矛盾)，使得 f(x0)=x0TAx0=at02+abt0+c=0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 1， 2， n 线性无关，所以 1， 2， n1 线性无关，而 1， 2， ， n1 线性相关，因此 1 可由 2， n1 线性表出，r(A)=n 1 又 =1+2+ n 可由 1， 2， n 线性表出，增广矩阵因此方程组 Ax=B 必有无穷多解【知识模块】
19、线性代数24 【正确答案】 因为 1， 2， n1 线性相关，故存在不全为零的实数l1，l 2，l n1 ，使 l 11+l22+l n1 n1 =0，即 又因 r(A)=n1，故(l1，l n1 ，0) T 是 Ax=0 的基础解系又 = 1+2+ n=， 故(1 ，1 ，1) T 是 Ax= 的一个特解，于是 Ax= 通解是 (1，1， ，1) T+k(l1，l 2，l n1 ，0) 因此，当(k 1，k n)T 是 Ax= 的解时，必有 kn=1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为(E+A)A=0，A0，知齐次方程组 (E+A)x=0 有非零解，即行列式E+A=0所以 =1 必
20、是矩阵 A 的特征值同理，=1 也必是矩阵 B的特征值类似地，由 AB=0，B0，知行列式A=0，所以 =0 必是矩阵 A 的特征值，同理，=0 也必是矩阵 B 的特征值对于 A=，用矩阵 B 左乘等式的两端有 BA=B，又因为 BA=0，故B=00 即 是矩阵 B 属于特征值 =0 的特征向量那么， 与 是矩阵 B 的不同特征值的特征向量，因而 ， 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 必要性若 AB 正定，则 AB 是对称的，即 AB=(AB) T=BTAT 由于 A，B 均正定，知 AT=A，B T=B，故 AB=BA 即 A 与 B 可交换 充分性若AB=BA，则 (AB)
21、T=BTAT=BA=AB，知 AB 是对称矩阵再由 A，B 均 正定，知存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 A=pTP，B=Q TQ于是 Q(AB)Q 1 =Q(PTP)(QTQ)Q1 =(QPT)(PQT)=(PQT)T(PQT) 即 AB 相似于矩阵(PQ T)T(PQT)因为 PQT 可逆，知(PQ T)T(PQT)正定因此，AB 的特征值全大于零，故 AB 正定【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 x 0+x1A+x2A2+x kAk=0， 上式两边左乘矩阵 Ak，由Ak+1=0，A k+2=A(Ak+1)=A0=0 ，A k+k=0，可得 Ak(x0+x1A
22、+x2A2+x kAk)=x0Ak=0，而 Ak0，有 x0=0 同理，再在等式两边依次乘矩阵 Ak1 ，A k2 ，A 2，A，可得 x1=x2=xk=0， 故向量组，A，A 2，A K 线性无关【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 显然，线性方程组 Anx=0 的解必是线性方程组 An+x=0 的解；反过来，若 An+1x=0 只有零解，则由行列式A n+1=A n+10，可得A 0因此A n= A n0，故 Anx=0 也只有零解，即 Anx=0 与 An+1x=0 为同解方程组 若 An+1x=0 有非零解，设存在 0 使得 An+1=0，但 不是 Anx=0 的解，即An0则由(
23、1)知 ，A，A 2，A k 线性无关，且 An+1=，A n+1(A)=A(An+1)=0， ， A n+1(An)=0，即它们都是线性方程组 An+1x=0 的解，因此An+1x=0 至少有 n+1 个线性无关的解，这与方程组 An+1x=0 的基础解系至多有 n 个线性无关解矛盾，所以 An=1x=0 的解都是 Anx=0 的解，即 Anx=0 与 An=1x=为同解方程组【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由上一题知 Anx=0 与 An+1x=0 为同解方程组，故 nr(A n)=nr(A n+1)， 即 r(An)=r(An+1)【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由于 是 A 的对应于特征值 1 的个单位特征向量，于是有A=1 且 T=1，从而 B=(A 1T)=A1T=1 1=0=0，故 0 为B 的个特征值，且 为对应的特征向量 设 为 A 的对应于特征值 2 的特征向量，则有 A=2，由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，于是有T=0，从而 B=(A 2T)=A 1T=20= 2， 故 2 为 B 的个特征值，且 为对应的特征向量所以，B 的特征值必有 0 和 2【知识模块】 线性代数
