1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 99 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=O（B） ABO 的充分必要条件是 AO 且 BO（C） AB=O 且 r(A)=n，则 B=O（D）若 ABO，则A0 或B02 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示3 设 n 阶矩阵 A 与对角矩
2、阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵4 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A 1 是正定矩阵5 下列命题正确的是( ) （A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 ， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1+2， 2+3， n+1 一定线性无关
3、（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆6 设 ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同二、填空题7 设 A= ，则(A *)1 =_8 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为_9 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，则4A *+3E=_10 设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且E-A=E 一 2A=E 一3A=0，则B 1 +2E=_11 =_12 设 为非零向量，A
4、= ， 为方程组 AX=0 的解，则 A=_，方程组的通解为_13 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3 满足_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算 D= 15 设 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，且 A= ，求 B15 设 n 阶矩阵 A 满足 A2+2A 一 3E=O求：16 (A+2E)1 ；17 (A+4E)1 18 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1+2， 2+3
5、， n+1 线性无关19 求方程组 的通解19 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=O，设(1，1，一 1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量20 求 A 的特征值；21 求矩阵 A22 设 n 阶矩阵 A 满足(aE 一 A)(bE 一 A)=O 且 ab，证明：A 可对角化23 设矩阵 A 满足(2E C1 B)AT=C1 ，且 ，求矩阵 A24 25 设 A= 有三个线性无关的特征向量，且 =2 为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵25 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且 A1=一1+22+23，A 2
6、=21 一 2 一 23，A 3=211 一 22 一 326 求矩阵 A 的全部特征值；27 求A *+2E考研数学一（线性代数）模拟试卷 99 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 取 ，显然 AB=0，故(A)、(B)都不对，取 ，但A=0且B =0 ，故 (D)不对；由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=O，所以选 (C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所
7、以 1 可由 2， 3 线性表示，选(A)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数， (A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是
8、充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由E 一 A=0 ，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9，由E 一 B=0，得 B 的特征值为 1=1， 2=3=3，因为A，B 惯性指数相等，但特征值
9、不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 A=10，因为 A*=AA 1 ，所以 A*=10A1 ，故(A *)1 = 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (其中 k 为任意常数)【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 10【试题解析】 ，4A *3E 的特征值为 5,1,2，于是 4A*3E=10【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 60【试题解析】 因为EA=E2A= E 3A=0 ，所以 A 的三个特征值为，又 AB；，所以 B 的特征值为 ，从而 B1 的特征值为 1，2，3，则B1 +2E 的特征
10、值为 3，4 ，5，故B 1 +2E=60【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 ，通解为 k(一 3，1，2) T【试题解析】 AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，于是 A= ， ，方程组 AX=0 的通解为 k(一 3，1，2) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x3A2(1+2+3)=0，即(x 1+1x2+12x3)1+(2x2+22x3)2+32x33=0，则有 x1+1x2+12x3=0， 2x2+22x3=0， 32x3=0，因为x1，x 2，x 3 只能全为
11、零，所以 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A*BA=2BA8E 得 AA*BA=2ABA 一 8A，即2BA=2ABA 一8A，整理得(A+E)B=4E ，所以 B=4(A+E)1 = 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=O 得 A(A2E)=3E， A(A+2E)=E ，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 1 = A【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 A2+2A 一 3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=O，则(A+
12、4E) 1 =(A2E)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即(x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn1 +xn)n=0，【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 A 2 一 3A= =0，3，因为 r(A)=1，所以 1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则 x1+x2 一 x3=0，则0 对应的特征向量为 2=(一 1，1，0) T， 3=(1，0，1)
13、 T，令【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由(aE A)(bE 一 A)=O，得aEA bE 一 A=0，则aEA=0 或者bEA =0又由(aEA)(bEA)=O，得 r(aEA)+r(bE A)n同时 r(aEA)+r(bEA)r(aEA)一(bEA)=r(a 一 b)E=n所以 r(aEA)+r(bEA)=n(1)若aE A0，则 r(aEA)=n，所以 r(bEA)=0，故 A=bE(2)若bE 一 A0，则 r(bE 一 A)=n，所以 r(aEA)=0，故 A=aE(3)若aE A=0 且6EA=0 ，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aEA)X=0 的基础解系含有
14、 n 一 r(aEA)个线性无关的解向量，即特征值a 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(aEA)个；方程组(bE A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bE 一 A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bE A)个因为 n 一 r(aEA)+nr(bE A)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由(2E C1 B)AT=C1 ，得 AT=(2E 一 C1 B)1 C1 =C(2EC 1 B)1 =(2CB) 1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 A= ，
15、方程组( )可可写为 AX=b，方程组()、()可分别写为 ATY=0 及 =0若方程组() 有解，则 ，又因为()的解一定为( )的解，所以()与()同解；反之，若 ()与(m)同解，则 r(AT)= ，故方程组()有解【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1，而 2EA ，所以 x=2，y=一 2由E 一A= =(-2)2(-6)=0 得 1=2=2， 3=6由(2E 一 A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 ，由(6EA)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为3= ，令【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2， 3 线性无关，所以(1， 2， 3)可逆，故 A =B由E 一 A=EB=(+5)( 一 1)2=0，得 A 的特征值为一 5，1，1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为A=一 5，所以 A*的特征值为 1，一 5，一 5，故 A*+2E的特征值为 3，一 3，一 3，从而A *+2E=27 【知识模块】 线性代数
