1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 79 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rS 时，向量组必线性相关（C）当 rS 时，向量组必线性相关2 设 n 阶非奇异矩阵 A 的列向量为 1， 2， n，n 阶矩阵 B 的列向量为1， 2， n，若 1=1+2， 2=2+3， n=n+1，则矩阵 B 的秩( )（A）必为 n（B）必为 n1（C）为 n 或 n1（D）小于 n13 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 1 的特征向量
2、，则( )（A）当 1=2 时， 1 与 2 必成比例（B）当 1=2 时， 1 与 2 必不成比例（C）当 12 时， 1 与 2 必成比例（D）当 12 时， 1 与 2 必不成比例二、填空题4 设 若矩阵 x 满足 AX+2B=BA+2X，则X4=_5 已知 的一个特征向量，则 a=_6 设向量 都是方阵 A 的对应于特征值 =2 的特征向量，又向量则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设有两个 n 元齐次线性方程组 Ax=0 及 Bx=0，证明：7 若 Ax=0 得解都是 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)8 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=
3、r(B)9 设向量 1=(1，1，2，1) T， 2=(3，4，1，2) T， 3=(4，5，3，3)T， 4=(1，A ，3，0) T，=(0，k，5，1) T试问 ，K 取何值时， 不能由1， 2， 3， 4 线性表出?，K 取何值时， 可由 1， 2， 3， 4 线性表出?并写出线性表达式10 设 a1，a 2，a n 是 n 个互不相同的数，b 1，b 2，b n 是任意一组给定的数，证明：存在唯一的多项式 f(x)=C0xn1 +C1xn2 +Cn1 ，使得 f(ai)=bi(i=1，2， ，n)11 A 和 B 均是 mn 矩阵，秩 r(A)+r(B)=n，若 BBT=E 且 B
4、的行向量是齐次方程组AX=0 的解，P 是 M 阶可逆矩阵，证明：矩阵 pb 的行向量是 Ax=0 的基础解系12 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， t 是齐次方程组 AX=0 的基础解系，若存在i(i=1，2，t)，使 Ai=i，证明：向量组 1， 2， i， 1， 2， t 线性无关13 在 R3 中， 1， 2， 3， 1， 2， 3 是两组基，对任意向量 ， 在基 1， 2， 3的坐标为 x1，x 2，x 3 在基 1， 2， 3 的坐标为 y1，y 2，y 3，且两组基下的坐标有关系 y1=x1x 2， y 2=x2x 3，y 3=x3x 1求 R3 中的由基 1， 2， 3 到
5、基1， 2， 3 的基变换公式14 已知 1=3，2，0 T， 2=1，0，2 T 是线性方程组 的两个解向量，试求方程的通解，并确定参数 a，b，c 14 设 A，B 为同阶方阵，15 如果 A，B 相似，试证：A，B 的特征多项式相等16 举一个二阶方阵的例子说明上一题的逆命题不成立17 当 A，B 均为实对称矩阵时，试证：15 题的逆命题成立18 已知 A 相似于 B，即存在可逆阵 P，使得 P1 AP=B求证：存在可逆阵 Q，使得 Q1 AQ=B 的充分必要条件是存在与 A 可交换的可逆阵 C，使得 Q=CP19 设 n 阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相
6、同的特征值，证明：A 与 B 有相同的特征向量B 相似于对角矩阵20 设 A、B 都是 n 阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵 P，使得 P1 AP=B 的充分必要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式21 已知三元二次型 xTAx 经正交变换化为 2y12y 22y 32，又知 A*=，其中=(1， 1， 1)T，求此二次型的表达式22 已知 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A200422 已知矩阵23 求 A99；24 设 3 阶矩阵 B=(1， 2， 3)满足 B2=BA记 B100=(1， 2， 3)，将 1， 2， 3 分别表示为 1， 2， 3 的线性组合
7、25 A，B 是 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量25 设 A，B 都是三阶方阵，满足 AB=AB，若 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，证明：26 11(i=1，2，3)；27 存在可逆阵 C，使 C1 AC，CBC 1 同时为对角矩阵考研数学一（线性代数）模拟试卷 79 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法：如 则 1=0 1+0 2，但1， 2 线性无关，排除 A； 则 1， 2 可由 1 线性表示，但 1 线性无关，排除 B； 1 可由 1， 2 线性表示，但 1
8、线性无关，排除 C故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 当 n 为奇数时， r(B)=n；当 n 为偶数时，r(B)=n1故选 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时，它们为 A 的重数大于等于 2 的特征值，故对应的线性无关的特征向量个数可能大于 1，也可能等于 1，所以选项(A)与(B)均不对，而当12 时，则由对应于不同特征值的特征向量线性无关知， 1 与 2 必不成比例故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 应填【试题解析】 由矩阵方程得 (A2E)X=B(A2E)，因为 A2E= 可逆，故 X=(A2E)
9、1 B(A2E)从而 X4=(A2E) 1 B4(A2E)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 应填 2【试题解析】 设 a 是矩阵 A 属于特征值 0 的特征向量，按定义有可得 a=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 应填【试题解析】 由题设条件有 Ai=i(i=1，2)，又 =12 2，故 A=A( 122)=A12A2=2(12 2)=2=【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 由条件知 Ax=0 的解空间是 Bx=0 的解空间的子空间，因此，Ax=0 的解空间的维数不大于 Bx=0 的解空间的维数，即 nr
10、(A)n r(B)，于是得r(A)r(B)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由条件知 Ax=0 的解空间与 Bx=0 的解空间为同空间，因而该空间的维数为 nr(A)=nr(B)，由此即得 r(A)=r(B)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 本题相当于讨论线性方程组 AX=x11+x22+x33+x44= 何时有解?无解?由于 当k1，=2 时， 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，当 k=1，=2 时， 可由1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一 所以=(3k 12k2)1+(1+k1k 2)2+k13+k24(其中 k1， k2 为任意常数) 当 A2，k 为任意值时
11、， 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一其中2，k， 为任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 设 f(x)=C0xn1 +C1xn2 +Cn1 即是该多项式，则有上述非齐次线方程组因为其系数行列式为 n 阶范德蒙行列式，又因 a1，a 2，a n 互不相同，故 Dn=Vb0，由克莱姆法则知方程组存在唯一解(C 0，C 1，C n1 )，故存在唯一的多项式 f(x)，使得f(ai)=bi(i=1，2，n)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由 r(B)r(BBT)=r(E)=m，得到 r(B)=m于是 B 的行向量组线性无关，且 nr(A)=m 根据题设，B 的
12、行向量是 Ax=0 的解，知 ABT=0于是 A(PB)T=ABTPT=0PT=0 因此，PB 的 m 个行向量是 Ax=0 的解又矩阵 P 可逆，于是r(PB)=r(B)=m，从而 PB 的行向量线性无关，所以 PB 的行向量是 Ax=0 的基础解系 检验一组向量 1， 2， s 是否为 Amnx=0 的基础解系，只需检验：(1)1， 2， s 为 Ax=0 的解； (2)1， 2， s 线性无关；(3)s=nr(A) 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 如果 k 11+k22+ktt+l11+l22+ltt=0 用 A 左乘上式，并把 Ai=0，A i=i，i=1，2，t 代入，得
13、l11+l22+ltt=0 因为1， 2， t 是 Ax=0 的基础解系，它们线性无关，故对必有l1=0 l2=0， ，l t=0 代入 式，有 k11+k22+ktt=0 所以必有 k1=0， k1=0， ，k t=0 即向量组 1， 2， t， 1， 2， t 线性无关【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设基变换公式为 1， 2， 3=1， 2， 3C，其中 C 是过渡矩阵因 由题意知，y1=x1 x2， y 2=x2x 3， y 3=x3x 1，表示成矩阵形式为基变换公式为 1， 2， 3=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 对应齐次方程组有解 = 1 2=2，2，2 T=2
14、1，1，1 T，故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(Ab)2从而 r(A)=r(Ab)=2，故方程组有通解 k1，1，1 T+3，2，0 T将 1， 2 代入第一个方程，得 3a+2b=2， a2c=2，解得 a=22c，b= 23c ，c 任意常数，可以验证：当 a=22c，b= 23c，c 任意时，r(A)=r(A b)=2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 若 A，B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，故 E B= EP 1 AP=P 1 (EA)P =P 1 E AP =EA 【知识模块】 线性代数16
15、【正确答案】 令 则EA =EB=(1) 2 但 A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 B=P1 AP=P1 P=E，矛盾【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， 2， n，则有即存在可逆矩阵 P，Q ，使于是(PQ 1 )1 A(PQ1 )=B故 A，B 为相似矩阵【试题解析】 两矩阵相似则特征多项式相同，反之则不成立这种类似的反问题或逆问题的命题，若不成立，在平时学习时就应当有意识地积累相关的反例(2)在构造反例时应注意思路本题的反例中，若二阶矩阵 A，B 有两个不同值，则 A，
16、B 会相似于同一矩阵，从而 A，B 一定是有两个相同的特征值，且其中至少有一个是不可对角化的【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 必要性p 1 AP=Q1 AQ=B，Q 可逆，则得 QP1 A=AQP1 令QP1 =C，其中 C 可逆，且有 CA=AC 充分性已知 C 可逆，且 CA=AC令Q=CP，则 Q 1 AQ=(CP)1 ACP=P1 C1 ACP =P1 C1 CAP=P1 AP=B【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由于 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，若 A 与 B 有相同的特征向量，则 n 阶方阵 B 有 n 个线性无
17、关的特征向量，故 B 相似于对角矩阵设 为 A 的特征向量，对应的特征值为 ，则 A=，两端左乘 B，并利用AB=BA，得 A(B)=(B)，若 B0，则 B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量，由题设条件知 为单特征值，因此向量 及 B 又成比例，即存在数 ，使得B=，因此 也是 B 的特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 属于特征值 0 的特征向量，总之， 必为 B 的特征向量由于 的任意性，知 A 的特征向量都是 B 的特征向量，同理可证 B 的特征向量也都是 A 的特征向量，所以 A 与 B 有相同的特征向量【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 必要性是显然的，下面证明充分
18、性 设 A 与 B 有相同的特征多项式，则 A 与 B 有相同的特征值 1， 2， n，因为 A、B 都是实对称矩阵，故存在适当的正交矩阵 Q1，Q 2，使得 = Q2 (Q11 AQ1) Q21 = (Q1Q21 )1 A(Q1Q21 ) 令矩阵 P=Q1Q21 ，则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，知 P 为正交矩阵，且使 B=p1 AP，故充分性得证【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 xTAx=2y12y 22y 32 知 A 的特征值是 2，1，1，那么A =2从而 1，2，2 是 A*的特征值，因此 是 A*属于 =1 的特征向量，也就是 A 属于 =2 的
19、特征向量 设 A 属于 =1 的特征向量是 x=(x1，x 2，x 3)T，则因A 是实对称矩阵，x 与 正交，故 x1+x2x 3=0 解出 x 1=(1，1，0) T， x2=(1，0，1) T x 1，x 2 是 A 属于 =1 的特征向量故 xTAx=2x1x22x1x32x2x3【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于 A 是上三角矩阵，所以主对角元素就是 A 的特征值， 1=2=1， 3=4=1，因为矩阵 A 有四个线性无关的特征向量，故从而 a=0，类似地由 r(EA)=2 知，b=0， 对于 =1，由线性方程(EA)x=0 ，得 =1 的特征向量为 1=(1，0，0，0)
20、T， 2=(0，1，0，0) T 对于 =1，由线性方程(EA)x=0，得 =1 的特征向量为 3=(1， 0，0，1) T， 4=(0，1，1，0) T由于故 A 2004=(A2)1002=E【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 =(+1)(+2)=0，得 A 的特征值1=0， 2=1， 3=2于是，A 可以对角化当 1=0 时，解方程组(0EA)x=0因为 故矩阵 A 的对应于特征值 1=0 的特征向量为 1=3，2，2 T当 2=1 时，解方程组(EA)x=0因为 故矩阵 A 的对应于特征值2=1 的特征向量为 2=1，1，0 T当 3=2 时，解方程组(
21、2EA)x=0因为故矩阵 A 的对应于特征值 3=2 的特征向量为 3=1，2，0 T【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 B2=BA，有 B3=BB 2=BBA=B 2A=BAA=BA2类似可得 B100=BA99，即( 1， 2， 3 )= 故所求线性组合为 1=(2+2 99)1+(2+2 100)2， 2=(1299)1+(12100)2， 3=(2298)1+(2299)2【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设 =0 是 A，B 的特征值，设 r(A)=r，r(B)=s， 且1， ， n r 是 Ax=0 的基础解系，即是 A 关于 =0 的特征向量， 1， ns是
22、 B 关于 =0 的特征向量， = 1， nr ， 1， ， ns 必线性相关， =k11+knr nr +l11+lns ns =0(系数不全为零)，由于 1， nr 与1， ns 线性无关=k 1，k nr 与 l1， lns 必分别不全为零 令=k11+knr nr =l 11+lns ns 0，即为 A，B 公共的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 AB=A B=(A+E)(EB)=E=AB=BA 且 E+A0= 11(i=1，2，3)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 Axi=ixi，则 ABxi=BAxi=iBxi=Bxi=ixi(Bxi0)或 Bxi=0?xi(Bxi=0)，总之 xi 均为 B 的特征向量令 C= x1，x 2，x 3= 【知识模块】 线性代数
