1、考研数学一（线性方程组）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设有齐次线性方程组 A0 和 B0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 A0 的解均是 B0 的解，则 r(a)r(B)；若 r(A)r(B)，则 A0 的解均是 B0 的解；若 A0 与 B0 同解，则 r(A)r(B)；若 r(A)r(B)，则 A0 与 B0 同解以上命题中正确的有( )（A）（B） （C） （D）2 设 1， 2 为非齐次方程组的 的解向量， 1， 2 为对应齐次方程组的解，则( )（A） 1 22 1 为该非齐次方程组的解（B） 1 1
2、 2 为该非齐次方程组的解（C） 1 2 为该非齐次方程组的解（D） 1 2 1 为该非齐次方程组的解3 n 元线性方程组 AB 有两个解 a，c ，则下列方程的解是 ac 的是( )（A）2A B（B） A0（C） AA（D）AC4 非齐次线性方程组 AB 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46矩阵，则( )（A）无法确定方程组是否有解（B）方程组有无穷多解（C）方程组有唯一解（D）方程组无解5 对于齐次线性方程组 ，而言，它的解的情况是( )（A）有两组解（B）无解（C）只有零解（D）无穷多解6 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 A若存在 3 阶矩阵BO，使得 ABO，则(
3、 )（A）2 且B0（B） 2 且B0 （C） 1 且B0（D）1 且B07 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 r(A)，则线性方程组( )（A）A 必有无穷多解（B） A 必有唯一解（C） 仅有零解（D） 必有非零解8 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ab的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A0 的基础解系( )（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量二、填空题9 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ab 的三个不同的解，如果
4、1 22 3(2，0，0，0) T，3 1 2(2，4，6，8) T，则方程组 Ab的通解是_10 线性方程组 ，有解，则未知量 a_11 设 A(a ij)是 3 阶正交矩阵，其中 a331，b(0，0，5) T，则线性方程组Ab 必有一个解是 _12 非齐次方程组 的通解是_13 已知齐次线性方程组 有通解k1(2， 1，0，1) Tk 2(3，2，1，0) T，则方程组的通解是_14 已知方程组() () 50，那么()与()的公共解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 n 元线性方程组 Ab，其中(1)当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 1； (2) 当
5、 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解16 设矩阵 A(a 1，a 2，a 3，a 4)，其中 a2，a 3，a 4 线性无关，a 12a 2a 3，向量ba 1a 2a 3a 4，求方程 Ab 的通解17 设 1， s 是非齐次线性方程组 Ab 的 s 个解，k 1，k s 为实数，满足k1k 2k s1证明 k 11k 22k ss 也是方程组的解18 设 A (1)计算行列式 A (2)当实数 a 为何值时，方程组 A 有无穷多解，并求其通解19 设 ，当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AcCAB，并求所有矩阵 C20 问 取何值时，齐次线性方程组 ，有非零解21 写出一个
6、以 为通解的齐次线性方程组22 取何值时，非齐次线性方程组 (1)有唯一解；(2)有无穷多个解；(3)无解23 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 求该方程组的通解24 设有向量组 A： 及向量 b ，问， 为何值时： (1) 向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式唯一； (2)向量 b 不能由向量组 A 线性表示； (3)向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式25 设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1(1 ，1，2，3) T， 2(1，1，4，1)T， 3(5，1，8，9) T 是齐次线性方程组 B0
7、的解向量，求 B0 的解空间的一个标准正交基考研数学一（线性方程组）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于线性方程组 A0 和 B0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以， 显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B下面证明， 正确：对于，由 A0 的解均是 B0 的解可知，方程组 B0 含于 A0 之中，从而 A0 的有效方程的个数(即为 r(A)必不少于 B0 的有效方程的个数(为r(B)，故r(A)r(B)对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 A0 与 B0
8、 同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即nr(A) nr(B)，从而 r(A)r(B)所以应选 B【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查线性方程组的解的性质，将四个选项分别代入非齐次方程组， 因此选 B【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 A(ac) AaAc0，所以 ac 是 A0 的解【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 B【试题解析】 由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】
9、 C【试题解析】 这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况对系数矩阵 A 作初等列交换，得 ，因此 r(A)3，系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，故选 C【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 将矩阵 B 按列分块，则由题设条件有 ABA 1， 2， 3A 1，A 2，A 3O 即 ABi0(i1，2，3)，这说明矩阵 B 的列向量都是齐次线性方程组 A0 的解又由 BO，知齐次线性方程组 A0 存在非零解，从而r(A)3，且 A 为 3 阶方阵，故有即 1，排除选项A、B 若B 0，则矩阵 B 可逆以 B-1 右乘 ABO ，得 ABB
10、-1OB -1，即AO 这与 A 为非零矩阵矛盾，选项 D 不正确故选 C【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 D【试题解析】 由于选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除 A、B 又齐次线性方程组有 n1 个变量，而由题设条件知，秩 r(A)nn1 所以该方程组必有非零解，故选 D【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 B【试题解析】 因为齐次线性方程组的基础解系所含线性无关的解向量的个数为nr(A) 而由 A*D 可知， A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个(n1)阶子式不为零，再由矩阵秩
11、的定义有 r(A)n1又由Ab 有互不相等的解知，其解存在且不唯一，故有 r(A)n ，从而 r(A)n1因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B【知识模块】 线性方程组二、填空题9 【正确答案】 ( 1，0，0，0) Tk(0，2，3，4) T【试题解析】 由于 r(A) 3，所以齐次方程组 A0 的基础解系共有 4r(A)431 个向量，又因为 ( 1 22 3)(3 1 2)2( 3 1)(0， 4，6，8) T 是 A0 的解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4) T，由 A(1 22 3)A 1A 22A 34b， 可知 (1 22 3)是方程组 Ab 的一个
12、解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是( ，0，0，0)Tk(0，2，3，4) T【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 3【试题解析】 非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵作初等变换可知 a3 时，r(A)r(A，b) ，此时方程组有解【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 (0，0，5) T【试题解析】 由正交矩阵定义，首先 AATA TAE，由此可知 A 的列向量和行向量都是单位向量，因此可设 A ，于是 ，则线性方程组 Ab 必有一个解是(0，0，5) T【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 (k1，k 2 为任意
13、常数)【试题解析】 对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k(13，3，1，5) T(k 为任意常数)【试题解析】 方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1) 的通解为 满足(2)的第三个方程，得 (2k 13k 2)2(k 12k 2)0k 2k 10， 得到 5k1k 2，将其代入(1)的通解中，得 5k21，2，1，0，1 Tk 23，2，1，0Tk 213，3，1，5 T， 是方程组(2)的通解【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 k(5，3，1) T(k 为任意常数)
14、【试题解析】 将方程组()和方程() 联立，得到方程组()() 的解就是两者的公共解对()的系数矩阵做初等行变换可得 由于 A 的秩为 2，因此自由变量有 1 个，令自由变量 31，代入可得 23， 15，所以()的基础解系为 ( 5，3，1) T 因此()和()的公共解为 k(5，3，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)当 a0 时，方程组系数行列式 Dn0，故方程组有唯一解根据克拉默法则，将 Dn 的第一列换成 b，得行列式为所以， 1 (2)当 a0 时，方程组为(0，1， ，0) Tk(1，0，0
15、) T，其中 k为任意常数【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 已知 a2， a3，a 4 线性无关，则 r(A)3又显然 a1，a 2，a 3 线性相关，因此由 a1，a 2，a 3，a 4 线性相关可知 r(A)3 终上所述，有 r(A)3，从而原方程的基础解系所含向量个数为 431， a12a 2a 3 a12a 2a 30 (a1，a 2，a 3，a 4) 0， 即 (1，2，1，0) T满足方程 A0，所以 (1，2，1，0) T 是该方程组的基础解系 又ba 1a 2a 3a 4 (1 ，1，1，1) T 是方程 Ab 的一个特解 于是由非齐次线性方程组解的结构可知，原方程的
16、通解为【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 由于 1， s 是非齐次线性方程组 Ab 的 s 个解，故有 Aib(i1，s)， 当 k 11k 22k ss， 有AA(k 11k 22k ss)k 1A1k 2A2k sAsb(k 1k s)b， 即Ab(k 11k 22k ss)， 由此可 也是方程的解【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 (1)(2)方程组的增广矩阵 可知要使原线性方程组有无穷多解，则有 1a 40 及a a 20，可知 a1 此时，原线性方程组的增广矩阵为 ， 进一步化为行最简形得， 可知导出组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为， 故其通解为 ，其中 k 为任
17、意常数【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 令 C ，根据题意则由 ACCA B 得该方程组是 4 元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解，于是因此，当a1，b 0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCAB 又增广矩阵所以通解 即 C (其中 c1，c 2 为任意常数 )【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 方程组系数矩阵的行列式 D (1)2(3)284(3)(1)4(1) (1 ) 2(3)(3) (3 )(1)1 (3)(2) 要使齐次线性方程组有非零解，则 D0，得 0，2或 3将 的值分别代入原方程组得 0 时，方程组的解为 2时，方程组的解为 3
18、 时，方程组的解为 以上均是非零解，因此当 0，2 或 3 时，该齐次线性方程组有非零解【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 把已知的通解改写为 设 c1 3，c 2 4，则有 所求方程组有 2 个自由未知数 3， 4，且对应的同解方程组为 即 它以题中所给的 为通解【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 对方程组的增广矩阵 B 进行初等行变换可得由此可知，(1)1 ，2 时，系数矩阵与增广矩阵秩均为 3，且等于未知量的个数，因此方程组有唯一解；(2)1 时，系数矩阵与增广矩阵秩均为 1，且小于未知量的个数，因此方程组有无穷多解；(3)2 时，系数矩阵秩为 2，增广矩阵秩为3，二者不
19、相等，因此方程组无解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 记该非齐次方程组为 Ab，因为 r(A)3，nr(A)431，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 1， 2， 3 均为方程组的解，因此齐次线性方程组 A0 的解为 2 1( 2 3)( 1 2)( 1 3) 故此方程组的通解【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 记矩阵 A(a 1，a 2，a 3)，那么方程 Ab 有解的充要条件为易可由向量组 A 线性表示 (1)当方程 Ab 的系数行列式即当 4 时，方程有唯一解，从而向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式唯一 (2)当 4 时，增广矩阵于是当4 ，0 时，方程 Ab 无解，从而向量 b 不能由向量 A 线性表示 (3)当4 ，0 时， r(A)r(A ，b)23，方程Ab 有无穷多解，从而 4，0 时，向量 b 可由向量组 A 线性表示，且表示式不唯一 因为方程 Ab 的通解为故 b 由向量组 A 线性表示的一般表达式为 bA (a1，a 2，a 3) ca 1(2c1)a 2a 3，cR【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 因为 r(B)2，因此解空间的维数是 4r(B)422 又因1， 2 线性无关，因此 1， 2 是解空间的一组基，将其正交化，令即 1， 2 为所求的一个标准正交基【知识模块】 线性方程组
