1、考研数学一（行列式，矩阵，向量）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1999 年试题，二) 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有行列式AB0（B）当 mn 时，必有行列式AB=0（C）当 nm 时，必有行列式AB0（D）当 nm 时，必有行列式AB=02 (2012 年试题，一) 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 2)，则 Q-1AQ=( )（A）（B）（C）（D）3 (2008 年试题，一) 设 A 为 n 阶非零矩阵，
2、E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则( )（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） E 一 A 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆4 (2011 年试题，一) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 则 A=( )（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-15 (2006 年试题，二) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 则( )（A）C=P
3、 -1AP（B） C=PAP-1（C） C=PTAP（D）C=PAP T6 (2005 年试题，二) 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则( )（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 列得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*7 (2004 年试题，二) 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q
4、为( )（A）（B）（C）（D）8 (2009 年试题，一) 设 A， B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，曰的伴随矩阵，若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )（A）（B）（C）（D）9 (2010 年试题，5) 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且 AB=E，其巾 E 为 m 阶单位矩阵，则( ) （A）rA=rB=m,（B） rA=m； rB=n（C） rA=n；rB=m（D）rA=rB=n10 (1998 年试题，二) 设矩阵 是满秩的，则直线 与直线 ( )（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面11 (2012 年试题，一) 设 其中 c1
5、，c 2，c 3，c 4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 412 (2007 年试题，一) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1 一 22， 2 一 23， 3 一 21（D） 1+22， 2+23， 3+2113 (2006 年试题，二) 设 1， 2， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( ) （A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A
6、 s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关14 (2005 年试题，二) 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则 1，A( 1+2)线性无关的充分必要条件是( )（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=015 (2004 年试题，二) 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A
7、的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关16 (2003 年试题，二) 设向量组 I： 1， 2 s 可由向量组： 12 s 线性表示，则( ) （A）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关17 (2000 年试题，二) 设 n 维列向量组 1， m(m1， m 线性无关的充分必要条件为( ) （A）向量组 1 m 可由向量组 1， m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1 m 线性表示（C）向量组 1 m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵
8、A=(1 m)与矩阵 B=(1， m)等价18 (1997 年试题，二) 设 则三条直线交于一点的充要条件是( )（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C）秩 r(1， 2， 3)=秩 r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关19 (2009 年试题，一) 设 1， 2， 3 是三维向量空间 R3 的一组基，则由基到基 1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为( )（A）（B）（C）（D）二、填空题20 (2006 年试题，一) 设矩阵 E 为二阶单位矩阵，矩阵 B 满足BA=B+2E，则B=_.21 (2005 年试题，一) 设 1，
9、2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=(1,2， 3)B=(1+2+3， 1+22+431+32+93)如果A=1，那么B =_.22 (2004 年试题，一) 设矩阵 矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为A 的伴随矩阵，层是单位矩阵，则B=_.23 (2001 年试题，一) 设矩阵 A 满足 A2+A 一 4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(AE) -1=_.24 (2012 年试题，二) 设 X 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 EXXT 的秩为_.25 (2007 年试题，二) 设矩阵 则 A3 的秩为_.26 设 1=(1， 2，一 1，0) T， 2=
10、(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，) T，若 1， 2， 3形成的向量空间维数是 2，则 =_27 (2003 年试题，一) 从 R2 的基 到基 的过渡矩阵为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 (1997 年试题，八)A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B28 证明 B 可逆；29 求 AB-130 (2000 年试题，十) 设矩阵 A 的伴随矩阵 且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 B30 (2008 年试题，20) 设 ， 为三维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T 为 的转置，
11、T 为 的转置31 证明：rA2；32 若 ， 线性相关，则 rAn 时，r(AB)nm 时，r(AB)m，不能确定等式是否成立，综上，选 B对于未知矩阵 AB 的具体元素，其相关的计算和证明问题往往可考虑转化为利用：(1)矩阵的秩；(2) 行或列向量组的线性相关性； (3)方程组解的判定；(4) 特征值和相似矩阵的性质等来求解和证明【知识模块】 行列式2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 Q=(1+2， 2， 3)=(1， 2， 3) 因此应选 B【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 由 A3=0 可得 EA3=(E 一 A)(E+A+A2)=E 和 E+A3=(E+A)(
12、E 一A+A2)=E 显然 EA0，E+A0，所以 E 一 A 和 E+A 均可逆故应选C解析二由 A3=0 知，A 的任意特征值满足 3=0，即 =0 是 A 的 n 重特征值，从而 =是 E 一 A 和 E+A 的 n 重特征值，即二者的特征值均不为 0故 E 一 A 和E+A 均可逆。正确答案为 C【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设有 P2AP1=E，A=P 2-1P1-1，因为 P2-1=P2，所以 A=P2P1-1，故选D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 B【试题解析】 根据已知条件，用初等矩阵描述有所以 故选B【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解
13、析】 设 A 为 3 阶矩阵，用初等矩阵左乘 A 得到 B，根据题意有即有 由此得因为A=一B，所以 所以选 C注意伴随矩阵的一些运算性质，即 AA*=A*A=A E，若矩阵 A 可逆，则A*=AA -1，(AB) *=B*A*【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，由 A 到 B 的过程相当于 A 右乘初等矩阵 B 到 C的过程相当于 B 右乘初等矩阵 所以选 D【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 C 可逆，则 C*=CC -1因为 A=2，B=3 ，所以分块矩阵 的行列式 ，则分块矩阵可逆故正确答案为 B本题考查了 3 个知识点；A *=AA -
14、1；行列式的拉普拉斯展开式；分块矩阵的求逆公式本题的综合性比较强【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 A【试题解析】 因 AB=E，故 r(AB)=r(E)=m又 r(AB)rA，r(AB)rB，故有mrA， mrB 又因 A 为 mn 型矩阵，B 为 nm 型矩阵，故 rAm，rBm结合上述不等式可得 rA=rB=m，即正确答案为 A【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 A【试题解析】 本题综合考查了线性代数与空间解析几何中的若干知识点，具有较强综合性首先，记点 P1 为(a 1，b 1，c 1)，P 2 为(a 2，b 2，c 2)，P 3 为(a 3，b 3，c 3)，向量 由已知矩阵满秩
15、，则其行向量组线性无关，因此由解析几何知识可知，三向量 不共面，因此必有三点 P1，P 2。P 3 不共线，又由题设，直线 通过点 P3，以 为方向向量，而直线通过点 P1，以 为方向向量，由前述已知， P1，P 2，P 3 不共线，可得出两直线必相交于一点，选 A解析二经初等变换矩阵的秩不变，即由知后者的秩仍为 3，故而两直线的方向向量v1=(a1 一 a2，b 1 一 b2，c 1 一 c2)与 v2=(a2 一 a3，b 2 一 b3，c 2 一 c1)线性无关，可排除选项 B 和 C在这两条直线上各取一点(a 3，b 3，c 3)和(a 1，b 1，c 1)，可构造另一个向量 v3=(
16、a3 一 a1，b 3 一 b1，c 3 一 c1)若 v1，v 2， v3 共面，则两条直线相交；若v1，v 2，v 3 不共面，则两直线异面，不相交此时可用混合积或观察出 v1+v2+v3=0 知，正确答案为 A11 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意可知，由于 3,4= 因此 1， 3， 4 线性相关应选 C【知识模块】 向量12 【正确答案】 A【试题解析】 很显然 A 选项中：( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，即 A 选项的向量组线性相关，故应选 A【知识模块】 向量13 【正确答案】 A【试题解析】 用秩的方法判断线性相关性因为(A 1，A 2，A s)=A
17、(1， 2， s)所以 r(A1，A 2，A s)r(1， 2， s)又因为1， 2， s 线性相关 r( 1， 2， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关故选 A解析二本题亦可采用排除法，取 A=0，则可排除选项 B 和 D；取 A=E，则可排除选项 C故正确答案为 A【知识模块】 向量14 【正确答案】 B【试题解析】 根据特征值特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22;1，A( 1+2)线性无关 k11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为0， (k1+1k2)1+2k22=0，k 1，k 2 恒为 0因为不同特征值的特征向量线性无关，故 1,2 线
18、性无关，所以 而齐次方程组 只有零解 所以选 B解析二因为 1，A( 1+2)=1， 11+22=1， 2 ，且 1,2 线性无关，故而若 1，A( 1+2)线性无关，则故正确答案为 B【知识模块】 向量15 【正确答案】 C【试题解析】 由题设 AB=0，且 A0，B0 ，则线性齐次方程组 AX=0 有非零解，则 A 的列向量组线性相关；同时由 AB=0，知 BTAT=0，且 BT0，A T0，同理线性齐次方程组 BTY=0 也有非零解，因而 B 的列向量组，也就是 B 的行向量组线性相关综上，选 A解析二赋值法，即可设 A=(1，0)B=(0，1) T，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组
19、线性相关，行向量组线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关从而可知，正确答案为 A AB=0 常在考试中出现，与其相关的两个结论考生应记住：(1)AB=0arA+rB【知识模块】 向量16 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，向量组 I 可由向量组线性表示，则向量组 I 的秩向量组的秩，又向量组的秩s，因此有向量组 I 的秩 则1=0.1+0.2，但 1， 2 线性无关，排除选项 A；设则 1， 2 可由 1 线性表示，而 1， 2 线性无关，故排除选项 B；设 1， 2 可由 1， 2 线性表示，但 1， 2 线性无关，排除选项 C故正确答案为 D【知识模块】 向量17 【
20、正确答案】 D【试题解析】 根据题设，逐一分析各个选项关于 A，它是向量组 12 m 线性无关的充分条件，但不是必要条件；关于 B，它与 12 m 线性无关无直接联系；关于 C，它也是向量组 12 m 线性无关的充分但非必要条件； D 是12 m 线性无关的充分必要条件，因为矩阵 A 与 B 等价的充要条件是经过初等变换后形成的标准形相同综上，选 D 注意两个矩阵等价与两个向量组等价有本质差别两个矩阵等价仅仅是秩相等，而两个向量组等价则要求它们能相互线性表示一般而言，向量组 1， 2 s 与向量组 12 t 等价矩阵A=(1， 2 s)与矩阵 B=(12 t)等价，但反过来并不成立【知识模块】
21、 向量18 【正确答案】 D【试题解析】 首先明确三条直线交于一点意味着 有唯一解，这要求方程组系数矩阵与增广矩阵的秩满足以下关系，即 r(1,2)=r(1， 2， 3)且r(1,2)=2故 1 与 2 线性无关， 1， 2， 3 线性相关，显然 A，C 只是必要条件，B 即非必要也非充分条件，因此选 D【知识模块】 向量19 【正确答案】 A【试题解析】 设( 1， 2， n)=(1， 2， n)P，则称矩阵 P 为基1， 2， n 到基 1， 2， n 的过渡矩阵则由基 到1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵 P 满足( 1+2， 2+3， 3+1)=故正确答案为 A【知识模块】 向量二
22、、填空题20 【正确答案】 由已知条件 BA=B+2E 推知 B(AE)=2E，两边取行列式，有B AE=4因为 所以B=2【知识模块】 行列式21 【正确答案】 由题意，我们对矩阵 B 分块得所以B=2解析二用行列式性质对行列式作恒等变形得，B = 1+2+3， 1+22+43， 1+32+93= 1+2+3， 2+33， 2+53= 1+2+3， 2+33，2 3=2 1， 2， 3=21=2 解析三本题还可采用赋值法求解，但只适用于填空题和选择题可令 则依题知 从而【知识模块】 行列式22 【正确答案】 由题设, 则A=30，从而由公式AA*=A*A=AE 知 A*=AA -1=3A-1
23、，则A *=3 3.3-1=9 将 ABA*=2BA*+E 变形为(A 一 2E)BA*=E，则A 一 2EBA *=E，其中所以【试题解析】 在求出(3A 一 6E)B=A 后，没必要有继续求出矩阵曰，再计算行列式，而是可直接利用方阵相乘的行列式公式【知识模块】 行列式23 【正确答案】 由题设，只要将原表达式 A2+A 一 4E=0 改写成形如(AE)(aA+bE)=E 的形式，就可得出(A 一 E)-1=aA+bE，其中 a，b 为待定常数，按待定系数法的思想，将(AE)(aA+bE)=层展开后，得 aA2+bA 一 bA 一 bE=E，即aA2+(ba)A 一(b+1)E=0，与原表达
24、式比较，得出 ，所以【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由题，X 为三维单位列向量，不妨设 X=(1，0，0) T，则显然 EXXT 的秩为 2【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 则 A3 的秩 r(A3)=1【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 因为由 1， 2， 3 形成的向量空间维数为 2，所以 r(1， 2， 3)=2对 (1， 2， 3)进行初等变换得故而，a=6【知识模块】 向量27 【正确答案】 由题设，记过渡矩阵为 C，则( 1,2)=(1,2)C，即【试题解析】 考生应注意从 1， 2 n 到基 12 n 的过渡矩阵和从基12 n 到基 1， 2 n 的过渡矩阵是有差异的
25、【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由于 A 可逆，则A0，由已知，B 是 A 的两行对换所得，则B = 一A0。因此 B 与可逆【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 设 Pij 是由 n 阶单位矩阵，的第 i 行与第 j 行对换所得的初等矩阵，则由初等矩阵与矩阵初等行变换之间的关系，有 B=Pij，从而 AB-1=A.A-1.Pij-1=Pij-1=Pij【试题解析】 本题考查了初等矩阵的概念和性质，考生应清楚初等变换与初等矩阵左右乘的关系以及初等矩阵的逆矩阵的三个公式同时，应注意经初等变换后矩阵的秩不变，即 rB=rA显
26、然，若 A 可逆则 B 亦可逆【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 由题设 ABA-1=BA-1+3E，两边左乘 A-1，有 A-1ABA-1=A-1BA-1+3A-1 即 BA-1=A-1BA-1+3A-1 上式再由两边右乘 A，有 B=A-1B+3E又由公式A*=AA -1，即 代入上式，得由 知A *=8，且AA *=A 4 知 A*= A 3=8，因此A=2从而于是 B=6(2EA*)-1.E=6(2EA*)-1 易求得 所以【试题解析】 本题也可先求出 A 及 A-1，再由 B=A-1B+3E，移项，即(EA -1)B=3E，B=3(EA -1)-1 求出同样结果【知识模块】 矩阵【
27、知识模块】 矩阵31 【正确答案】 ， 是三维列向量，则 r(T)r()1，r( T)r()1，rA=r( T+T)r(T)+r(T)1+1=2，即 rA2【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 已知 ， 线性相关，不妨设 =ka，则 rA=r(T+T)=rT+(k)(k)T=r(1+k2)T=r(T)1【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 (I)因为 1， 2， 3= 所以 r(1， 2， 3)=3又因为 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以 r(1， 2， 3)1， 2， 3=0，解得 =5【知识模块】 向量34 【正确答案】 通常证明向量组线性无关的方法是按照定义，即设常
28、数c1，c 2，c k，使得 c1+c2A+c kAk-1=0(1)如能证明要使(1)成立，则c1，c 2，c k 全为 0 即可由题设已知 Ak=0，且 Ak-10，则用 Ak-1 左乘(1)c 1Ak-1=0，从而 c1=0，则(1)式变成 c2A+c kAk-1=0(2)同理用 Ak-1 左乘(2)c 2Ak-1=0，从而 c2=0余下以此类推，可证得 c3=c4=ck=0因此向量组，A， Ak-1 线性无关【试题解析】 涉及到一组抽象向量组的线性相关性的证明，一般可采用定义来证明【知识模块】 向量35 【正确答案】 由题设，rB=2，故解空间维数为 4 一 rB=2，经简单验证，知1,2 线性无关，因而可作为解空间的一组基下面运用施密特正交化方法计算标准正交基，令 再经过标准规范化，得 即为标准正交基【试题解析】 由于解空间的基不唯一，施密特正交代后规范正交基也不唯一本题中 1,2,3 任意两个均可作为解空间的基【知识模块】 向量
