1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2，且 BY= 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r1， 2， n， 1， 2， n，=r，则( )（A）r=r 1+r2（B） rr1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+12 设点 Mi(xi，y i)(i=1，2，n)为 xOy 平面上的 n 个不同的点，令则点 M1，M 2，M n(n3)在同条直线上的充分必要条件是( )（A）r(A)1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（
2、D）r(A)33 设 A 是一个 nn 矩阵，交换 A 的第 i 列和第 j 列后再交换第 i 行和第 j 行得到矩阵 B，则 A，B( )（A）是等价矩阵但不相似（B）是相似矩阵但不合同（C）是相似、合同矩阵，但不等价（D）是等价、相似、合同矩阵二、填空题4 已知 1， 2， 3， 4 是 3 维列向量，矩阵 A=1， 2，2 3 4+2， B=3， 2， 1，C= 1+22，2 2+34， 4+31，若 B=5，C=40，则A=_ 5 已知向量组等秩，则 x=_6 二次型 4x223x 32+2ax1x24x 1x3+8x2x3 经正交变换化为标准形 y12+6y22+by32，则a=_三
3、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 求矩阵 的秩，其中 a、b 为参数8 A、B 是 n 阶方阵，其中 A 可逆，且满足 A=(AE)B ，其中 是常数，证明：AB=BA9 设 n 阶矩阵 求 r(A)10 已知 1=(1，1，0) T， 2=(1，3，1) T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，1，5) T，A 是3 阶矩阵，满足 A1=2，A 2=3，A 3=4，求 A411 设 问 a，b 为何值时， 可由1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一，写出线性表示式11 设 R3 中两个基 1=1，1，0 T， 2=0，1，1 T， 3=1，0，1 T， 1=1，0，0T，
4、 2=1，1，0 T， 3=1，1，1 T12 求 1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵13 已知 在基 1， 2， 3 下的坐标为1，0，2 T，求考在基 1， 2， 3 下的坐标14 求在上述两个基下有相同坐标的向量15 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nl 矩阵，证明：方程组 ABX=0 和 BX=0 是同解方程组的充要条件是 r(AB)=r(B)16 设 Amn，r(A)=m ，B n(nm) ，r(B)=nm，且满足关系 AB=0证明：若 是齐次方程 Ax=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=17 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是
5、n 维非零向量，证明：， 正交18 设 n 阶矩阵 A=aij，若 则 A 的所有特征值i(i=1，2，n)的模小于 1，即 i118 设 R4 的三个基()、( )、( )分别为19 求由基() 到基()的过渡矩阵20 求向量 =1 2+3 在基()下的坐标；21 求向量 =31+23+4 在基()下的坐标22 求由基() 到基()的过渡矩阵23 已知 求 A 的特征值与特征向量，并指出 A 可以相似对角化的条件23 设 A=24 若矩阵 A 正定，求 a 的取值范围25 若 a 是使 A 正定的正整数，求正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用坐标变换26 已知向量 的三个解，求此
6、线性方程组的通解26 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足A1=21+2 3，A 2=1+22+3， A 3= 1+2+2327 计算行列式A+E；28 求秩 r(3EA)；29 求 A 的特征值，并求可逆矩阵 P，使 P1 AP 为对角矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 76 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r 1， 2， n，=r 1，r 1， 2， n，=r 2+1， 故 r1， 2， ， n， 1， 2， n，r 1+r2+1故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】
7、B【试题解析】 以点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)为顶点的三角形面积为行列式的绝对值所以该三点共线的充要条件是矩阵 的秩3，即秩为 2 或 1，但因这三点各不相同，所以此三点共线的充要条件是上述矩阵的秩为 2 对于 n 个不同的点共线的充要条件是任意三点共线，也就是矩阵 A 的秩为2故选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 A 的 i 列和 j 列互换，i 行和 j 行互换，相当于右乘、左乘互换初等阵，即 B=E ijAEij， 其中 因B ij= 10，E ij 是可逆阵，且 Eij1 =Eij，E ijT=Eij，即B=EijAEij=Ei
8、j1 AEij=EijTAEij，故 A，B 是等价、相似、合同矩阵故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填 8【试题解析】 根据行列式的性质，有 A= 1， 2，2 3 4+2 = 1， 2， 23 4 = 1， 2，2 3 1， 2， 4 =2 3， 2， 1 1， 2， 4 =(2)(5) 1， 2， 4 ，由于 C=1+22， 22+34， 4+31 =1， 2， 4 两边取行列式，有 C= 1， 2， 4 =20 1， 2， 4 ，又因为C=40，知 1， 2， 4=2故 A=8【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填 1【试题解析】 1， 2， 3= 知
9、r(1， 2， 3)=2，由题设，r( 1， 2， 3)=2因 1， 2， 3=故 x=1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填 2【试题解析】 二次型矩阵与标准形矩阵分别是由 AA，有所以 a=2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 用初等变换将 A 化成阶梯形由阶梯形矩阵可见 当 a1 且 b2 时，阶梯形矩阵中非零行的个数为 4，此时 r(A)=4； 当 a=1 或 b2 时，阶梯形矩阵中非零行的个数为 3，此时 r(A)=3； 当 a=1 且 b2 时，有 阶梯形矩阵中非零行的个数为 3，此时 r(A)=3； 当 a=1 且 b
10、=时，阶梯形矩阵中非零行的个数为 2，此时 r(A)=2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由题设可知 A=ABB ， 左乘 A1 ，得 E=BA 1 B =(EA 1 )B =B(EA 1 ) =B(AE)A 1 右乘 A，得 A=B(AE)=BAB 比较式及式，得 AB=BA【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 由于 所以A =(a 1) n1 (a+n1)，所以当 a1，且 a1n 时A 0，从而 r(A)=n；当 a=1 时，显然 r(A)=1；当 a=1n 时A=0，此时 A 的第 n1 阶顺序主子式所以秩 r(A)=n1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由于 1， 2
11、， 3= 所以 1， 2， 3 线性无关，4 个 3 维向量必线性相关，于是 4 必可由 1， 2， 3 线性表出 设x11+x22+x33=4，由于 解得x1=1， x2=2 ，x 3=1，即 4=122+3，那么 A 4=A(122+3) =A12A2+A3 =223+4 =(2，6，2) T【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1， 2， 3， 当 b=2，a1 时，r1， 2， 3=r1， 2， 3，=3， 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示式唯一，其唯一表示式为 = 1+22【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 设 1， 2， 3=1， 2， 3C，
12、则 C= 1， 2， 31 1， 2， 3【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 设 为所求向量，则得两个基下有相同坐标的向量是 x 1，x 2，x 3T=k1，0，1 T，故两个基下有相同坐标的向量是其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 必要性ABX=0 和 BX=0 是同解方程组ABX=0 和 BX=0 有相同的基础解系=ABX=0 和 BX=0 的基础解系的向量个数相同，即 lr(B)=lr(AB)，故 r(AB)=r(B)充分性r(AB)=r(B)ABX=0 和 BX=0 的基础解系的向量个数相同，又因为BX=0 的
13、解均是(AB)X=A(BX)=0 的解，故BX=0 的基础解系也是 ABX=0 的基础解系，故 BX=0 和 ABX=0 有相同的基础解系，ABX=0 和 BX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=1， 2， nm ，因已知 AB=0，故知B 的每列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=nm ， 1， 2， nm 是 AX=0的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1， 2， nm 线性表示，且表示法唯一，即 =x 11+x22+xnm nm ， 即存在唯一的 ，使 B=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 A=
14、 ，两边转置得 TAT=T， 两边右乘 ，得 TAT=T， T=T， () T=0， 故 T0，即 ， 相互正交【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 是 A 的任意个特征值，其对应的特征向量为=x1，x 2，x nT，则 A=即设x k=maxx 1，x2，x n，由 的任意性， i1，i=1，2，n【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设由基()到基() 的过渡矩阵为 A，则有 1， 2， 3， 4=1， 2， 3， 4A 即 E=1， 2， 3， 4=1， 2， 3， 4A，故【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 已知 a 在基 () 下的坐标为 x=
15、(1，1，1，0) T，基()到基()的过渡阵为 A，则向量 a 在基() 下的坐标为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 已知向量 在基()下的坐标为(3，0，2，1) T，且基( )到基()的过渡矩阵为 A1 =1， 2， 3， 4，由坐标变换公式，知 在基()下的坐标为【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设由基()到基() 的过渡矩阵为 B，则 B=1， 2， 3， 4=且有 1， 2， 3， 4=1， 2， 3， 4B=1， 2， 3， 4AB，故由基( )到基 ()的过渡矩阵为【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得 A 的特征值是1=1a， 2
16、=a， 3=a+1 由( 1EA)x=0，得属于 1=1a 的特征向量是 1=(1， 0，1) T 由( 2EA)x=0，得属于 2=a 的特征向量是 2=(1，12a，1) T， 由( 3EA)x=0 ，得属于 3=a+1 的特征向量是 3=(2a ，4a，a+2) T 如果1， 2， 3 互不相同，即 1aa，1aa+1，aa+1， 即 且 a0，则矩阵 A有 3 个不同的特征值A 可以相似对角化 若 此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化 若 a=0，即 1=3=1，此时 A 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性
17、代数24 【正确答案】 由 A 的特征多项式得到矩阵 A 的特征值是 1=2=2a， 3=2a+2那么 A 正定【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 满足矩阵 A 正定的正整数 a=1，那么 此时，矩阵A 的特征值是 1=2=1， 3=4 对于 =1，由(EA)x=0，得到属于 =1 的特征向量是 1=(1，1，0)T， 2=(1，0，1) T 对于 =4，由(4EA)x=0，得到属于 =4 的特征向量 3=(1，1，1) T 对1， 2 正交规范化处理，有 单位化得到则经 x=Py，有xTAx=yTy=y12+y224y 32【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 记此线性方程组为 A
18、x=b，因为是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，所以系数矩阵 A 的秩 r(A)42=2，又由 A 的第一行与第二行不成比例知，r(A)2 ，故 r(A)=2因此 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，进而可得非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为：= 1+k11+k22=其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由题设，有 A(1， 2， 3)= 令P1=1， 2， 3，则有【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 P1 1(3EA)P1=【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 记得矩阵 B，也即矩阵 A 的特征值为 1=2=3， 3=0 对应于 1=2=3，解(3EB)x=0，得基础解系为1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T； 对应于 3=0，解 (0EB)x=0，得 3=(0，1，1)T令 P2=1， 2， 3，则 P21 BP2 = 因 P21 BP2=P21 P11 AP1P2=(P1P2)1 A(P1P2)= 记矩阵 P=P1P2=1， 2， 3=1+2， 1+3， 2+3则 P 即为所求矩阵，且【知识模块】 线性代数
