1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 77 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，经若干次矩阵的初等变换得到矩阵 B，那么( )（A）必有A=B（B）必有AB （C）若 A 0 ，则B0（D）若A=0，则B=02 设矩阵 A=1， 2， n经过若干次初等列变换后变成了矩阵 1， 2， n，则在 A、B 中( )（A）对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性（B）对应的任何部分列向量组具有相同的线性相关性（C）对应的 k 阶子式或同时为零，或同时不为零（D）对应的齐次线性方程组是同解方程组3 已知 A 是三阶实对称矩阵且不可逆，又知 A
2、=3，A=，其中 =(1，2，3)T， =(5，1，t) T，则下列命题正确的是 ( ) A 必可相似对角化 必有 t=1 =(1，16，11) T 必是 A 的特征向量 AE 必为 0（A）（B） （C） （D）二、填空题4 设=_5 已知 若有两个不同的三阶矩阵 B 和 C，使 AB=AC，则a=_6 设二次型 f=12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3，经正交变换 x=Cy 化成标准形为f=y22+2y32，则二次型 f=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 设 x=(xij)33问 a，b，c 取何值时，矩阵方程 AX=B 有解 ?并在有解时求出
3、全部解8 设 其中 abc ，证明： F(a)0 且 F(b)0，F(c)09 设 A、B 都是 mn 矩阵，证明： r(A+B)r(A)+r(B)10 设 若 Ax=0 的基础解系由 2 个线性无关的解向量构成，11 设 若存在秩大于 1 的 3 阶矩阵 B，使得 BA=0，求 An12 设 问 a，k 为何值时，1+k2 可由 1， 2， 3 线性表示，并求其线性表示式12 设 n 维向量 1， 2， m(mn)线性无关，证明：n 维向量 1， 2， m线性无关的13 充分条件是 1， 2， m 与 1， 2， m 等价14 充要条件是矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2，
4、m)等价 55设A 是 mn 矩阵， B 是 nl 矩阵，证明：方程组 ABX=0 和 BX=0 是同解方程组的充要条件是 r(AB)=r(B)15 设 A 是 n 阶方阵，证明：A nX=0 和 An+1X=0 是同解方程组16 设非齐次方程组 有解，且系数矩阵 A 的秩 r(A)=rn(b 1，b 2，b n 不全为零 )证明：方程组()的所有解向量中线性无关的最大个数恰为 nr+1 个17 证明 n 阶矩阵 相似18 设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：A 可逆的充要条件是存在 n 阶实矩阵 B，使得AB+BTA 是正定阵18 设 A 为 n 阶方阵，B 为 n 阶可逆方阵，且 AB=B
5、A，证明：19 若 是 A 的特征向量，则 B 也是 A 的特征向量20 若 A 有 n 个不同的特征值， 是 A 的特征向量，则 也是 A 的特征向量21 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 经正交变换 x=Qy 化为标准形f=3y126y 226yy 32，其中矩阵 Q 的第 1 列是 求二次型f(x1，x 2，x 3)的表达式22 A 是三阶实对称矩阵，A 的特征值是 1=1， 2=2， 3=1，且 1=(1，a+1，2)T， 2=(a1，a，1) T 分别是 1， 2 所对应的特征向量，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0， 0 所对应的特征向量是 0=(2，5a ，2a+1
6、) T试求 a 及 0 的值23 已知 相似，求 a，b 的值，并求正交矩阵 P使 P1 AP=B23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x222x 32+2bx1x3(b0)中二次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为1224 求 a，b 的值25 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 77 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于初等变换不改变矩阵的秩，即 r(A)=r(B)，若A =0 ，则B =0 而 A、B、C 均
7、可举例说明不成立故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A 经过若干次初等列变换成 B，相当于 AT 经过若干次初等列变换成BT，此时 AT 和 BT 的相应的列向量组具有相同的线性相关性，即 ATX=0 和 BTX=0是同解方程组，即 A、B 的行向量组具有相同的线性相关性，故选 A【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 A 是实对称矩阵，故必可对角化，正确 实对称矩阵不同特征值的特征向量必正交，由 T=52+3t=0， 知 t=1，故正确 A 不可逆，于是=0 是 A 的特征值，它与 ， 均要正交，可求出 是 A 属于 =0 的特征向量，故正确 由
8、A= 知，=1 是 A 的特征值，故EA =0正确因此四个命题均正确，故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填76【试题解析】 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填 7【试题解析】 由 BC，A(BC)=0，知齐次方程组 Ax=0 有非零解，故所以 a=7【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填 x12+x22+x32+2x1x3【试题解析】 令 由于 C 是正交矩阵，A 与 N 既合同又相似，A 的特征值为 0，1，2 因此0 EA=(a b) 2=0， EA= 2ab=0，故 a=b=0， 二次型 f=x12+x22+x32+2x1x3【知识模块】 线性代
9、数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 AX=B 有解 r(A)rAB=2为了决定 A 及AB的秩，下面对矩阵A B作初等行变换可见r(A)=2当且仅当 a=1，b=2，c=1 时，有 rAB=2，故当且仅当 a=1，b=2 ，c=1时，AX=B 有解 当 a=1，b=2，c=1 时，将矩阵AB进一步化成行最简形由此可得线性方程组 Ax1=1，Ax 2=2，Ax 3=3 的通解分别为(其中 j 为矩阵 B 的第 j 列，j=1，2，3)(k1，k 2，k 3 为任意常数)，所以，矩阵方程 AX=B 的全部解为【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 作辅助函数因 f
10、(x)=0 的三根为a，b，c，故 f(x)的两个根在(a ，b)，(b，c)中，故 f(a)0(同理 f(c)0， f(b)0)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 将矩阵 A 与 B 按列分块为 A= 1， 2， n， B=1， 2， n， 并记 r(A)=r1，r(B)=r 2不失一般性，设 1， 2， 是A 的列向量组的一个极大线性无关组， 1， 2， 是 B 的列量组的一个极大线性无关组，从而 1， 2， n 可由 1， 2， 线性表示，1， 2， n 可由 1， 2， 线性表示 因此， 1+1， 2+2， n+n可由向量组 线性表示，故 r(A+B)r(A)+r(B)【知识模块】
11、 线性代数10 【正确答案】 由题设可知，有 4r(A)=2，即 r(A)=2，由于可见 r(A)=2a=1 当a=1 时， 基础解系为 1=(3，1，1，0) T， 2=(3，0，0，1)T故通解为 x=k11+k22= 其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由 BA=0，有 r(A)+r(B)3，又因 r(B)1，故 r(A)3r(B)1显然 r(A)1所以 r(A)=1于是 推知 a=2， b=3， c=2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1+k2 可由 1， 2， 3 线性表出 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1+k2)1， 2，
12、3， 1+k2 当 k=1 且a1 时，有解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 如果 1， 2， m 与 1， 2， m 等价，则r(1， 2， m)=r(1， 2， m) 由于 1， 2， m 线性无关，r(1， 2， m)=m，所以 1， 2， m 线性无关，故充分性成立【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 必要性若 1， 2， m 线性无关，则 r(1， 2， m)=r(1， 2， m)=m 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩，所以 r(A)=r(B)，又A 与 B 均为 nm 矩阵，故 A 与 B 等价 充分性若 A 与 B 等价，则 r(A)=r(B)，因
13、为 1， 2， ， m 线性无关，有 r(A)=m 于是 r(1， 2， m)=m，所以1， 2， m 线性无关13 题中的条件仅为充分条件，而非必要条件，如与 1， 2 不等价，但 1， 2 线性无关 向量组的等价与矩阵的等价是两个不同的概念前者表明两个向量组可以互相线性表出，而后者是经初等变换可由一个矩阵变成另一个矩阵当两个向量组的向量个数样时，由向量组的等价可得矩阵( 1， 2， m)与( 1， 2， m)等价，但矩阵的等价推不出向量组等价【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 显然 AnX=0 的解必是 An+1X=0 的解反之：若 An+1X=0，则必有AnX=0， 用反证法，若
14、AnX0，则必有 An1 X0，A n2 X0，AX0，X0 ，上述 n+1 个 n 维向量必线性相关，故存在不全为 0 的数 k1，k 2，k n+1 使得 k1X+k2AX+kn+1AnX=0 式左乘 An 得 k 1AnX=0， A nX0 得， k 1=0 k 1=0代入式，再乘 An1 ，可得 k 2=0，同理有尼 k i=0，i=1，2，n+1，这和 k1，k 2， k n+1 不全为 0 矛盾，故必有 AnX=0 从而得证：A nX=0 和 An+1X=0是同解方程组【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因 r(A)=rn，可设 1， 2， nr 是()的对应齐次线性方程组的
15、基础解系， *是() 的一个特解 由 *不能被 1， 2， nr 线性表示，且1， 2， nr 线性无关，可知 *， 1， 2， nr 线性无关，而方程组()的任意一解 都可以表示成 *和 1， 2， nr 的线性组合 =*=k11+k22+knr nr 所以()的解向量的秩nr+1 又向量组*， *+1， *+2， *+nr 是( )的 nr+1 个特解，考察 k 0*+k1(*+1)+k2(*+2)+knr (*+nr )=0， 整理得 (k 0+k1+k2+knr )*+k11+k22+knr nr =0 因 *， 1， 2， nr 线性无关，上式成立当且仅当 即 k 1=k2=knr
16、=k0=0 从而得证*， *+1， *+2， *+nr 线性无关， r( *， *+1， *+2， *+nr )=nr+1 ，即方程组()至少有 nr+1 个线性无关的解向量，即()的解向量组的秩nr+1 综上所述，方程组( )的所有解向量中线性无关的最大个数恰为nr+1 个【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 因此A 与 B 有相同的特征值 1=n， 2=0(n1 重)因 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于n 阶对角矩阵 又因 r(2EB)=r(B)=1，所以 B 对应于特征值2=0 有 n1 个线性无关的特征向量，即 B 也相似于 n 阶对角矩阵 A，故 A 与 B相似两个相似的矩
17、阵定有相同的特征值，但反过来不正确【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 必要性，A 可逆，记 A 的逆矩阵为 A1 ，取 B=A1 (要证存在 n阶实矩阵 B，应从已知条件中去找)，则有 AB+B TA=AA1 +(A1 )TA=AA1 +(A1 )TAT=2E， 2E 是正定阵，故存在 n 阶实矩阵 B=A1 ，使得 AB+BTA 是正定阵 充分性已知存在 n 阶实矩阵，使得 AB+BTA 正定，由定义，对于任给的 0，有T(AB+BTA)=TAB+TBTA=(A)T(B)+(B)TA 0 则对于任给的 0，应有A0，即 AX=0 唯一零解， 故得证 A 是可逆阵【知识模块】 线性代数【
18、知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 A=，则 A(Ba)=B(A)=B()=(B)，所以 B 也是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由上一题知，B 是 A 对应于同特征值的特征向量，又由于A 有 n 个不同的特征值，故对应于同特征值的特征向量线性相关，所以 ，B线性相关，又 ，B 均为非零向量，所以存在常数 k，使 B=k，所以 是 B 的对应于特征值 k 的特征向量【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由题设 A 的三个特征值分别为 1=3， 2=3=6，且属于 1=3 的特征向量是 1=(1，2，2) T 设 2=3=6 的特征向量为 x=(x1，x 2
19、，x 3)T，因 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，有 xT1=0，即 x 1+2x2+2x3=0 得2=(0， 1， 1)T， 3=(2，0，1) T 是属于 2=3= 6 的特征向量 先将 2， 3 正交化，有 2=2， 3=3 =(4，1，1 )T，再将 1， 2， 3 单位化，可得 故所求的二次型为xTAx=5x 122x 222x 32+4x1x2+4x1x3+8x2x3【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 3=(x1，x 2，x 3)T 是 A 关于 3 所对应的特征向量，由于 A 是实对称矩阵，有 1， 2， 3 两两正交，于是由解出 a=1 或 a=1 若
20、 a=1，从、 可得 3=(4，1，1) T，此时 1=(1，2，2) T， 2=(0，1，1)T， 0=(2，5，3) T因为 A 关于 的特征向量就是 A*关于 的特征向量，现在 0 不与任一个 A 的特征向量共线，说明 0 不是 A 的特征向量，a=1 不合题意，舍去 若 a=1，从、得 1=(1，0，2) T， 2=(2，1，1)T， 3=(2，5，1) T， 0=(2，5，1) T，那么 A3=33，即 A0=30，又A= 123=2，有 3A1 0=0，即 A*0= =20所以 a=l， 0=2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 AB，有 得 a=1，b=0，那么，矩阵
21、 A 的特征值是 1，0，6再分别解方程组( iEA)x=0 ，得 A 的特征向量=1时， 1=(2，0 ，1) T；=0 时， 2=(1，1，2) T；=6 时， 3=(1，5，2) T特征值不同，特征向量可正交，只需单位化为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为i(i=1，2，3)由题设，有 1+2+3=a+2+(2)=1， 1 2 3= =4a2b 2=12得 a=1，b= 2【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得 A 的特征值1=2=2， 3=3 对于 1=2=2，解齐次线性方程组(2E A
22、)x=0，得其基础解系 1=(2，0，1) T， 2=(0，1，0) T对于 3=3，解齐次线性方程组 (3E A)x=0，得其基础解系 3=(1，0，2) T由于 1， 2， 3 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将 1， 2， 3 单位化，由此得则 Q 为正交矩阵在正交变换 X=QY 下，有 且二次型的标准形为 f=2y12+2y223y 32本题求 a，b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定 二次型厂的矩阵 A 对应的特征多项式为=(2) 2(a2) (2a+b) 2 设 A 的特征值为1， 2， 3，则 1=2， 2+3=a2， 23=(2a+b 2)由题设得 1+2+3=2+(a2)=1， 123= 2(2a+b2)=12得 a=1，b=2 【知识模块】 线性代数
