1、考研数学三线性代数（向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2， ， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 2 设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程
2、组 Ax=0 仅有零解的充分条件是( )（A）A 的列向量线性无关（B） A 的列向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的行向量线性相关3 设 则三条直线a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c1=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )（A） 1， 2， 3 线性相关 （B） 1， 2， 3 线性无关（C） r(1， 2， 3)=r(1， 2) （D） 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关4 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1-2， 2-3， 3-1 （B） 1+2， 2+3，
3、 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21 （D） 1+22， 2+23， 3+215 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1+ 与 2+( )（A）线性无关（B）线性相关（C）即线性相关又线性无关（D）不确定6 已知向量组 则向量组1， 2， 3， 4， 5 的一个极大无关组为( )（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 5（D） 1， 3， 57 设 1=(1，2 ，3，1) T， 2=(3，4，7，-1) T， 3=(2，6，0，6) T， 4=(0，1，3，a)T，那么 a=8 是 1， 2， 3， 4 线性相关的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要条
4、件（C）必要而非充分条件（D）既不充分也非必要条件8 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组()：1， 2， m-1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m-1， ，则( )（A） m 不能由 ()线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由() 线性表示，但可以由()线性表示（C） m 可以由() 线性表示，也可以由()线性表示（D） m 可以由 ()线性表示，但不能由()线性表示9 已知四维向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，且向量 1=1+3+4， 2=2-4， 3=3+4， 4=2+3， 5=21+2+3则 r(1， 2， 3， 4， 5)=( )（A）
5、1（B） 2（C） 3（D）410 设 A 是 n 阶方阵，且A=0，则 A 中( )（A）必有一列元素全为 0（B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合二、填空题11 如果 =(1，2，t) T 可以由 1=(2，1，1) T， 2=(-1，2，7) T， 3=(1，-1，-4) T 线性表示，则 t 的值是_12 设 x 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 ExxT 的秩为_13 向量组 1=(1，0，0) ， 2=(1，1，0) ， 3=(-5，2，0)的秩是_14 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2
6、， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_15 设 1=(1， 2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2 ，-2) T，若 1=(1，3，4) T 可以由1， 2， 3 线性表示，但是 2=(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则a=_16 已知 1=(1，4，2) T， 2=(2，7，3) T， 3=(0，1，a) T 可以表示任意一个三维向量，则 a 的取值是 _17 与 1=(1， 2，3，-1) T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤。17 设 3 阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=3 对应的特征向量依次为 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，4) T， 3=(1， 3，9) T18 将向量 =(1，1，3) T 用 1， 2， 3 线性表示；19 求 An19 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示20 求 a 的值；21 将 1， 2， 3 由 1， 2， 3 线性表示21 已知 r(1， 2， 3)=2，r( 2， 3， 4)=3，证明：22 1
8、 能由 2， 3 线性表示；23 4 不能由 1， 2， 3 线性表示24 设 a1，a 2 线性无关，a 1+b，a 2+b 线性相关，求向量 b 用 a1，a 2 线性表示的表达式25 设 b1=a1，b 2=a1+a2，b r=a1+a2+ar，且向量组 a1，a 2，a r 线性无关，证明：向量组 b1，b 2，b r 线性无关25 *是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明：26 *， 1， n-r 线性无关；27 *， *+1， *+n-r 线性无关考研数学三线性代数（向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的
9、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 的条件即齐次线性方程组 x 1a1+x2a2+xsas=0 只有零解，故1， 2， s 线性无关， A 选项正确 对于选项 B，由 1， 2， s 线性相关知，齐次线性方程组 x 11+x22+xss=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的 选项 C 是教材中的定理 由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的 综上可知，应选 B【知识模块】 向量2 【正确答案】 A【试题解析】 齐次线性方程组 Ax=0
10、 的向量形式为 x 11+x22+xnn=0， 其中1， 2， n 为 A 的 x 个 m 维的列向量 由 Ax=0 只有零解 1， 2， n线性无关可知选项 A 正确 对于选项 C、D，只要 mn，不管 A 的行向量线性相关性如何，该齐次线性方程组都必有非零解，故 C、D 均不正确所以应选A【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组或 x 1+y2+3， (2) 有唯一解由(2)式可得 3=-x1-y2 而方程组(2)(或(1)有唯一解 3 可由 1， 2 线性表示，且表示式唯一 1， 2， 3 线性相关， 1， 2 线性无关 所以应选
11、D【知识模块】 向量4 【正确答案】 A【试题解析】 利用向量组线性相关的定义，令 x1(1-2)+x2(2-3)+x3(3-1)=0， (x1，x 2，x 3 为不全为零的实数) 可得(x 1-x3)1+(-x1+x2)2+(-x2+x3)3=0 又已知1， 2， 3 线性无关，则则齐次线性方程组(母) 有非零解，故 1-2， 2-3， 3-1 线性相关故应选 A【知识模块】 向量5 【正确答案】 D 【试题解析】 例如，令 1=(1，1) ， 2=(0，2)，=(-1，-1)，则 1， 2 线性无关，而 1+=(0，0) 与 2+=(-1，1)线性相关如果设 =(0，0)，那么 1+ 与
12、2+ 却是线性无关的故选 D【知识模块】 向量6 【正确答案】 D【试题解析】 对以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量的矩阵作初等行变换，有所以 1， 3， 5 是一个极大无关组，且 2=1+35， 4=1+3+5【知识模块】 向量7 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1， 1， n是否为零去判断因为 1， 1， 4=因此，当 a=8 时，行列式 1， 2， 4=0，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式 1， 2， 4=0，所以 a=8 是向量组 1， 2， 3， 4 线性相关的充分而非必要条件【知识模块】 向量8 【正确答
13、案】 B【试题解析】 按题意，存在组实数 k1，k 2，k m 使得 k11+k22+kmm= (*) 且必有 km0否则与 不能由 1， 2， m-1 线性表示相矛盾，从而即 m 可由向量组()线性表示，排除选项A、D 若 m 可以由()线性表示，即存在实数 l1，l 2，l m-1，使得 m=l11+l22+lm-1m-1， 将其代入(*) 中，整理得 =(k1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+kmlm-1)m-1， 这与题设条件矛盾因而 m 不能由向量组()线性表示，排除选项 C.【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有( 1， 2，
14、 3， 4， 5)=(1， 2， 3， 4) 因 4 个四维向量1， 2， 3， 4 线性无关，故 1， 2， 3， 40 A=( 1， 2， 3， 4)是可逆矩阵，A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)=r(AC)=r(AC)=r(1， 2， 3， 4， 5) 故知r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3，因此应选 C.【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 对于方阵 A，因为 的行(列)向量组的秩小于 n，所以 A 的列向量组必然线性相关，再由向量组线性相关的充分必要条件可知，其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选 C 选项 A、B 仅是A=0
15、 的充分条件，故均不正确由向量组线性相关的充分必要条件之“至少存在一个向量可用其余向量线性表示”可知，D 也不正确【知识模块】 向量二、填空题11 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1， 2， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x11+x22+x33= 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t-5=0，即t=5【知识模块】 向量12 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 xxT 的特征值为 0，0，1，故 E-xxT 的特征值为1，1，0又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个
16、数，即 r(E-xxT)=2【知识模块】 向量13 【正确答案】 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为 0的行向量的个数就是向量组的秩，即 ，因此秩是 2【知识模块】 向量14 【正确答案】 r+1【试题解析】 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=r，表明向量 可以由向量组 1， 2， s 线性表示，但是 r(1， 2， s，)=r+1 ，则表明向量 不能由向量组 1， 2， s 线性表示，因此通过对向量组1， 2， s， 作初等列变换，可得 ( 1， 2， s， ，)=(1， 2， s，0，)，因此可得 r(1， 2， s，)=r+1【知识
17、模块】 向量15 【正确答案】 -1【试题解析】 根据题意， 1=(1，3，4) T 可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33= 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即因此可知，当 a=-1 时，满足方程组 x11+x22+x33= 有解，方程组x11+x22+x33=2 无解的条件，故 a=-1【知识模块】 向量16 【正确答案】 a1【试题解析】 1， 2， 3 可以表示任一个 3 维向量，因此向量 1， 2， 3 与1=(1，0
18、，0) T， 2=(0，1，0) T，=(0，0，1) T 是等价向量，因此 1， 2， 3 的秩为3，即 1， 2， 30，于是 因此 a1【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 已知，若向量 ， 正交，则内积 T=0，设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与1， 2， 3 均正交，那么 对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(-1，-1， 1，0) T，将这个向量单位化得 ，即为所求向量【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量18 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，即 故=21-22+3【知识模块】
19、向量19 【正确答案】 A=2A 1-2A2+A3，则由题设条件 An=2An1-2An2+An3=21-22n2+3n3=【知识模块】 向量【知识模块】 向量20 【正确答案】 由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 表示，则由 1， 2， 3=10，知 1， 2， 3 线性无关，因此， 1， 2， 3 线性相关，即 1， 2， 3= =a-5=0，解得 a=5【知识模块】 向量21 【正确答案】 本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 那么 C=(1， 2， 3)-1(1， 2， 3)= 计算可得 C=因此( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)【知
20、识模块】 向量【知识模块】 向量22 【正确答案】 r(a 1，a 2，a 3)=23 a1，a 2，a 3 线性相关； 假设 a1 不能由 a2，a 3线性表示，则 a1 与 a2，a 3 线性无关 a2，a 3 线性相关 而由 r(a2，a 3，a 4)=3 a2，a 3，a 4 线性无关 a2，a 3 线性无关，与假设矛盾 综上所述，a 1 必能由a2，a 3 线性表示【知识模块】 向量23 【正确答案】 由(1)的结论，a 1 可由 a2，a 3 线性表示，则 若 a4 能由 a1，a 2，a 3 线性表示 a4 能由 a2，a 3 线性表示，即 r(a2，a 3，a 4)3 与 r(
21、a2，a 3，a 4)=3 矛盾，故a4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示【知识模块】 向量24 【正确答案】 因为 a1+b，a 2+b 线性相关，故存在不全为零的常数 k1，k 2，使k1(a1+b)+k2(a2+b)=0，则有(k 1+k2)b=-k1a1-k2a2 又因为 a1，a 2 线性无关，若 k1a1+k2a2=0，则 k1=k2=0 这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有 k 1a1+k2a20，(k 1+k2)b0 由 a1，a 2 线性无关，a 1+b，a 2+b 线性相关，因此 b0 综上 k1+k20，因此由(k 1+k2)b=-ka1-k2a2，即【知识模块
22、】 向量25 【正确答案】 根据已知，可得 (b 1，b 2，b r)=(a1，a 2，a r)K， 其中向量组 a1，a 2，a r 线性无关，则 r(a1，a 2，a r)=r，又因为 故 K 可逆，由矩阵的性质，得r(b1，b 2， br)=r(a1，a 2，a r)=r 所以 b1，b 2，b r 线性无关【知识模块】 向量【知识模块】 向量26 【正确答案】 假设 *， 1， n-r 线性相关，则存在不全为 0 的数c0，c 1，c n-r 使得下式成立 c 0*+c11+cn-rn-r=0 (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0*+c11+cn-rn-r)=c0A*+
23、c1A1+cn-rAn-r=c0b，其中 b0，则由上式c0=0，于是(1)式变为 c 11+cn-rn-r=0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1=c2= cn-r=0，与线性相关矛盾 因此由定义知， *， 1， n-r 线性无关【知识模块】 向量27 【正确答案】 假设 *， *+1， *+n-r 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c n-r 使得下式成立 c 0*+c1(*+1)+cn-r(*+n-r)=0， 即 (c 0+c1+cn-r)*+c11+cn-rn-r=0 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A(c 0+c1+cn-r)*+c11+cn-rn-r=(c0+c1+cn-r)A*+c1A1+cn-rAn-r=(c0+c1+cn-r)b， 因为b0，故 c0+c1+cn-r=0，代入(2)式，有 c11+cn-rn-r=0， 1， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， n-r 线性无关，因此 c1-c2=cn-r=0，即得 c0=0与假设矛盾 综上，所给向量组 *， *+1， *+n-r 线性无关【知识模块】 向量
