1、考研数学三线性代数（向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 现有四个向量组 (1， 2，3) T，(3，-1，5) T，(0，4，-2) T，(1，3，0) T (a，1，b， 0，0) T，(c，0，d，2，0) T，(e，0，f ，0，3) T (a，1，2，3)T， (b，1，2， 3)T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T (1，0，3，1) T，(-1，3，0，-2)T，(2 ，1，7，2) T，(4，2，14，5) T 则下列结论正确的是( )（A）线性相关的向量组为；线性无关的向量组为（B）线性相关的向量组为
2、；线性无关的向量组为 （C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 （D）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 2 设向量组(I)： 1=(a11，a 12，a 13)， 2=(a21，a 22，a 23)， 3=(a31，a 32，a 33)；向量组()： 1=(a11，a 12，a 13， a14)， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)，=(a 31，a 32，a 33，a 34，)，则正确的命题是( ) 3 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1-2， 2-3， 3-1（B） 1-2， 2+3， 3+1（C） 1+2，3 1-52，
3、5 1+92（D） 1+2， 21+32+43， 1-2-234 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则( )（A）A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关（B） A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关（C） A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关（D）A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则必有( )（A） 1， 2， 1 线性无关（B） 1， 2， 2 线性无关（C） 2， 3， 1， 2 线性相关（D） 1，
4、 2， 3， 1+2 线性相关6 设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价（B）若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价（C）若 B=PAQ，则 A 的行 (列)向量组与 B 的行(列)向量组等价（D）若 A 的行(列) 向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价7 向量组 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，-1，-3，4) T， 3=(6，4，4，6)T， 4=(7，7，9，1) T， 5=(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（A）
5、1， 2， 5（B） 1， 3， 5（C） 2， 3， 4（D） 3， 4， 58 设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1，则 a 必为( )9 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当Aa(a0)时，B=a（B）当 A=a(a0)时，B=-a（C）当 A0 时，B=0（D）当A=0 时，B=010 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示11 设向量组： 1， 2，
6、 r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关二、填空题12 已知向量组 1= 的秩为 2，则 t=_13 已知向量组 1=(2，3，4，5) T， 2=(3，4，5，6) T， 3=(4，5，6，7)T， 4=(5，6，7，8) T，则向量组 r(1， 2， 3， 2)=_14 任意一个 3 维向量都可以用 1=(1，0，1) T， 2=(1，-2，3) T， 3=(0，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 _15 已知向量组 1=(1，
7、2，-1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为_16 若 1=(1， 0，5，2) T， 2=(3，-2，3，-4) T， 3=(-1，1，t ，3) T 线性相关，则未知数 t=_17 向量组 1=(1，-2 ，0，3) T， 2=(2，-5，-3，6) T， 3=(0，1，3，0) T， 4=(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是_18 若向量组 1=(1，-1 ，2，4) T， 2=(0，3，1，2) T， 3=(3，0，7，a) T， 4=(1，-2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是_三、解答题解
8、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设非齐次线性方程组 AX=B 的系数矩阵的秩为 r， 1， n-r+1 是它的 n-r+1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 x=k 11+kn-r+1n-+1 (其中 k1+kn-r+1=1)20 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak-10证明：向量组 ，A，A k-1是线性无关的21 设 1， 2， ， n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1，e 2，e n 能由它们线性表示，证明 1， 2， n 线性无关22 设 1， 2， ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充
9、分必要条件是任一n 维向量都可由它们线性表示23 设向量组 1， 2， m 线性相关，且 10，证明存在某个向量 k(2km)，使 k 能由 1， 2， k-1 线性表示24 设向量组 B：b 1，b r 能由向量组 A： 1， s 线性表示为(b 1，b r)=(1， ， s)K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 组线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r25 设 证明：向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n 等价26 设 A，B 均是 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量27 已知 n 元齐次线性方程组 Ax
10、=0 的解全是 A2x=0 的解，证明 A2 的行向量可以由A2 的行向量线性表示考研数学三线性代数（向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B 由于(1，0， 0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除 C 向量组 中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1， 2， 3 线性相关，那么添加 3 后，向量组 必线性相关应排除 A 由排除法，所以应选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 B【试题解析
11、】 由于 A、C 两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题同真同假，而本题要求有且仅有一个命题是正确的，所以 A、C 均错误如设有向量组：1=(1，0，0)， 2=(0，1，0)， 3=(0，0，0) 与 1=(1，0，0，0)， 2=(0，1，0，0)，3=(0，0，0，1)显然 r(1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3)=3 即当 1， 2， 3 线性相关时，其延伸组 1， 2， 3 可以线性无关，因此，A 、C 错误 如果 1， 2， 3线性相关，即有不全为 0 的 x1，x 2，x 3，使 x11+x22+x33=0，即方程组有非零解，那么齐次方程组 必有非零解，即 1， 2
12、， 3 线性相关所以 D 错误故选 B【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， ( 1-2)+(2+3)-(3+1)=0， 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关 对于选项 C，可设1=1+2， 2=31-52， 3=51+92，即 1， 2， 3 三个向量可由 1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即 1+2，3 1-52，5 1+92 必线性相关 因而用排除法可知应选 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB=E 是 m 阶方阵，所以 r(AB)=m且有 r(A)r(AB
13、)=m，又因 r(A)m，故 r(A)=m于是根据矩阵的性质，A 的行秩=r(A)=m ，所以 A 的行向量组线性无关同理，B 的列秩=r(B)=m，所以 B 的列向量组线性无关所以应选 C【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 1， 2， 3 线性无关， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示知，1， 2， 3， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关，故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性 取 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0)T， 3=(0，0， 1，0) T， 2=(0，0，0，1) T， 1=1，知选项 A 与 C 错误 对于选项D
14、，由于 1， 2， 3 线性无关，若 1， 2， 3， 1+2 线性相关，则 1+2 可由1， 2， 3 线性表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，从而 2 可由 1， 2， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误 所以应选 B【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=(1， 2， n)，B=(1， 2， ， n)，则有( 1， 2， n)=(1， 2， n)表明向量组 1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示，表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列所对应的各元素由于 Q 可逆，从而有 A=BQ-1，即( 1
15、， 2， n)=(1， 2， n)Q-1，表明向量组1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确 类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确下例可表明选项 C 的命题不正确但 B 的行 (列)向量组与 A 的行(列)向量组不等价 对于选项 D 若 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵 A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等 )所以应选C【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【试题解析
16、】 对向量组的列向量作初等行变换，有可见秩 r(1， 2， 3， 4， 5)=3 又因为三阶子式 所以 2， 3， 4是极大线性无关组，所以应选 C【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵 A 的行列式作初等列变换，即把行列式 A的第2，3，n 列加到第 1 列上，提取公因式(n-1)a+1，得【知识模块】 向量9 【正确答案】 D【试题解析】 因为当A=0 时，r(A) n，又由题，设矩阵 A 与 B 等价，故r(B)n，从而B=0，所以应选 D【知识模块】 向量10 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组
17、秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A【知识模块】 向量11 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组可由向量组线性表示，故 r()r( )s 又因为当 rs 时，必有 r()r，即向量组的秩小于其所含向量的个数，此时向量组必线性相关，所以应选 D【知识模块】 向量二、填空题12 【正确答案】 -2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换已知秩为 2，故得 t=-2【知识模块】 向量13 【正确答案】 2【试题解析】 根据初等变换的性质可知，初等变换不改变向量组或矩阵的秩，则可以通过初等变换将向量构成的矩阵化为阶梯形矩阵来求秩，即故r(1， 2， 3， 4)
18、=2【知识模块】 向量14 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个 3 维向量都可以用 1=(1，0，1) T， 2=(1，-2，3)T， 3=(a，1， 2)T 线性表示， 即对于任意的向量 ，方程组 x11+x22+x33= 有解，也就是对于任意的 ，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3，)=3，因此而当 a3 时满足题意【知识模块】 向量15 【正确答案】 (-，+)【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析而对任意的 t，r(A)=3 是恒成立的，即向量组满足线性无关【知识模块】 向量16 【正确答案】
19、 l【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是齐次方程组 x11+x22+x33=0有非零解将系数矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵，则有由于方程组有三个未知数，如果该方程组有非零解，则系数矩阵的秩必定小于等于 2，因此可知 t-1=0，即 t=1【知识模块】 向量17 【正确答案】 1， 2， 4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有 因为矩阵中有 3 个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在 1，2，4 列，所以 1， 2， 4 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组【知识模块】 向量18 【正确答案】 a14
20、【试题解析】 n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是以这 n 个向量组成的矩阵对应的行列式不为 0，由于已知的四个向量对应的矩阵行列式为 ，计算该行列式可得因此可知 a14【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1， 2， n-r+1 线性无关且均为 Ax=b 的解取 1=2-1， 2=3-1， n-r=n-r+1-1，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次 方程 Ax=0 的解 下面用反证法证： 设 1， 2， n-r 线性相关，则存在不全为零的数 l1，l 2，l n-r，使得 l11+l22+
21、ln-rn-r=0，即 l1(2-1)+l2(3-1)+ln-r(n-r+1-1)=0，亦即-(l 1+l2+ln-r)1+l12+l23+ln-rn-r+1=0 由1， 2， n-r+1 线性无关知 -(l1+l2+ln-r)=l1=l2=ln-r=0，与 l1，l 2，l n-r 不全为零矛盾，故假设不成立因此 1， 2， n-r 线性无关，是 Ax=0 的一组基 由于 x， 1 均为 Ax=b 的解，所以 x-1 为 Ax=0 的解，因此 x-1 可由1， 2， n-r 线性表示，设 x-1=k21+k32+kn-r+1n-r =k2(2-1)+k3(3-1)+kn-r+1(n-r+1-
22、1)， 则 x= 1(1-k2-k3-kn-r+1)+k22+k33+kn-r+1n-r+1=0， 令 k1=1-k2-k3-kn-r+1 则 k1+k2+k3+kn-r+1=1，从而 x=k 11+k22+kn-r+1n-r+1 恒成立【知识模块】 向量20 【正确答案】 设有常数 0， 1， k-1，使得 0+1A+ k-1Ak-1=0， 则有 A k-1(0+1A+ k-1Ak-1)=0， 从而得到 0Ak-1=0由题设 Ak-10，所以 0=0 类似地可以证明 1=2= k-1=0，因此向量组 ，A，A k-1是线性无关的【知识模块】 向量21 【正确答案】 n 维单位向量 e1，e
23、2，e n 线性无关，有 r(e1，e 2，e n)=n 又因为 n 维单位坐标向量 e1，e 2，e n 能由 a1， a2，a n 线性表示，则可得 n=r(e1，e 2，e n)r(a1，a 2，a n) 又 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，因此r(a1，a 2，a n)n 综上所述 r(a1，a 2，a n)=n故 a1，a 2，a n 线性无关.【知识模块】 向量22 【正确答案】 必要性： a 1，a 2，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此r(a1，a 2，a n)=n对任一 n 维向量 b，因为 a1， a 2，a n，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故
24、 a1，a 2，a n，b 线性相关 综上所述 r(a1，a 2，a n，b)=n 又因为 a1，a 2，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a1，a 2，a n 线性表示 充分性： 已知任一 n 维向量 b 都可由 a1，a 2， ，a n 线性表示，则单位向量组： 1， 2， n 可由 a1，a 2，a n 线性表示，即 r( 1， 2， n)=nr(a1，a 2， n)， 又 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，有 r(a1，a 2，a n)n 综上，r(a 1，a 2， an)=n所以 a1，a 2，a n 线性无关【知识模块】 向量23 【正确答案】 因为向量组 a1
25、，a 2，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 1a1+2a2+ 3a3=0 设 k0，当 k=1 时，代入上式有1a1=0又因为 a10，所以 1=0，与假设矛盾，故 k1 当 k0且 k2时，有因此向量 ak 能由 a1，a 2，a k-1 线性表示【知识模块】 向量24 【正确答案】 必要性： 令 B=(b1，b r)，A=(a 1，a s)，则有 B=AK，由定理 r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)， 结合向量组 B： b1，b 2，b r 线性无关知 r(B)=r，故 r(K)r 又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，s 且由向量
26、组B：b 1， b2，b r 能由向量组 A：a 1，a 2，a s 线性表示，则有 rs，即minr，s=r 综上所述，rr(K)r，即 r(K)=r充分性：已知 r(K)=r，向量组 A 线性无关，r(A)=s ，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK= ，由矩阵秩的性质令即 r(B)=r(K)=r，因此向量组 B 线性无关【知识模块】 向量25 【正确答案】 设向量组 1， 2， n 和 1， 2， n 依次构成矩阵 A 和B，由条件知 B=AK，则 r(B)r(A)且 r(A)=r(A，B) 其中系数矩阵 K 为行列式K=(n-1)(-1) n-10(n
27、2)，故 K 可逆，则 A=BK-1，因此有 r(A)r(B)且 r(B)=r(B，A) 又 r(A，B)=r(B，A) ，综上所述 r(A)=r(B)=r(A， B) 因此 ，与 ， ， 能相互线性表示从而1， 2， n 与 1， 2， n 等价【知识模块】 向量26 【正确答案】 设 r(A)=r，r(B)=s ，且 1， 2， n-r 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，即矩阵 A 关于 =0的特征向量，同理， 1， 2， n-s 是 B 关于 =0的特征向量那么，向量组 1， 2， n-r， 1， 2， n-s 必然线性相关(由于 n-r+n-s=n+(n-r-s) n) 于是存在不全
28、为零的实数 k1，k 2，k n-r，l 2，l n-s，使 k11+k22+kn-rn-r+l11+l22+ln-sn-s=0 因为 1， 2， n-r 线性无关，1， 2， n-s 线性无关，所以 k1，k 2，k n-r 与 l1，l 2，l n-s 必分 别不全为零，令 =k 11+k22+kn-rn-r+=-(l11+l22+ln-sn-s) 由 0，从特征向量性质知， 既是 A 关于 =0的特征向量，也是 B 关于 =0的特征向量，因而 A，B有公共的特征向量【知识模块】 向量27 【正确答案】 因为 Ax=0 的解全是 A2x=0 的解，所以 A1x=0 与 同解那么 n-r(A1)=n-r ，所以 A2 的行向量可以由 A1 的行向量线性表示【知识模块】 向量
