1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 1 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1=t11+t22， 2=t12+t23， ， s=t1s+t21，t 1t2 为实常数 试问 t1t2 满足什么关系时，1， 2， s，也为 Ax=0 的一个基础解系2 设有齐次线性方程组 试问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求其通解3 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，6，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵 (k为常数)，且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解4 设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵
2、，A *为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为5 已知 4 阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22-3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解5 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解6 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；7 求 a,b 的值及方稗组的通解7 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中8 当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；9 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解9 设10 求满
3、足 A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；11 对(I)中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关11 设 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个小吲的解12 求 ，a；13 求方程组 Ax=b 的通解13 设14 计算行列式丨 A 丨；15 当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解考研数学一（线性方程组）模拟试卷 1 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 由于 i(i=1，2，s)是 1， 2， ， s 的线性组合，又1， 2， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次方程组解的性质知 i(i=1，2，s)均为 Ax
4、=0 的解 从 1， 2， s 是 Ax=0 的基础解系，知 s=n-r(A) 下面来分析 1， 2， s 线性无关的条件设 k11+k22+kss=0，即 (t 1k1+t2k2)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)3+(t2ks-1+t1ks)s=0，由于 1， 2， s 线性无关，因此有 (*)因为系数行列式 =t1s+(-1)s+1t2s，所以当 t1s+(-1)s+1t2s0 时，方程组(*)只有零解 k1=k2=ks=0从而 1， 2， s线性无关即当 s 为偶数 t1t2，s 为奇数 t1-t2 时， 1， 2， s 也为 Ax=0 的一个基础解系【试题解析】 如
5、果 1， 2， s 是 Ax=0 的基础解系，则表明 (1)1， 2， s 是 Ax=0 的解； (2)1， 2， s 线性无关； (3)s=n-r(A) 或1， 2， s 可表示 Ax=0 的任一个解 那么要证 1， 2， s 是基础解系，也应当与证这三点 本题中(1)、(3) 是容易证明的，关键是(2)线性相关性的证明在考研中是常见的【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 设齐次方程组的系数矩阵为 A，则 an+1 那么，Ax=0 有非零解 丨 A 丨=0 a=0 或 a=-1/2(n+1)n当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等变换，有 故方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，由此
6、得基础解系为 1=(-1，1，0， ，0) T， 1=(-1，0，1，0) T， ， n-1=(-1，0，0，1) T于是方程组的通解为x=k11+kn-1n-1，其中 k1,k21,.,kn-1 为任意常数 当 a=1/2(n+1)n 时，对系数矩阵作初等行变换，有故方程组的同解方程组为由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数【试题解析】 确定参数，使包含 n 个未知量和 n 个方程的齐次线性方程组有非零解，通常用两个方法：一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形；再就是由其系数行列式为零解出参数值本题的关键是参数 n 有两个俯，对每个值都要讨论
7、【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 由 AB=0 知 r(A)+r(B)3，又 A0，B0，故 1r(A)2， 1r(B)2 (1)若 r(A)=2，必有 r(B)=1，此时 k=9 方程组 Ax=0 的通解是 t(1，2，3) T，其中 t 为任意实数 (2)若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组是 ax1+bx2+cx3=0 且满足 如果 c0，方程组的通解是 t1(c，0，-a) T+t2(0，c， -b)T，其中 t1，t 2 为任意实数； 如果 c=0，方程组的通解是 t1(1，2，0) T+t2(0，0，1) T，其中 t1，t 2 为任意实数 (1)如果 k9，则秩
8、r(B)=2由 AB=0 知 r(A)+r(B)3因此，秩 r(A)=1， 所以 Ax=0的通解是 t1(1，2，3) T+t2(3，6，k) T，其中 t1，t 2 为任意实数 (2)如果 k=9，则秩r(B)=1，那么，秩 f(A)=1 或 2 若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解是 t(1，2，3) T，其中 t为任意实数 若 r(A)=1，对 ax1+bx2+cx3=0，设 c0，则方程组的通解是 t1(c，0，-a)T+t2(0，c， -b)T【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 本题没有给出具体的方程组，因而求解应当由解的结构、由秩开始 因为 Ax=0 只有
9、1 个线性无关的解，即 n-r(A)=1，从而 r(A)=3那么 r(A*)=1 n-r(A*)=4-1=3故 A*x=0 的基础解系中有 3 个线性无关的解，可见选项 (A)、(B)均错误 再由 A*A=丨 A 丨 E=0，知 A 的列向量全是 A*x=0 的解，而秩 r(A)=3，故A 的列向量中必有 3 个线性无关最后，因向量(1，0，1，0) T 是 Ax=0 的解，故=(1， 2， 3， 4) 即 1+3=0，说明 1， 3 线性相关 1， 2， 3 线性相关，由此可知选项(C) 错误从而应选 (D)用排除法求出 r(A*)=3，排除选项(A)，(B)；由 1+3=0，即 1， 3
10、线性相关 .【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 由 2， 3， 4 线性无关及 1=22-3 知，向量组的秩r(1， 2， 3， 4)=3，即矩阵 A 的秩为 3因此 Ax=0 的基础解系中只包含一个向量那么由( 1， 2， 3， 4) =1-22+3=0.知，Ax=0 的基础解系是（1，-2,1,0） T 再由 =1+2+3+4=(1， 2， 3， 4) 知，（1.1.1.1） T 是 Ax=的一个特解，故 Ax= 的通解是 ，其中 k 为任意常数.【试题解析】 方程组的系数没有具体给出，应当从解的理论及解的结构人手来求解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】
11、 设 1， 2， 3 是非齐次方程组的 3 个线性无关的解，那么 1-2， 1-3， 3 是 Ax=0 线性无关的解，所以 n-r(A)2，即 r(A)2 显然矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，所以又有 r(A)2，从而秩 r(A)=2【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有r(A)=r(A)=2 知 n=2，b=-3 又 =(2， -3，0，0) T 是 Ax=b 的解， 1=(-2，1，1，0) T， 2=(4，-5 ，0，1) T 是Ax=0 的基础解系，所以方程组的通解是 a+k11+k22(其中 k1k2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组【知识模块】
12、 线性方程组8 【正确答案】 由克莱姆法则，丨 A 丨0 时方程组有唯一解，故 a0 时方程组有唯一解，且用克莱姆法则(记 n 阶行列式丨 A 丨的值为 Da)，有【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 当 a=0 时，方程组 有无穷多解其通解为(0 ，1，0，0) T+k(1，0，0，0) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 对于方程组 Ax=1，增广矩阵作初等行变换，有得方程组通解 x1=t，x 2=-t，x 3=1+2t，即2=(t， -t，1+2t) T，其中 t 为任意常数由于 A2= ，对 A2x=1，由增广矩阵作初等行变换
13、，有 得方程组通解 x1=-1/2-u，x 2z=u，x 3=v，即 3=(-1/2-u，u，v) T，其中 u，v 为任意常数【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 方法 1 因为行列式所以对任意的 t，u，v，恒有丨 1， 2， 3 丨0，即对任意的 2， 3，恒有 1， 2， 3 线性无关方法 2(用定义) 易知 A1=0设存在常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33=0， 用 A 左乘式两边得 k 2A2+k3A3=0，即 k21+k3A3=0， 用 A 左乘式两边得 k 3A23=0，即k3A1=0 由于 10，所以 k3=0，代入 知 k2=0，最后由得 k1
14、=0，从而1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 因为线性方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，所以 r(A)=r(A)=(+1)(-1)2=0，知 =1 或 =-1 当 A=1 时，必有 r(A)=1，r(A)=2 此时线性方程组 Ax：b 无解故 A=1 应舍去 而当 =-1 时，若 a=-2，则 r(A)=r(A)=2，方程组Ax=b 有无穷多解敝 =-1，a=-2【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 =-1，a=-2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为(3/2,-1/2,0) T+k(1，0，1) T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 按第一列展开，即得 =1-a4(n)因为丨 A 丨=0 时，方程组 Ax= 有可能有无穷多解由 (I)知 a=1 或 a=-1当 a=1 时， 由于 r(A)=3，r(A)=4，故方程组无解凶此，当 a=1 时不合题意，应舍去【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 当 a=-1 时，由于 r(A)：r(A)=3，故方程组 Ax= 有无穷多解选 x3 为自由变量，得方程组通解为：(0，-1，0，0)T+k(1，l，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组
