1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 80 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 两个 4 阶矩阵满足 A2=B2，则（A）A=B（B） A=-B（C） A=B 或 A=-B（D）|A|=|B|或|A|=-|B|二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 求 f(x)= 的 x3 的系数3 A= ，证明|xEA|的 4 个根之和等于 a11+a22+a33+a444 设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明5 设 4 阶矩阵 A=(， 1， 2， 3)，B=(， 1， 2， 3),|A|=2，|B|=3，求|A+B|6 设 4 阶矩阵 A=(，
2、1， 2， 3)，B=(， 2， 3， 1)，|A|=a，|B|=b ，求|A+B|.7 设 求一 A13 一 A23+2A33+A438 计算行列式9 计算行列式10 已知(2 ，1，1，1) ，(2 ，1，a ，a)，(3，2，1， a)，(4，3，2，1)线性相关，并且a1，求 a11 计算 4 阶行列式12 计算行列式13 计算行列式14 设 计算行列式|A|15 计算 n 阶行列式16 证明 n 阶行列式 =1 一 a+a2 一 a3+(一 a)n17 证明 =(n+1)an18 计算19 计算 n 阶行列式20 (1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并
3、且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 Ak 与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且 Ak 的对角线元素为 a11k， a 22k，a nnk；f(A)的对角线元素为 f(a11)，f(a 22)， ，f(a nn) (a 11，a 22，a nn 是 A 的对角线元素)21 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，A=E 一 T，A -1=E+a-1T，求 a22 A=E 一 T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A2=3E 一 2A，求 T23 设 A=T，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k， A k=(T)k-1
4、A=(tr(A)k-1A (tr(A) 是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)24 设 求 An25 26 设 (1)证明当 n1 时 An=An-2+A2 一 E(2)求 An27 求28 3 阶矩阵 A，B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A= 求|B|29 设矩阵 E 为 2 阶单位矩阵，2 阶矩阵 B 满足 BA=B+2E，求|B| 30 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 求作矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B.31 A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列
5、向量，使得 P=(，A ，A 2)可逆，并且 A3=3A一 2A2 (1)求 B，使得 A=PBP-1 (2)求|A+E| 32 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)，|A|=1 ，B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)，求|B|33 (1)已知 1， 2 为 2 维列向量，矩阵 A=(21+2， 1 一 2)，B=( 1， 2)若|A|=6，求|B| (2) 1， 2， 3 是线性无关的 3 维向量组，3 阶矩阵 A 满足 A1=1+22，A 2=2+23，A 3=3+21 求|A|34 已知35 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶
6、矩阵的逆矩阵36 设 3 阶矩阵 A= ,A-1XA=XA+2A，求 X37 矩阵 求解矩阵方程 2A=XA 一 4X38 4 阶矩阵 A，B 满足 ABA-1=BA-1+3E，已知39 已知 XA+2B=AB+2X，求 X201740 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1=(一 1，1，1) T， 2=(2，一 1，1)T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A41 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，一1，1) T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A42 设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，
7、再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得C求 Q，使得 C=AQ。考研数学一（线性代数）模拟试卷 80 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对 A2=B2 两边取行列式，得|A| 2=|B|2 |A|2 一|B| 2=0 (|A|B|)(|A|+|B|)=0 |A|B|=0 或|A|+|B|=0 即|A|=|B|或|A|=-|B|【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23项 x 的次数都不超过 2，因此(x 一
8、3)(x 一 8)(x+1)x 中 x3 的系数一 10 就是所求【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 设 4 个根为 x1，x 2，x 3，x 4因为|xEA|是 x 的 4 次多项式，并且x4 的系数为 1，所以 |xEA|=(x 一 x1)(x 一 x2)(x 一 x3)(x 一 x4) 从右侧看为一(x1+x2+x3+x4)；再从左侧看，因为 |xEA|对角线外的元素都是不含 x 的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积(x 一 a11)(x 一 a22)(x 一 a33)(x 一 a44)这一项包含 x3 的，并且系数为一(a 11+a22+a33+a44)于是x
9、1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44.【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn次邻换于是【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A+B=(+，2 1，2 2，2 3)，( 注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加) |A+B|=|+，2 1，2 2，2 3|=8|+， 1， 2， 3| =8(|， 1， 2， 3|+|， 1， 2， 3|) =8(2+3)=40【知识
10、模块】 线性代数6 【正确答案】 A+B=(+， 1+2， 2+3， 3+1)， |A+B|=|+， 1+2， 2+3， 3+1| = |+，2 1+2+3， 2+3， 3+1|(把第 4 列加到第2 列上) =|+，2 1， 2+3， 3+1|(第 2 列减去第 3 列) =2|+， 1， 2+3， 3|=2|+， 1， 2， 3| =2(|， 1， 2， 3|+|， 1， 2， 3|) =2(|， 1， 2， 3|+|， 2， 3， 1|) =2a+26 |A+B|=2a+2b 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A13，A 23，A 33，
11、A 43 依次乘一 1，一 1，2，1 后的和A 13，A 23，A 33，A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的，因此如果把第 3 列元素改为-1，一 1，2，1，则 A13，A 23，A 33，A 43 不改变于是修改后的行列式的值=它对第 3 列的展开式=一 A13 一 A23+A33+A43!A13一 A23+2A33+A43【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 先提出第 5 行的公因子 a，再把上面 4 行依次加上它的一 2a 倍，a倍，一 a 倍和 2 倍：【知
12、识模块】 线性代数10 【正确答案】 这 4 个向量线性相关,以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为0 得 a=12【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式：【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，再自下而上 2 至 4 行各减去上行：【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与3，2 列交换，第 4 行依次和 3，2 行交换：【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 对第 1 列展开： |A
13、|=A 11+aA41=M11 一 aM41=1 一 a4【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 先建立递推公式：记此行列式为 Dn当 n3 时，对第 1 列( 或行)展开，得 Dn=A11+A21=Dn-1M21，M 21 的第 1 行为(1，0，0)，它对第 1 行展开得 M21=Dn-2于是得递推公式 D n=Dn-1Dn-2，于是用它可以从 D1，D 2 的值求得Dn事实上当 n4 时， D n=Dn-1Dn-2=Dn-2 一 Dn-3 一 Dn-2=一 Dn-3再由D1=1，D 2=0，D 3=D2 一 D2=一 1 推得【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 记此行列式为 Dn
14、，对第 1 行展开，得到一个递推公式 Dn=(1a)Dn-1+aDn-2(1)验证 n=1，2 时对：D 1=1 一 a， D 2= =(1 一 a)2+a=1a+a2 (2)假设对 n 一 1 和 n 一 2 结论都对，证明对 n 也对： D n-1=1 一 a+a2 一a3+(-a)n-1， D n-2=1 一 a+a2 一 a3+(一 a)n-2，则由递推公式 D n=(1 一 a)Dn-1+aDn-2=Dn-1 一 a(Dn-1 一 Dn-2)=Dn-1+(一 a)n=1 一 a+a2 一 a3+(一 a)n-1+(一 a)n【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 D n=2aDn-
15、1 一 a2Dn-2改写为 Dn 一 aDn-1=a(Dn-1 一 aDn-2)，记Hn=Dn 一 aDn-1(n2)，则 n3 时 Hn=aHn-2，即H n是公比为 a 的等比数列而H2=D2 一 aD1=3a22a2=a2，得到 Hn=an，于是得到一个新的递推公式 D n=aDn-1+an， 两边除以 an，得 Dna n=Dn-1a n-1+1于是D na n是公差为 1 的等差数列D 1a=2，则 D na n=n+1，D n=(n+1)an【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 x 1x2x3x4x5+x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1
16、x2x3x4【试题解析】 如果每个 xi 都不是 0，各列提出公因子 xi：=x1x2x3x4x5(1+x1-1+x2-1+x3-1+x4-1+x5-1) =x1x2x3x4x5+x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4如果有xi=0，则可直接计算如 x1=0，则第 1 列的元素都为 1，其他各列都减第 1 列，求出值为 x2x3x4x5【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 对第一列展开： 其中 Gi 是一个对角线元素都是一 l 的 i 一 1 阶下三角矩阵，H i 是一个对角线元素都是 x 的 ni 阶上三角矩阵，于是 M i1=|Gi|H
17、i|=(一 1)i-1xn-i【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，C=AB，要说明 C 的对角线下的元素都为 0，即 ij 时，c ij=0c ij=A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵， A 的第 i 个行向量的前面 i 一 1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 n 一 j 个分量都是 0，而 i 一 1+nj=n+(ij一 1)n，因此 cij=0 c ii=ai1b1i+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1bi+1i+ainbni =aiibii(
18、ai1=aii-1=0，b i+1i=bni=0) (2)设 A 是上三角矩阵由(1)，直接可得 Ak 是上三角矩阵，并且对角线元素为 a11k， a22k，a nnk 设 f(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0Ea iAi都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A) 也是上三角矩阵f(A) 的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是 f(a11)，f(a 22)，f(a nn)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (E 一 T)(E+a-1T)=E E+a-1T 一 T 一 a-1TT=E a-1T 一T =0， ( T=2a2) (a-1 一 12a)T=0， a -1 一 12a
19、=0，(因为 T 不是零矩阵) 1 一 a 一 2a2=0 a=一 1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 2=3E 一 2A，A 2+2A 一 3E=0，(A+3E)(AE)=0 ，(4E 一 T)(一T)=0，4 T =0，( T 是数!)(4 一 T)T=0，(由于 ， 都是非零列向量， T 不是零矩阵)4 一 T=0， T=4，从而 T=T=4【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A k=(T)k= =(T)(T)( T)T=(T)k-1A T=a1b1+a2b2+anbn，而 a1b1，a 2b2，a nbn 正好是 A=T 的对角线上各元素，于是 T=tr(A)， A
20、k=(tr(A)k-1A【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 的秩为 2，先求 A2A2=2A 即 AA=2A，A 在乘 A 上的作用相当于 2 乘 A，于是 A n=An-1A=2n-1A【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 记此矩阵为 A则 A 2007=(A2)1008A=(一 2)1008A=21008A【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)A n=An-2+A2 一 E 即 A n 一 An-2=A2 一 E A n-2(A2 一 E)=A2 一E只要证明 A(A2 一 E)=A2 一 E此式可以直接检验：(2)把 An=An-2+A2 一 E 作为递推公式求
21、Ann 是偶数 2k 时：A 2k=A2k-2+A2 一 E=A2k-4+2(A2 一 E)=k(A2一 E)+En 是奇数 2k+1 时：A 2k+1=AA2k=Ak(A2 一 E)+E=k(A2 一 E)+A【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 记此矩阵为 A，记 则 A=B+E因为 B 和 E 乘积可交换，对 A10=(B+E)10 可用二项展开式： (B+E)10= 注意矩阵 B 满足：而当 n2 时 Bn 是零矩阵于是A10=C108B2+C109B+E=45B2+10B+E=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 用 A 从右侧乘 ABA*=2BA*+E 的两边，得 |A|A
22、B=2|A|B+A， |A|(A 一 2E)B=A，两边取行列式|A| 3|A 一 2E|B|=|A|，【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 2【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A( 1， 2， 3) =(A1，A 2，A 3) =(1+2+3，2 2+3，2 2+33)【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)A=PBP -1 即 AP=PB 或 A(，A，A 2)=(，A，A 2)BA(，A,A 2)=(A， A2，A 3)=(A，A 2，3A 一 2A2)(2)A+E=P(B+E)P-1则|A+E|=|P|B+E|P-1|=|B+E|= =一 4【知识模块】 线性代数3
23、2 【正确答案】 B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 (1)一 2 (2)9【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 记 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，=(c 1，c 2，c 3)T，所求行列式相应的矩阵为： (+，+，+)将它对 (，) 做矩阵分解，得(+，+，+)=(，) 两边求行列式，得所求行列式的值：+， +，+= |，| =3(3+3)【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆 (1) 的逆矩阵可用初等变换法计算： 的逆矩阵也可用初等变换法计算： 的
24、逆矩阵用“ 待定系数法 ”计算：即设它的逆矩阵为 求 Dij则 BD21=0，得D21=0(因为 B 可逆)BD 22=E，得 D22=B-1AD 11+CD21=E，即 AD11=E，得 D11=A-1AD 12+CD22=0，得 D12=一 A-1CB-1 用 的方法，得【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 A -1XA=XA+2A A-1X=X+2E X=AX+2A (EA)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 化 2A=XA 一 4X 得 X(A 一 4E)=2A用初等变换法解此矩阵方程：【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 用 A
25、右乘 ABA-1=BA-1+3E 的两边，得 AB=B+3A；再用 A*从左乘两边，得 |A|B=A*B+3|A|E ，由|A*|=8 ，得|A|=2 ，代入上式： (2E A*)B=6E，用初等变换法求得【知识模块】 线性代数39 【正确答案】 由 XA+2B=AB+2X 化得：X(A 一 2E)=(A 一 2E)B，即 X=(A 一2E)B(A 一 2E)-1，则 X2017=(A 一 2E)B2017(A 一 2E)-1=(A 一 2E)B(A 一 2E)-1=X再从关于 X 的矩阵方程 X(A 一 2E)=(A 一 2E)B 用初等变换法解得【知识模块】 线性代数40 【正确答案】 令 3=(1，1，1) T，则 A3=(2，2，2) T，建立矩阵方程： A(1， 2， 3)=(0，0，2 3)， 用初等变换法解得【知识模块】 线性代数41 【正确答案】 【知识模块】 线性代数42 【正确答案】 利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系，得【知识模块】 线性代数
