1、考研数学一（行列式）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 =m则 =（A）30m（B） 15m（C） 6m（D）6m2 设 A 是 n 阶矩阵，则A *A=（A）A n2（B） A n2n （C） A n2n+1 （D）A n2+n3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *=（A）2 nA *（B） 2n1 A *（C） 2n2n A *（D）2 n2A *4 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，若 C= ，则C =（A）3ab（B） 3mab（C） (1) mn3mab（D）(1) (m+1)n3mab5
2、x= 2 是 =0 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件6 空间中两条直线 l1： 共面的充分必要条件是二、填空题7 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则4A 1 E=_8 A 是 3 阶矩阵，且 AE，A2E，2A+E 均不可逆，则A=_ 9 已知 A 与 B 相似，其中 B= ，则AE =_ 10 已知 =0，则 =_11 已知 D= =0，则 =_12 已知 D= =0，则 =_13 设 A= 其中aiaj(ij，i ， j=1，2，n)，则线性方程组 ATx=B 的解是_14 设齐次线性方程组 只有
3、零解，则 a 满足的条件是_15 若 的代数余子式 A12=1，则代数余子式 A21=_16 若 A= (4，5，6)，则A=_ 17 设 A= ，则 2A1 =_ 18 设 ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且A= ， 1， 2， 3=4 ，B=，2 1，3 2， 3=21，则A+B=_19 已知 Dn= ，若 Dn=anDn1 +kDn2 ，则k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 A 是 n 阶反对称矩阵若 A 可逆，则 n 必是偶数21 设 A2=A，AE( 单位矩阵 )，证明：A=022 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，若 mn，证明： A
4、B =023 已知 A 是 2n+1 阶正交矩阵，即 AAT=ATA=E，证明：EA 2=024 设 A 是 n 阶矩阵，如对任何凡维向量 b 方程组 Ax=b 总有解，证明方程组A*x=b 必有唯一解25 已知 是 n 维列向量，且 T=1，设 A=E T，证明： A=026 设 A 是 n 阶矩阵，证明存在非 0 的 n 阶矩阵 B 使 AB=0 的充分必要条件是A=027 设 A 是 n 阶可逆矩阵，且 A 与 A1 的元素都是整数，证明：A=1考研数学一（行列式）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应
5、选(D)【知识模块】 行列式2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数，由kA=k nA及A *= A n1 有 A *A=A * nA=(A n1 )nA=A n2n+1 故应选(C) 【知识模块】 行列式3 【正确答案】 C【试题解析】 (2A) *=2A n1 =(2nA)n 1=2n(n1) A n1 =2n(n1) A * 或利用(kA) *=kn1 A*，那么 (2A)*= 2n1 A*=(2 n1 )nA *=2 n2n A * 故应选(C) 【知识模块】 行列式4 【正确答案】 D【试题解析】 用拉普拉斯展开式有C= =(一 1)mn3A B=(一1)mn3mA (一
6、 1)nB =(一 1)(m+1)3mab故应选(D)【知识模块】 行列式5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式因为 x= 2 时，行列式的值为 0但 D=0 时，x 可以为 1所以 x=2 是 D=0 的充分而非必要条件故应选(B)【知识模块】 行列式6 【正确答案】 B【试题解析】 直线 l1 的方向 V1=(m1，n 1，P 1)，经过点 A(x1，y 1，z 1)，直线 l2 的方向 V2=(m2，n 2，P 2)，经过点 B(x2，y 2，z 2)(A)说明 l1 与 l2 平行，这是共面的充分条件(C) 表示 l1 与 l2 重合，亦是共面的充分条件(D) 中行列式不为
7、 0 说明V1，V 2， 不共面，因而 l1 与 l2 是异面直线(B)说明 V1，V 2， 共面，故应选(B)【知识模块】 行列式二、填空题7 【正确答案】 3【试题解析】 由已知条件，A 1 的特征值为 1， ，进而 4A1 E 的特征值为3，1，1于是4A 1 E=3.1.1=3【知识模块】 行列式8 【正确答案】 一 1【试题解析】 因为 AE，A2E，2A+E 不可逆，则有 AE= A 一2E=2A+E=0 由EA=0 知 是矩阵 A 的特征值，所以 1，2，是 A 的 3 个特征值据(114)得 A=1.2.( )=1【知识模块】 行列式9 【正确答案】 一 2【试题解析】 由于
8、AB，故存在可逆矩阵 P，使 p1 AP=B，那么 P1 (A+kE)P=P1 AP+P1 (kE)P=B+kE所以 A+kE B+kE 从而A+kE= B+kE于是 AE= BE= =2【知识模块】 行列式10 【正确答案】 12，15，18【试题解析】 所以 为 12，15 ，18【知识模块】 行列式11 【正确答案】 1 或1(二重根)【试题解析】 将第 3 列加至第 1 列，得所以=1，=1(二重根)【知识模块】 行列式12 【正确答案】 1a ， a+4，a3【试题解析】 将第 3 行的1 倍加至第 1 行，有=(+a1)( a)2(a) 12=(+a1)(a4)( a+3)，所以=
9、1a ，=a+4，=a 3，【知识模块】 行列式13 【正确答案】 (1，0，0，0) T【试题解析】 因为A是范德蒙行列式，由 aiaj 知A= (ai 一 aj)0，由克莱姆法则知方程组 ATx=B 有唯一解对于易见 D1=A ，D 2=D3=Dn=0故 ATx=B的解是(1 ，0，0，0) T【知识模块】 行列式14 【正确答案】 a1 且 a4【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 只有零解铮 A0而所以 a1 且 a4【知识模块】 行列式15 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义注意：求代数余子式不要丢+、号【知识模块】 行列式16 【正确答案】 0【
10、试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以A=0或作矩阵乘法 A= ，由 A 中两行元素成比例而知A=0【知识模块】 行列式17 【正确答案】 4【试题解析】 用kA=k nA及A 1 =又A =2，从而2A 1 =4【知识模块】 行列式18 【正确答案】 180【试题解析】 因 A+B=(+，3 1，4 2，2 3)，故 A+B=+，3 1，4 2，2 3=24 ， 1， 2， 3+24， 1， 2， 3 =24A +4B=180【知识模块】 行列式19 【正确答案】 1【试题解析】 =anDn1+(一 1)2n2 Dn2 =anDn1
11、 +Dn2 ，从而 k=1【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 因为 A 是反对称矩阵，即 AT=A，那么A= A T=A =(1) nA 如果 n 是奇数，必有A=A ，即A=0，与 A 可逆相矛盾，所以 n 必是偶数【知识模块】 行列式21 【正确答案】 如A0，则 A 可逆，那么 A=A1 A2=A1 A=E与已知条件AE 矛盾【知识模块】 行列式22 【正确答案】 对于齐次线性方程组：()ABx=0， ()Bx=0，由于()的解必是()的解，而当 mn 时，方程组 () 必有非零解因此，方程组()必有非零解，所以，系数行列式AB=0【
12、知识模块】 行列式23 【正确答案】 由行列式乘法公式(110)，得A 2=A.A T=AA T=E=1 () 如A=1，那么 EA=AA TA=A(A TET)=A.A 一 E=(E 一 A) =(一 1)2n+1E 一 A =E 一 A， 从而EA =0 ()如A =一 1，那么可由 E+A=AA T+A= A(A T+ET)=A .A+E=E+A， 得到E+A=0又因E 一 A2=(E A)(E+A) =E 一 A. E+A， 所以不论A是+1 或1，总有 E 一 A2=0【知识模块】 行列式24 【正确答案】 记 A=(1， 2， n)，因为对任一个 n 维向量 b，方程组x11+x2
13、2+xnn=b 总有解，那么 1， 2， n 可以表示任一个 n 维向量因此， 1， 2， ， n 可以表示 n 维单位向量 1=(1，0，0，0)T， 2=(0，1，0，0) T， n=(0，0，0，1) T从而向量组1， 2， n 与 1， 2， n 等价，所以秩 r(1， 2， n)=n，即有A0于是A *=A n1 0由克莱姆法则可知 A*x=b 必有唯一解【知识模块】 行列式25 【正确答案】 因为 A=(E 一 T)= 一 T= 一 (T)= 一 =0， 所以 是齐次方程组 Ax=0 的非 0 解故 A=0 注意， 是 n1 矩阵，因而 T 是 n 阶矩阵，而 T 是 11 矩阵是
14、一个数两者不要混淆【知识模块】 行列式26 【正确答案】 必要性对零矩阵及矩阵 B 按列分块，设 B=(1， 2， n)，那么 AB=A( 1， 2， n)=(A1，A 2，A n)=(0，0，0)=0 于是Ai=0(j=1，2，n)，即 i 是齐次方程组 Ax=0 的解 由 B0，知 Ax=0 有非 0解故A=0 充分性因为 A=0 ，所以齐次线性方程组 Ax=0 有非 0解设 是 Ax=0 的一个非零解， 那么，令 B=(，0，0，0)，则 B0而AB=0【知识模块】 行列式27 【正确答案】 因为 AA1 =E，有AA 1 =1因为 A 的元素都是整数，按行列式定义A是不同行不同列元素乘积的代数和，所以 A必是整数同理由 A1 的元素都是整数而知A 1 必是整数因为两个整数A和A 1 相乘为 1，所以A与A 1 只能取值为1【知识模块】 行列式
