1、考研数学三线性代数（二次型）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的标准形可以是( )2 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f 1=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x1)2（B） f2=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2（C） f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2（D）f 4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4-x1)23 下列矩阵中 A 与 B 合同的是( )4 设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A
2、的 i 列和 j 列对换得到 B，再将 B 的 i 行和 j 行对换得到 C，则 A 与 C( )（A）等价但不相似（B）合同但不相似（C）相似但不合同（D）等价，合同且相似5 下列矩阵中，正定矩阵是( )6 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=E（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C-1C（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同7 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( )8 n 元实二次型正定的充分必要条件是( )（A）该二次型的秩=n（B）该二次型的负惯性指数=n（C）该二次型的正惯性指数=它的秩（D）该
3、二次型的正惯性指数=n9 下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 为正定的是( )（A）A -1 正定（B） A 没有负的特征值（C） A 的正惯性指数等于 n（D）A 合同于单位阵10 关于二次型 f(x1，x 2，x 3)= ，下列说法正确的是( )（A）是正定的（B）其矩阵可逆（C）其秩为 1（D）其秩为 211 设 f=XTAX，g=X TBX 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（A）X T(A+B)X（B） XTA-1X（C） XTB-1X（D）X TABX12 设 A，B 为正定阵，则( )（A）AB，A+B 都正定（B） AB 正定， A+B 非正定（C）
4、AB 非正定， A+B 正定（D）AB 不一定正定，A+B 正定13 实对称矩阵 A 的秩等于 r，它有 t 个正特征值，则它的符号差为( )（A）r（B） t-r（C） 2t-r（D）r-t14 二次型 f=xTAx 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A 与 B( )（A）一定合同（B）一定相似（C）既相似又合同（D）既不相似也不合同15 f(x1，x 2， x3)= 对应的矩阵是( )二、填空题16 设 f= 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_17 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx= 的规范形是_18 若二次曲面的方程为 x2+3y2+z2+2a
5、xy+2xz+2yz=4，经正交变换化为 ，则 a=_19 设 f(x1，x 2)= ，则二次型的对应矩阵是 _20 二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)= 的规范形是_21 若二次型 f(x1，x 2，x 3)= 是正定的，则 a 的取值范围是_22 设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A-6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是_23 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=-aE+ATA 是正定阵，则 a 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 f(x1，x 2， x3)= 的秩为 224 求参数 c 及此二次型对
6、应矩阵的特征值；25 指出方程 f(x1，x 2，x 3)=1 表示何种二次曲面25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，设26 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T； 27 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为28 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵， 试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n28 写出下列二次型的矩阵：29 f(x)=30 f(x)=31 证明：二次型 f(x)=xTAx 在x=1 时的最大值为矩阵 A 的最
7、大特征值32 求一个正交变换化下列二次型化成标准形：33 设二次型 经正交变换化为*，求 a，b 的值及所用正交变换33 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的秩为 234 求 a 的值 .35 求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形.36 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解36 已知 A= ，二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2，37 求实数 A 的值.38 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形38 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵39 计算 PTDP，其中 P=40
8、利用(1)的结果判断矩阵 B-CTA-1C 是否为正定矩阵，并证明结论41 已知 A= ，证明 A 与 B 合同42 设矩阵 A= 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵43 求一个正交变换把二次曲面的方程 3x 2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=l 化成标准方程44 证明对称阵 A 为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵 U，使 A=UTU，即 A与单位阵 E 合同44 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 ，且 Q 的第三列为45 求 A.46 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩
9、阵考研数学三线性代数（二次型）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法，有 可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0因此，A 选项是二次型的标准形所用坐标变换有 xTAx=yTAy=所以应选 A【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 由定义 f=xTAx 正定 对任意的 x0，均有 xTAx0；反之，若存在x0，使得 F=xTAx0，则 f 或 A 不正定 A 选项因 f1(1，1，1)=0 ，故 A 不正定 B 选项因 f2(-1，1，1)=0，故 B 不正定 C 选项因 f3(1
10、，-1，1，1)-0，故 C 不正定 由排除法，故选 D【知识模块】 二次型3 【正确答案】 C【试题解析】 由合同定义：C TAC=B，矩阵 C 可逆 知合同的必要条件是：r(A)=r(B)且行列式A 与 B同号 本题 A 选项的矩阵秩不相等B 选项中行列式正、负号不同，故排除 易见 C 选项中矩阵 A 的特征值为 1，2，0，而矩阵 B的特征值为 1，3，0，所以二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的正、负惯性指数，所以A 和 B 合同 而 D 选项中，A 的特征值为 1，2，B 的特征值为-1，-2，-2 ，因此xTAx 与 xTBx 正、负惯性指数不同，故不合同【知识模块】 二次型4
11、 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等阵表示，由题设 AEij=B，E ijB=C， 故 C=E ijB=EijAEij 因，故应选 D【知识模块】 二次型5 【正确答案】 C【试题解析】 二次型正定的必要条件是：a ij0 在选项 D 中，由于 a33=0，易知f(0，0，1)=0 ，与 X0，X TAX0 相矛盾 因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项 A 中，二阶主子式 在选项 B 中，三阶主子式 3=A=-1 因此选项 A、B、D 均不是正定矩阵故选 C【知识模块】 二次型6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件这
12、是因为 r(f)=p+qn， 当 q=0 时，有r(f)=pn此时有可能 p n，故二次型 xTAx 不一定是正定二次型因此矩阵 A 不一定是正定矩阵例如 f(x1，x 2，x 3)= 选项 B 是充分不必要条件这是因为 P-1AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的但只要A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的 选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=CTC 不能说 A 与层合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论例如 显然矩阵不正定 关于选项 D，由于 所以 D 是充分必要条件【知识模块】 二次型7 【正确答案】
13、 C【试题解析】 因为 不是对称阵，故它不可能是二次型的矩阵.【知识模块】 二次型8 【正确答案】 D【试题解析】 二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数=n【知识模块】 二次型9 【正确答案】 B【试题解析】 A -1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA-1C=In，两边求逆得到 C-1A(CT)-1=C-1A(C-1)T=In 即 A 合同于 In，A 正定，因此不应选 A 选项 D 是 A 正定的定义，也不是正确的选择 选项 C 表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵由排除法，故选 B 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数【知识
14、模块】 二次型10 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r(A)=1，故选项 C 正确，而选项 A，B，D 都不正确【知识模块】 二次型11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零，A0，设 APj=jPj，则(j=1，2，n)必都大于零，这说明 A-1 为正定阵，X TA-1X 为正定二定型 同理，X TB-1X 为正定二次型，对任意凡维非零列向量 X 都有XT(A+B)X=XTAX+XTBX0，这说明 XT(A+B)X 为正定二次型由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 XTABX 未
15、必为正定二次型【知识模块】 二次型12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 A、B 正定，所以对任何元素不全为零的向量 X 永远有XTAX0，同时 XTBX0 因此 A+B 正定，AB 不一定正定，AB 甚至可能不是对称阵【知识模块】 二次型13 【正确答案】 C【试题解析】 A 的正惯性指数为 t，负惯性指数为 r-t，因此符号差等于 2t-r【知识模块】 二次型14 【正确答案】 A【试题解析】 f=x TAx=(Py)T(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即 B=PTAP，所以矩阵 A 与 B一定合同 而只有当 P 是正交矩阵，即 PT=P-1 时，才有 A 与 B 既相似又合同【知
16、识模块】 二次型15 【正确答案】 C【试题解析】 x 1，x 2，x 3 平方项系数对应主对角线元素：1，0，4，x 1x2 系数的-2对应 a12 和 a21 系数的和，且 a12=a21，故 a12=-1，a 21=-1因此选 C【知识模块】 二次型二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为因为 f 为正定二次型，所以必有 1-a20 且-a(5a+4) 0，因此 故当 时，A 正定，从而 f 正定【知识模块】 二次型17 【正确答案】 【试题解析】 按照定义，二次型的矩阵 A= ，由特征多项式因此矩阵 A 的特征值是 2，6，-4 ，即正交变换下的二次型
17、的标准形是 ，因此其规范形是【知识模块】 二次型18 【正确答案】 1【试题解析】 本题等价于将二次型 f(x，y，z)=x 2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz 经正交变换后化为了 f= 由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为 1，4，0由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为 A= ，即可得A=-(a-1) 2=0，因此 a=1【知识模块】 二次型19 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式【知识模块】 二次型20 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵 A= ，则E-A=( 2-1)(2-5A)，因此矩阵 A 的特征值分别为-1，0
18、，1，5，故该二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数q=1于是可得该二次型的规范形是【知识模块】 二次型21 【正确答案】 【试题解析】 二次型厂的矩阵为 A= 因为 f 是正定的，因此矩阵 A 的顺序主子式全部大于零，于是有 解以上不等式，并取交集得【知识模块】 二次型22 【正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A3-2A2-5A+6E=O， 设 A 有特征值人，则 满足条件 3-22-5+6=0，将其因式分解可得 3-22-5+6=(-1)(+2)(-3)=0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，-2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k-2，k+3，且当 k2
19、时， kE+A 的特征值均为正数故 k2【知识模块】 二次型23 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T=(-aE+ATA)T=-aE+ATA=B，故 B 是一个对称矩阵 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x TBx=xT(-aE+ATA)x=-axTx+xTATAx=-axTx+(Ax)TAx0， 其中(Ax) T(Ax)0，x Tx0，因此 a 的取值范围是-a0，即a0【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 二次型24 【正确答案】 二次型对应的矩阵为 由二次型的秩为 2，因此A=0，由此解得 c=3，容易验证，此时 A 的秩为
20、 2 又因所求特征值为1=0， 2=4， 3=9【知识模块】 二次型25 【正确答案】 由特征值可知，f(x 1，x 2，x 3)=1 表示椭球柱面【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型26 【正确答案】 由题设， f(x 1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+T【知识模块】 二次型27 【正确答案】 设 A=2T+T，由已知=1， T=0，则 A=(2 T+T)=2 2+T=2，所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量；A=(2 T+T)=2T+ 2=，所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量
21、而矩阵 A 的秩 r(A)=r(2T+T)r(2T)+r(T)=2， 所以 3=0 也是矩阵的一个特征值 故 f 在正交变换下的标准形为【知识模块】 二次型28 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 xT(BTAB)x0，即(Bx) TA(Bx)0 于是，Bx0因此，Bx=0 只有零解，故有 r(B)=n 充分性：因 (BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵 若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0 又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx)
22、 TA(Bx)0 于是当 x0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx) 0，故 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型29 【正确答案】 由题干可知： 故二次型的矩阵为 A=【知识模块】 二次型30 【正确答案】 由题干可知：【知识模块】 二次型31 【正确答案】 A 为实对称矩阵，则存在一正交矩阵 T，使得 TAT -1=diag(1， 2， n)=A， 其中 1， 2， n 为 A 的特征值，不妨设 1 最大 作正交变换 y=Tx，即 x=T-1y，其中 T 是正交矩阵，因此 T-1=TT 有f=xTAx=yTTATTy=yTAy= 因为 y=Tx，所以当x=1时
23、，有 x 2=xTx=yTTTTy=y 2=1， 即 =1因此又当y1=1， y2=y3=yn=0 时， f=1，所以 fmax=1【知识模块】 二次型32 【正确答案】 (1)二次型的矩阵为当2=5 时，解方程(A-5E)x=0，由(2)二次型的矩阵为可得 A 的特征值为 1=-1， 2=1， 3=2 当 1=-1 时，解方程(A+E)x=0，由当 2=1 时，解方程(A-E)x=0，由 当 3=2 时，解方程(A-2E)x=0，由有正交矩阵Q=(p1，p 2，p 3)和正交变换 x=Qy，使【知识模块】 二次型33 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是由于是用正交变换化为标准形，故
24、A 与 B不仅合同而且相似那么有 1+1+1=3+3+6 得 b=-3 对 =3，则有由(3E-A)x=0，得特征向量 1=(1，-1，0) T， 2=(1，0，-1) T对 =-3，由(-3E-A)x=0，得特征向量 3=(1，1，1) T 因为 =3 是二重根，对 1， 2 正交化有 1=1=(1，-1，0) T，【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型34 【正确答案】 二次型矩阵 A= 二次型的秩为 2，则二次型矩阵A 的秩也为 2，从而 因此 a=0【知识模块】 二次型35 【正确答案】 由(1)中结论 a=0，则 A= ，由特征多项式得矩阵A 的特征值 1=2=2， 3=0当 =2
25、，由(2E-A)x=0，系数矩阵，得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T 当=0，由(OE-A)x=0，系数矩阵 ，得特征向量3=(1， -1，0) T 容易看出 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化：【知识模块】 二次型36 【正确答案】 所以方程f(x1，x 2，x 3)=0 的通解为：k(1，-1，0) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型37 【正确答案】 A TA= ，由 r(ATA)=2 可得，【知识模块】 二次型38 【正确答案】 由(1)中结果，则解得 B 矩阵的特征值为： 1=0， 2=2， 3=6对于 1=0，解(
26、 1E-B)x=0，得对应的特征向量为： 1= 对于 2=2，解( 2E-B)x=0，得对应的特征向量为： 2= 对于3=6，解( 3E-B)x=0，得对应的特征向量为： 3= 将 1， 2， 3 单位化可得：【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型39 【正确答案】 【知识模块】 二次型40 【正确答案】 由(1)中结果知，矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B-CTA-1C 是对称矩阵对 m 维向量 X=(0，0，0) T 和任意 n 维非零向量Y=(y1，y 2，y n)T0，都有依定义，Y T(B-CTA-1C)Y
27、 为正定二次型，所以矩阵 B-CTA-1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型41 【正确答案】 构造二次型 xTAx=，经坐标变换记 X=Cy，则有所以矩阵 A 和 B 合同【知识模块】 二次型42 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3E-A=8(3-y-1)=0 ，解得 y=2于是由于 AT=A，要(AP) T(AP)=PTA2P=A，而 A2=，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形，由配方法，有【知识模块】 二次型43 【正确答案】 记二次曲面为 f=1，则 f 为二次型，二次型的矩阵为得 A 的特征值为 1=2， 2=11， 3=0当 1=2 时，解方程(A-2E)x=0
28、，得特征向量当 2=11 时，解方程(A-11E)x=0，得特征向量当 3=0 时，解方程 Ax=0，得特征向量于是有正交矩阵 P=(p1，p 2，p 3)，使 P-1AP=，从而有正交变换 使原二次方程变为标准方程 2u2+11v2=1【知识模块】 二次型44 【正确答案】 必要性：因为对称阵 A 为正定的，所以存在正交矩阵 P 使PTAP=diag(1， 2， n)=A，即 A=PAPT，其中 1， 2， n 为 A 的全部特征值，A 是正定矩阵， 1， 2， n 均为正数令 A=diag再令 U= ，则 U 可逆，且 A=UTU 故 A 与单位矩阵合同 充分性：若存在可逆矩阵 U，使 A
29、=UTU，则对任意的 xRn 且 x0，有Ux 20，即 f(x)=xTAx=xTUTUx=Ux 20， 矩阵 A 是正定矩阵【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型45 【正确答案】 由题意知 QTAQ=A，其中，A= ，则 A=QQT 设 Q 的其他任一列向量为(x 1，x 2，x 3)T因为 Q 为正交矩阵，所以即 x1+x2=0，其基础解系含 2 个线性无关的解向量， 1= 把 1 单位化 1=【知识模块】 二次型46 【正确答案】 证明：因为(A+E) T=AT+E=A+E，所以 A+E 为实对称矩阵 又因为 A 的特征值为 1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵【知识模块】 二次型
