1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 98 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A1 B 1 为对称矩阵（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵2 设 1， 2 为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组Ax=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( )3 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 P
2、AP1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵4 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P11 AP1，P 21 BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P1 (A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B5 设 P= ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQ=O，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当 t6 时，r(Q)=1（D）当 t6 时，r(Q)=26 设 A=(1， 2， m)，其中
3、i 是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数k1，k 2，k m，皆有 k11+k22+kmm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=（D）若 AB=O，则 B=O二、填空题7 设 A= ，则 A1 =_8 设 为三维空间的两组基，则从基 1， 2， 3 到基 e1，e 2，e 3 的过渡矩阵为_9 设 A= (a0)，且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_10 设 D= ，则 A31+A32+A33=_11 设 A，B 都是三阶矩阵，A= ，且满足(A *)1 B=ABA+2A2，则 B=_12 设 A= ，且存在三阶非零矩阵 B，使得 A
4、B=O，则a=_，b=_13 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， ，其对应的特征向量为 1， 2， 3 令P=(23，一 31，一 2)，则 P1 (A1 +2E)P=_14 f(x1，x 2， x3，x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2，且 A2 一 2A=O，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 计算行列式 15 设 D= ，16 计算 D；17 求 M31M 33+M3418 设四阶矩阵 B 满足( A*)1 BA1 =2ABE，且 A= ，求矩阵 B19 设 1， m， 为 m+1 维向量，= 1+ m(m1)证明：若 1， m 线性无关，
5、则 一 1， 一 m 线性无关20 设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(+ 1 ，+ s )20 设矩阵 A= 有一个特征值为 321 求 y；22 求可逆矩阵 P，使得(AP) T(AP)为对角矩阵23 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 1= ，属于特征值 2=3=2 的特征向量为 2= ，求属于 2=3=2的另一个特征向量24 ，问 a，b，c 取何值时， ()，()为同解方程组?25 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2=A，
6、r(A)=r(0 rn)求5E+A25 设矩阵 为 A*对应的特征向量26 求 A，B 及 对应的 A*的特征值；27 判断 A 可否对角化考研数学一（线性代数）模拟试卷 98 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A 1 +B1 )T=(A1 )T+(B1 )T=A 1+B1 ，得 A1 +B1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵，选(A) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1+2 为方
7、程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而 为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 (A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6
8、 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D) 【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 令过渡矩阵为 Q，则(e 1，e 2，e 3)=(1， 2， 3)Q，Q=( 1， 2， 3)1 (e1，e 2，e 3)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】
9、因为 AX=0 有非零解，所以A=0，而A = =一(a+4)(a 6)且 a0，所以 a=一 4因为 r(A)=2，所以 r(A*)=1因为 A*A=AE=O，所以A 的列向量组为 A*X=0 的解，故 A*X=0 的通解为 X= (C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0【试题解析】 A 31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A35【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 A=一 3，A *=AA 1 =一 3A1 ，则(A *)1 B=ABA+2A2 化为AB=ABA+2A2，注意到 A 可逆，得 B=BA2A 或一 B=3
10、BA+6A，则 B=一 6A(E3A) 1 ，E3A=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 a=2，b=1【试题解析】 A ，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又 BO，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 P 1 (A1 +2E)P=P1 A1 P+2E，而 P1 A1 P=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 2 一 2A= 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y12+y22【知识模块
11、】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 =48【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 M 31+M33+M34=1A31+0A32+1A33+(一 1)A34【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 k1( 1)+km( 一 m)=0，即 k1(2+3+ m)+k m(1+2+ m1 )m=0 或(k 2k 3+km)1+(k1+k3+km)2+(k1+k2+km1 )m=0，因为 1， m 线性无关，所以 因为 =(一1)m1 (m 一 1
12、)0，所以 k1=km=0，故 一 1， 一 m 线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1， 2， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ s线性无关，故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 3 为 A 的特征值，所以3EA=0，解得 y=2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有1=2=一 1+k=0 ，令 2=3=2 对应的另一个特征向量为 3= ，由不同特征值对应的特征向
13、量正交，得 x1+x2+x3=0 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 A2= 可以对角化由 A2=A，得AE 一 A=0 ，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 1因为 r(A)=r 且 0r n，所以 0 和 1 都为 A 的特征值，且 =1 为 r 重特征值，=0 为 nr 重特征值，所以 5E+A 的特征值为 =6(r重)，=5(n r 重)，故5E+A=5 nr 6r【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=1，则有 ，A=12，设 A 的另外两个特征值为 2， 3，由 得 2=3=2 对应的 A*的特征值为 =4【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 2EA= ，因为 r(2E-A)=2，所以 2=3=2 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数
