1、考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=O，则( )（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆2 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B =3，则分块矩阵 的伴随矩阵为( )3 设 A 为 mn 矩阵，B 为 n，n 矩阵，若 AB=E，则( )（A）r(A)=m，r(B)=m（B） r(A)=m，r(B)=n（
2、C） r(A)=n,r(B)=m（D）r(A)=n，r(B)=n4 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=O，若 A 的秩为 3，则 A 相似于( )5 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足=AB+B+A+2E=O，则B+E=( )6 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列运算正确的是 ( )（A）(A+B)(A-B)=A 2-B2（B） (A+B)-1=A-1+B-1（C） (A+B)2=A2+2AB+B2（D）(AB) *=B*A*7 设 A=E-2T，其中 =(x1，x 2，x n)t 且有 T=1则 (1)A 是对称阵； (2)A 2 是单位阵； (3)A 是正交阵； (4)A 是可
3、逆阵 上述结论中，正确的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 A= ，那么(P -1)2010A(Q2011)-1=( )9 设 则必有( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B二、填空题10 设 A= ，r(A)=2，则 a=_11 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 B= ，则 r(AB)=_12 设 A= ， B 为 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 t=_13 设 A= ，B=(E-A)(E+2A) -1，则(B-E) 1=_14 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，则 A=_15 设矩阵 X 满
4、足方程 ，则矩阵X=_16 设 A= ，B 是 3 阶矩阵，则满足 AB=O 的所有的 B=_17 已知 A= ，若 x 满足 AX+2B=BA+2X，那么X2=_18 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为_19 已知 A= 则秩 r(AB+2A)=_20 已知 A= ，且 AXA*=B，r(X)=2，则 a=_21 已知 A= ，B 是 3 阶非零矩阵，且 BAT=O，则 a=_22 设 A= ，(A -1)*是 A-1 的伴随矩阵，则(A -1)*=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 已知矩阵 A 的伴随矩阵 A*=diag(1，1，1，8)，且 ABA-1=BA-1+3
5、E，求 B24 设方阵 A 满足 A2-A-2E=O，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A-1 及(A+2E) -124 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，证明：25 若A=0，则A *=0 ；26 A *= A n-127 设 n 阶矩阵 A 及 s 阶矩阵 B 都可逆，求28 设 A= ，问 k 为何值，可使(1)r(A)=1 ；(2)r(A)=2；(3)r(A)=329 证明 r(A)=1 的充分必要条件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT，使 A=abT30 设向量组 的秩为 2，求 a，b考研数学三线性代数（矩阵）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
6、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 已知(E-A)(E+A+A 2)=E-A3=E，(E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E 故 E-A，E+A 均可逆故应选 C【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 A 的行列式A0，A 可逆，且， A-1=的行列式 =(-1)22A B=23=6，即分块矩阵可逆，那么根据公式有所以应选B【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查矩阵的秩的性质因为 AB=E，所以 r(AB)=m又 r(AB)=mminr(A)，r(B)，即 r(A)m，r(B)m，而 r(A)m，r(B)m，所以，r(
7、A)=m，r(B)=m故选 A【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查的是矩阵相似的性质，实对称矩阵可对角化的性质，矩阵的特征值，矩阵的秩等 设 A 的特征值为 ，因为 A2+A=O，所以 2+=0，即(+1)=0，则 =0 或 =-1 又因为 r(A)=3，而由题意 A 必可相似对角化，且对角矩阵的秩也是 3，所以 =-1 是三重特征根，则 所以正确答案为 D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造 B+E，用分组因式分解法，则有 A(B+E)+(B+E)=-E，即(A+E)(B+E)=-E， 两边取行列式，由行列式乘法公式得 A+E.B+E
8、 =1 ，【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵的乘法没有交换律，因此 A，B 可逆不能保证 AB=BA，例如A= ，所以 A、C 均不正确A，B 可逆时，A+B 不一定可逆，即使 A+B 可逆，其逆一般也不等于 A-1+B-1所以因为 A可逆时，A *=AA -1，故 (AB) *=AB(AB) -1=ABB -1A-1=(BB -1)(A A-1)=B*A* 因此 D 正确【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E-2T)T=ET-(2T)T=E-2T=A，(1)成立 A 2=(E-2T)(E-2T)=E-4T+4TT=E-4T+4(T)T=E，(2
9、)成立 由(1)、(2)，得 A2=AAT=E，故A 是正交阵，(3)成立 由 (3)知正交阵是可逆阵，且 A-1=AT，(4)成立 故应选D【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q 均为初等矩阵，因为 P-1=P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的 1、3 两行，那么 P2010A 表示把 A 的 1、3 两行互换 2010 次，从而(P -1)2010A=P2010A=A又(Q 2011)-1=(Q-1)2011，且 Q-1= 而 Q-1 右乘 A 相当于把矩阵 A 的第 2 列上各元素加到第 1 列相应元素上去，那么 A(Q-1)2011 表示把矩阵 A第 2 列的
10、各元素 2011 倍加到第 1 列相应元素上去，所以应选 B【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 C【试题解析】 由于对矩阵 Amn 施行一次初等变换相当于在 A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对 Amn 作一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第 1 行加到第3 行上，再把所得的矩阵的第 1、2 两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P2 与 P1，因此选项 C 正确【知识模块】 矩阵二、填空题10 【正确答案】 0【试题解析】 对 A 作初等行变换，则有【知识模块】 矩阵11
11、【正确答案】 2【试题解析】 因为 所以矩阵 B 可逆，因此 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 -3【试题解析】 因为矩阵 B 为 3 阶非零矩阵，并且满足 AB=O，因此可见线性方程Ax=0 有非零解，因此 解得 t=-3【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧则 B-E=(E-A)(E+2A) -1-(E+2A)(E+2A)-1 =(E-A)-(E+2A)(B+2A)-1 =-3A(E+2A)-1 因此可得(B-E) -1=-3A(E+2A)-1-1= 根据已知可得【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】
12、因为 AA*=AE，因此 A=A(A *)-1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得A *=-8=A 3，因此A =-2，又【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 记 A=【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 将 B 按列分块，设 B=(1， 2， 3)，则 AB=A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=0，因此可得 A1=0，A 2=0，A 3=0，因此 1， 2， 3 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量 对于齐次线性方程组 AB=0，求出其通解对 A 作初等行变换 则 Ax=0 有通解 k(-2，-1，1) T，令 1， 2， 3 都是齐次线性方程组
13、 Ax=0 的通解，再合并成矩阵 B，即得B= ，其中 k，l， 是任意常数【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 根据已知 Ax+2B=BA+2X，得 AX-2X=BA-2B，即(A-2E)X=B(A-2E)，由于 A-2E= 是可逆的，因此 X=(A-2E)-1B(A-2E)，那么 X2=(A-2E)-1B2(A-2E)【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 故 r(A3)=1【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB+2A=A(B+2E)，且 是可逆矩阵，因此 r(AB+2A)=r(A(B+2E)=r(A) 因为经过初等
14、变换，矩阵的秩不变，则因此可得 r(AB+2A)=2【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 0 【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此 r(AXA*)=r(X)=2=r(B)， 因此可得B=0，则【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=O 可知，r(B)+r(A T)3，即 r(A)+r(B)3又因为 BO，因此 r(B)1，从而有 r(A)3，即A=0，因此【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 【试题解析】 由于 A-1(A-1)*=A -1E，则(A -1)*=A -1A= 由题干可知A=6，因此【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字
15、说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由题意可知 A-1 存在，A *=A A -1 两端取行列式可得A *= A 4A -1=A 3， 因为 A*=diag(1，1，1，8)，所以A =8，即A=2由 ABA-1=BA-1+3E 移项并提取公因 式得，(A-E)BA -1=3E，右乘 A 得(A-E)B=3A，左乘 A-1 得(E-A -1)B=3E 且由已求结果A =2，知【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 由 A2-A-2E=0，得 A(A-E)=2E两端同时取行列式 A(A-E)=2，即 AA-E=2，故A0，所以 A 可逆 而由 A2-A-2E=0 可得 A+2E=A2 两
16、端同时取行列式 A+2E=A 2 =A 20， 所以 A+2E 也可逆 由 A(A-E)=2E，得 A-1= (A-E) 又 A2-A-2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A-3E)=-4E，则有 (A+2E) -1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1， 因此(A+2E) -1= (A-3E)【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 (反证法)假设A *0，由矩阵可逆的充分必要条件可知 A*是可逆矩阵，则有 A *(A*)-1=E，又因为 A*=A-1A，这里A0，由此得 A=AE=AA*(A*)-1=AE(A *)-1=0，所以 A*=O这与A *0 矛盾，故
17、当A=0 时，有A *=0 【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 由于 AA*=AE ，两端同时取行列式得A A *=A n 当A0 时，A *=A n-1；当A=0 时，A *=0 综上，有A *= A n-1 成立【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)将 ，其中，X 1 为 ns 矩阵，X2 为 nn 矩阵，X 3 为 ns 矩阵，X 4 为 sn 矩阵，由矩阵互逆的定义可得(2)将，其中，X 1 为 nn 矩阵，X 2 为 ns 矩阵，X 3 为sn 矩阵，X 4 为 ss 矩阵，由矩阵互逆的定义可得【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 对 A 作初等变换，因此，(1)当 k=1
18、时，r(A)=1；(2)当 k=-2 时，r(A)=2；(3) 当 k1 且 k-2 时，r(A)=3【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 充分性：设 a=(a1，a 2，a m)T，b=(b 1，b 2，b m)T，设a1b10，根据矩阵秩的性质 r(AB)minr(A)，r(B) ，因为 A=abT，所以 r(A)r(a)=1 另一方面，根据假设 a1b10 可知，A 的第一行第一列的元素 a1b10，所以r(A)1综上所述 r(A)=1 必要性：设 A=(aij)mn，因 r(A)=1，设 a110，由矩阵的等价可知，存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使其中a= ，b=(1，0，0)Q，并且两者依次为非零 m 维列向量和非零 n 维行向量，且有 A=abT 成立【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 记 A=(a3，a 4，a 1，a 2)，并对矩阵 A 作初等行变换A=(a3，a 4，a 1，a 2)当且仅当 a-2=0 且 b-5=0 时，向量组(a 3，a 4， a1，a 2)的秩为 2，即 a=2b=5【知识模块】 矩阵
