1、考研数学一（综合）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A 的秩为 3，则 A 相似于2 设 ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似3 设矩阵 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似4 设 则在实数域上与 A 合同的矩阵为5 设随机变量 X 的分布函数 则 Px=1=（A）0（B） 1/2（C） 1/2-e-1（D）1-e -16 设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为-1，
2、3上均匀分布的概率密度。若为概率密度，则 a，b 应满足（A）2a+3b=4（B） 3a+2b=4（C） a+b=1（D）a+b=27 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 已知随机事件X=0与X+Y=1相互独立，则（A）a=0 2 ，b=03（B） a=04，b=01（C） a=03，b=02（D）a=0 1 ，b=04二、填空题8 设 =(1，1 ，1) T，=(1 ， 0，k) T，若矩阵 T 相似于 ，则 k=_.9 若二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2x1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_.10 设随机变量 X 服从参数为 A 的指数分布
3、，则 =_.11 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fY(y)=_12 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(EX)为 5 小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2小时便关机试求该设备每次开机无故障工作的时间 y 的分布函数 F(y)=_13 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 则 PX+Y1=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设向量 =(1， 2， n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T14 A2；15 矩阵 A 的特征
4、值和特征向量15 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T 是 A 的属于1 的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵16 验证 1 是矩阵曰的特征向量，并求 B 的全部特征值的特征向量；17 求矩阵 B18 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为1=(0，1，1) T，求 A19 设随机变量 X 的概率密度为 对 X 独立地重复观察4 次，用 Y 表示观察值大于 /3 的次数，求 Y2 的数学期望.20 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=Ae -2x2
5、+2xy-y2- Y 丨 X(y 丨 x)考研数学一（综合）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 综合2 【正确答案】 A【知识模块】 综合3 【正确答案】 B【知识模块】 综合4 【正确答案】 D【知识模块】 综合5 【正确答案】 C【知识模块】 综合6 【正确答案】 A【知识模块】 综合7 【正确答案】 B【知识模块】 综合二、填空题8 【正确答案】 2【知识模块】 综合9 【正确答案】 【知识模块】 综合10 【正确答案】 e -1【知识模块】 综合11 【正确答案】 1/y 2【知识模块】 综合12 【
6、正确答案】 【知识模块】 综合13 【正确答案】 1/4【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 综合14 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A 2=(T)(T)=(T)T=0T=0【知识模块】 综合15 【正确答案】 设 A 是 A 的任一特征值， 是 A 属于特征值 的特征向量，即A=，0那么 A 2=A=TA 2=0，故 T=0，又因 0，从而矩阵 A 的特征值是 =0(n 重根) 不妨设向量 的第 1 个分量 10，b 10对齐次线性方程组(0E-A)x=0 的系数矩阵作初等行蛮换有得到基础解系 1=(-b2，b 1，0，0) T， 2=
7、(-b3，0，b 1，0) T， n-1=(-bn，0，0，b 1)T于是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量为 k 11+k22+kn-1n-1，其中k1，k 2，k n-1 是不全为零的任意常数【知识模块】 综合【知识模块】 综合16 【正确答案】 由 A= 知 An=n 那么 B 1=(A5-4A3+E)1=A51-4A31+1=(15-413+1)1=-21， 所以 1，是矩阵 B 属于特征值 1=-2 的特征向量 类似地，若A2=22，A 3=33，有 B2=(25-423+1)2=2， B 3=(35-433+1)3=3， 因此，矩阵 B 的特征值为 1=-2， 2=3=1 由矩
8、阵 A 是对称矩阵知矩阵 B 也是对称矩阵，设矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量是 =(x1， x 2，x 3)T，那么 1T=x1-x2+x3=0 所以矩阵 B 属于特征值 =1 的线性无关的特征向量是 2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T 因而，矩阵 B 属于特征值 1=-2 的特征向量是 k1(1，-1，1) T，其中 k1是不为 0 的任意常数 矩阵曰属于特征值 =1 的特征向量是 k2(1，1，0) T+k3(-1，0，I) T，其中 k2，k 3 是不全为 0 的任意常数【知识模块】 综合17 【正确答案】 由 1=-21，B 2=2，B 3=3 有 B(1， 2
9、， 3)=(-21， 2， 3)那么 B=(-2 3， 2， 3)(1， 2， 3)-1【知识模块】 综合18 【正确答案】 设属于 =1 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量相互正交，故 T1=x2+x3=0从而 2=(1，0，0) T， 3=(0，1，-1) T 是 A=1 的线性无关的特征向量于是 A( 1， 2， 3)=(-1， 2， 3)， A=(-1， 2， 3)(1， 2， 3)-1【知识模块】 综合19 【正确答案】 EY 2=DY+(EY)2=npq+(np)2=41/21/2+(41/2)2=5【知识模块】 综合20 【正确答案】 【知识模块】 综合
