1、考研数学一（综合）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 行列式 为 f(x)，则方程 f(x)=0 的根的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 A 是 mn 矩阵，B 是，nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有行列式丨 AB 丨0（B）当 mn 时，必有行列式丨 AB 丨=0（C）当 nm 时，必有行列式丨 AB 丨0（D）当 nm 时，必有行列式丨 AB 丨=0 3 考虑二元函数的下面 4 条性质： f(x ，y)在点(x o，y o)处连续； f(x，y)在点(xo，y o)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x o，
2、y o)处可微； f(x，y)在点(xo，y o)处的两个偏导数存在 若用“PQ” 表示可由性质 P 推出性质 Q， 则有（A）（B） （C） （D）4 设有三元方程 xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数 z=z(x，y)（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x，z)和 z=(x，y)（C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=z(y，z)和 z=z(x，y)（D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z=x(y， z)和 y=y(x，z)5 设 f(x，y)与 f(x，y) 均为可微函数
3、，且 (x，y)0已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)06 设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（A）f(0)1，f“(0)0（B） f(0)1， f“(0)0（D）f(0)1，f“(0)0
4、二、填空题7 设 n 阶矩阵 则丨 A 丨=_.8 设 =(1，0 ，-1) T，矩阵 A=T，n 为正整数，则丨 aE-An 丨=_.9 设矩阵 ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则丨 B 丨=_.10 设矩阵 ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则丨 B 丨=_.11 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1， 2， 3)， B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93) 如果丨 A 丨=1，那么丨 B 丨=_12 若 1， 2， 3,1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式丨 1，
5、 2， 3， 1 丨=m ，丨 1， 2， 2， 3 丨=n ，则 4 阶行列式丨 3， 2， 1， 1+2 丨=_.13 设 A，B 均为 n 阶矩阵，丨 A 丨=2，丨 B 丨=-3，则丨 2A*B-1 丨=_.14 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式丨 B-1-E丨=_.15 设(ab).c=2，(a+b)(b+c).(c+a)=_.16 设一平面经过原点及(6，-3，2)，且与平面 4x-y+2z=8 垂直，则此平面方程为_.17 设 z=z(x，y)是由 x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0 确定的函数， z=z
6、(x，y)的极值点_和极值_18 二元函数 f(x，y)=x 2(2+y2)+ylny 的极值_ 19 函数 f(x， Y)=xe-(x2+y2)/2 的极值_.20 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以W1 表示第 t 年的工资总额(单位：百万元) ，则 Wt 满足的差分方程是_21 设 =(1， 0，-1) T，矩阵 A=T，n 为正整数，则丨 aE-A n 丨=_.22 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式丨 B-1-E 丨=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设 x 元
7、线性方程组 Ax=b,其中，证明行列式丨 A 丨=（n+1）a n.24 设 A 为 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT时证明丨 A 丨025 设 A 为 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 为 n 阶单位阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，丨 A丨25 设 F(x)=F(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件： f(x)=g(x) ，g(x)=f(x)且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x26 求 F(x)所满足的一阶微分方程；27 求 F(x)的表达式考研数学一（综合）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题
8、下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 综合2 【正确答案】 B【知识模块】 综合3 【正确答案】 A【知识模块】 综合4 【正确答案】 D【知识模块】 综合5 【正确答案】 D【知识模块】 综合6 【正确答案】 A【知识模块】 综合二、填空题7 【正确答案】 (-1) n-1(n-1)【知识模块】 综合8 【正确答案】 a 2(a-2n)【试题解析】 因为 A=T= 而 T=则 A 2=(T)(T)=(T)T=2T=2A于是 A n=2 n-1A 那么 丨 aE-An 丨=丨 aE-2n-1A 丨= =a2(a-2n)【知识模块】 综合9 【正确
9、答案】 1/9【试题解析】 由于 AA*=A*A=丨 A 丨 E，易见丨 A 丨=3，用 A 右乘矩阵方程的两端，有 3AB=6B+A 3(A-2E)B=A 33 丨 A-2E 丨丨 B 丨=丨 A 丨又故丨 B 丨=1/9【知识模块】 综合10 【正确答案】 2.【知识模块】 综合11 【正确答案】 2【知识模块】 综合12 【正确答案】 n-m.【试题解析】 丨 3， 2， 1， 1+2 丨 =丨 3， 2， 1， 1 丨+ 丨 3， 2， 1， 2 丨 =-丨 3， 2， 1， 1 丨- 丨 3， 2， 1， 2 丨 =-m 丨 1， 2， 2,3 丨 =n-m.【知识模块】 综合13
10、【正确答案】 -2 2n-1/3.【试题解析】 丨 2A*B-1 丨=2 n 丨 A*B-1 丨=2 n 丨 A 丨 n-1.丨 B 丨 -1=-22n-1/3.【知识模块】 综合14 【正确答案】 24【知识模块】 综合15 【正确答案】 4.【知识模块】 综合16 【正确答案】 2x+2y-3z=0.【知识模块】 综合17 【正确答案】 （9,3），-3【知识模块】 综合18 【正确答案】 -e -1【知识模块】 综合19 【正确答案】 -e -1/2【知识模块】 综合20 【正确答案】 W t=12 t-1+2【试题解析】 第 t 年的工资总额 W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同
11、定追加额 2(百万元) ，另一部分比前一年的工资总额 Wt-1 多 20，即是 Wt-1 的 1：2倍于是可得 Wt 满足的差分方程是 W t=1.2t-1+2【知识模块】 综合21 【正确答案】 a 2(a-2n)【知识模块】 综合22 【正确答案】 24【试题解析】 丨 B-1-E 丨=1.2.3.4=24【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 用数学归纳法记 n 阶行列式丨 A 丨的值为 Dn当 n=l 时D1=2a，命题正确；当 n=2 时，D 2= =3a2，命题正确设 nn=(n+1)an，命题正确n=k 时，按第一列展开，则有 Dk
12、=2aDk-1-a2Dk-2=2a(kak-1)-a【知识模块】 综合24 【正确答案】 (反证法) 若丨 A 丨=0 ，则 AAT=AA*=丨 A 丨 E=0 设 A 的行向量为 i(i=1，2，n) ，则 iiT=i12+i22+ in2=0(i=1，2，n) 于是i=(i1,【知识模块】 综合25 【正确答案】 因为 丨 A+E 丨= 丨 A+AAT 丨=丨 A(E+AT)丨=丨 A 丨.丨(E+A) T 丨=丨 A 丨丨 E+A 丨， 所以 (1-丨 A 丨)丨 E+A 丨=0 又因 丨 A 丨 0，故丨 E+A 丨=0【试题解析】 这是一个抽象行列式的计算，根据已知条件，应当用矩阵恒等变形来处理【知识模块】 综合【知识模块】 综合26 【正确答案】 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g 2(x)+f2(x) =f(x)+g(x)2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)， 可知 F(x)所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2x【知识模块】 综合27 【正确答案】 e 2x 同乘方程两边，可得 e2xF(x)=4e4x，积分即得 e2xF(x)=e4x+C， 于是方程的通解是 F(x)=e2x+Ce-2x 将 F(0)=f(0)g(0)=0 代入上式，可确定常数 C=-1故所求函数的表达式为 F(x)=e 2x-e 2x.【知识模块】 综合
