1、考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为 ，则自由变量可取为 (1)x 4，x 5 (2)x3，x 5 (3)x1，x 5 (4)x2，x 3 那么正确的共有( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 已知 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么下列向量 1-2， 1+2-23， (2-1)， 1-32+23 中能导出方程组 Ax=0 解的向量共有( )（A）4 个（B） 3 个（C） 2 个（D）1 个3 已知 1=(
2、1， 1，-1) T， 2=(1，2，0) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是 ( )（A）(1 ，-1，3) T（B） (2，1，-3) T（C） (2，2，-5) T（D）(2 ，-2，6) T4 设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 Ax=0 有非零解的充分必要条件是( )（A）r=n（B） rn（C） rn（D）rn5 已知 4 阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中1， 2 线性无关，若 1+22-3=， 1+2+3+4=，2 1+32+3+24=，k 1，k 2 为任
3、意常数，那么 Ax= 的通解为( )6 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应的齐次线性方程 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )7 三元一次方程组 ，所代表的三个平面的位置关系为( )8 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=
4、0 有非零解二、填空题9 设 A 为 33 矩阵，且方程组 Ax=0 的基础解系含有两个解向量，则 r(A)=_10 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0的两个线性无关的解，则 r(A*)=_11 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组 Ax=0，如果矩阵 A 中的每行元素的和均为 0，且 r(A)=n-1，则方程组的通解是_12 方程组 有非零解，则 k=_13 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_14 已知方程组 总有解，则 应满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A=
5、E-T，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置 证明：15 A2=A 的充分条件是 T=-1；16 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵17 设 A= 已知方程组 Ax=b 有无穷多解，求 a 的值并求其通解18 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21 其中 t1，t 2 为实常数试问 t1，t 2 满足什么条件时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系19 已知四阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中2， 3， 4 线
6、性无关， 2=22-3，若 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解20 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0， l 2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=021 求下列齐次线性方程组的基础解系：22 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为 1=(0，1，2，3) T， 2=(3，2，1，0)T22 设四元齐次线性方程组 求：23 方程组与的基础解系；24 与的公共解25 设 A= (1)求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；(2)对(1)中任意向量 2 和 3，证明
7、1， 2， 3 线性无关25 设 A= 已知线性方程组 Ax=b，存在两个不同的解26 求 ，a；27 求方程组 Ax=b 的通解28 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r(A)=3，有 n-r(A)=5-3=2，故应当有 2 个自由变量由于去掉 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 ，因为其秩与 r(A)不相等，故 x4，x 5 不是自由变量同理，x 4，x 5 不能是自由变量 而 x1，x 5 与x2，x 3 均
8、可以是自由变量，因为行列式 都不为 0 所以应选 B【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 由 Ai=b(i=1，2，3) 有 A( 1-2)=A1-A2=b-b=0， A( 1+2-23)=A1+A2-2A3=b+b-2b=0，A(1-32+23)=A1-3A2+2A3=b-3b+2b=0， 那么， 1-2， 1+2-23， (2-1)， 1-32+23 均是齐次方程组 Ax=0 的解 所以应选 A【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解因此选项A、D 均不是 Ax=0 的解 由于 1， 2
9、 是 Ax=0 的基础解系，那么 1， 2 可表示Ax=0 的任何一个解 ，亦即方程组 x， 1+x22= 必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5) T 不能由 1， 2 线性表示所以应选 B【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 将矩阵 A 按列分块，A=( 1， 2， n)，则 Ax=0 的向量形式为 x1a1+x2a2+xnan=0， 而 Ax=0 有非零解甘 1， 2， n 线性相关r(1， 2， ， n)n r(A)n 所以应选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B 【试题解析】 由 1+22-3= 知 即1=(1，2，-1，0) T 是 Ax
10、= 的解同理 2=(1，1，1，1) T， 3=(2，3，1，2) T 也均是 Ax= 的解，那么 1=1-2=(0，1，-2，-1) T， 2=3-2=(1，2，0，1) T 是导出组Ax=0 的解，并且它们线性无关于是 Ax=0 至少有两个线性无关的解向量，有 n-r(A)2，即 r(A)2，又因为 1， 2 线性无关，有 r(A)=r(1， 2， 3， 4)2所以必有 r(A)=2，从而 n-r(A)=2，因此 1， 2 就是 Ax=0 的基础解系，根据解的结构，所以应选 B【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A、C 选项，因为 所以选项A、C 中不含有非齐次
11、线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确 对于选项 D，虽然(1-2)是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B 事实上，对于选项 B，由于 1，( 1-2)与 1， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1，( 1-2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知， 是齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确.【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 C【试题解析】 设方程组的系数矩阵为 A，对增广矩阵 A 作初等行变换，有因为 r(A)=2，而 r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点
12、又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n 2=(2，3，1)，n 3=(1，-1 ，-2)互不平行所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱所以应选 C【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 D【试题解析】 因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r(A)=n 或r(A)n，以此均不能推得r(A)=r(A： b)，所以选项 A、B 均不正确而由 Ax=b 有无穷多个解可知， r(A)=r(A：b)b根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解所以应选 D【知识模块】 线性方程组二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 由线性方程组的基础解系所含解向量的个
13、数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为 33 阶，因此 r(A)=n-r=3-2=1【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 0【试题解析】 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有 n-r(A)2，即 r(A)3又因为 A 是五阶矩阵，而 r(A)3，因此A4 阶子式一定全部为 0，因此代数余子式 Aij 恒为零，即 A*=O，所以 r(A*)=0【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 k(1，1，1) T，k 是任意常数【试题解析】 由题干可知 r(A)=n-1，则线性方程组 Ax=0 的
14、基础解系由 1 个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系 又已知矩阵每行的元素之和都为 0，因此有 A i1+Ai2+Ain=1Ai1+1Ai2+1Ain=0，故(1，1，1) T 满足每一个方程，是 Ax=0 的解，所以通解为 k(1，1，1) T，k 是任意常数【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 -1【试题解析】 一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 =12(K+1)=0，因此得 k=-1【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k 1(1，2，-1) T+k2(1，0，1) T【试题解析】 A 是一个 3 阶矩阵，由已知得A
15、=0，且 r(A)=2，因此 r(A*)=1，那么可知 n-r(A*)=3-1=2，因此 A*x=0 有两个基础解系，其通解形式为k11+k22又因为 A*A=AE=0 ， 因此矩阵 A 的列向量是 A*x=0 的解，故通解是 k1(1，2，-1) T+k2(1，0，1) T【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 【试题解析】 对于任意的 b1，b 2，b 3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A的秩为 3，即A0，由可知 1且 【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+(
16、T)T=E-(2-T)T， 因此 A2=A E-(2-T)T=E-T (T-1)T=0 因为 0，所以 T0，因此 A2=A 的充分条件为T=1【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 方法一：当 T=1 时，由 A=E-T 可得 A=- T=-=0， 因为0，因此 Ax=0 有非零解，即A=0，所以 A 不可逆 方法二：当 T=1 时，由于 A2=A A(E-A)=0，所以 E-A 的每一列均为 Ax=0 的解， 因为 E-A=T0，即 Ax=0 有非零解，因此矩阵 A 的秩小于 n，即 A 不可逆【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 由题干可知，线性方程组 Ax=b 有无穷多解 对
17、线性方程组 Ax=b 的增广矩阵作初等行变换，故方程组 Ax=b 的通解为 (3，-1，0) T+k(-7，3，1) T【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 因为 i(i=1，2，s)是 1， 2， ， s 的线性组合，且1， 2， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知i(i=1， 2， ，S)均为 Ax=0 的解 由 1， 2， s 是 Ax=0 的基础解系，知s=n-r(A) 以下分析 1， 2， s 线性无关的条件： 设 k11+k22+kss=0，即(t1k1+t2ks)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)3+(t2ks-1+t1ks)s=0，
18、 由于 1， 2， s 线性无关，因此有 又因系数行列式 当 时，方程组(*)只有零解 k1=k2=ks=0 因此当 s 为偶数，t 1t2，或当 s 为奇数，t 1-t2 时，1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 因为 2， 3， 4 线性无关和 1=22-3，可知，向量组的秩r(1， 2， 3， 4)=3，即矩阵 A 的秩为 3因此 Ax=0 的基础解系中只有一个向量则由 知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0) T 又因 =1+2+3+4=(1， 2， 3， 4)， 则(1，1，1，1) T 是Ax= 的一个特解因此 Ax= 的通解是 k ，其中 k
19、为任意常数【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 方法一：必要性： 设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则其线性方程组为：=3(a+b+c)(a-b)2+(bc)2+(ca)2，但根据题设可知(a-b) 2+(b-c)2+(c-a)20，故a+b+c=0 充分性：由 a+b+c=0，则从必要性的证明中可知，A=0，故 r(A)3由于因此方程组(1)有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点 方法二：必要性：设三直线交于一点(x 0， y0)，则 为 Ax=0 的非零解，其中=-3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，但根据题设可知(a-b) 2+(b-c)
20、2+(c-a)20，故 a+b+C=0 充分性： 考虑线性方程组将方程组(2)的三个方程相加，并由 a+b+c=0 可知，方程组(2)等价于方程组故方程组(3)有唯一解，即方程组(2) 有唯一解，亦即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 (1)方程组的系数矩阵 A=所以 r(A)=2，因此基础解系所含向量的个数为 4-2=2，又原方程组等价于 取 x3=1，x 4=5，得 x1=-4，x 2=2；取 x3=0，x 4=4，得 x1=0，x 2=1因此基础解系为 1= (2)方程组系数矩阵 得 r(A)=2，基础解系所含向量的个数为 4-2=2又原方程
21、组等价于 取 x3=1，x 4=2得 x2=0，x 2=0；取 x3=0，x 4=19，得 x1=1，x 2=7因此基础解系为 1=(3)记 A=(n，n-1，1)，可见 r(A)=1，从而有 n-1 个线性无关的解构成此方程的基础解系，原方程组为 xn=-nx1-(n-1)x2-2xn-1 取x1=1， x2=x3=xn-1=0，得 xn=-n； 取 x2=1，x 1=x3=x4=xn-1=0，得 xn=-(n-1)-n+1； 取 xn-1=1，x 1=x2=xn-2=0，得 xn=-2 所以基础解系为 ( 1， 2， n-1)=【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 设所求齐次方程为
22、Ax=0， 1， 2 是 4 维列向量，基础解系含有 2个向量，因此 r(A)=4-2=2，即方程的个数大于等于 2 记 B-(1， 2)，即有AB=0，且 r(A)=2 即 B TAT=0 且 r(AT)=2 所以 AT 的列向量就是 BTx=0 的一个基础解系 得基础解系 1= 对应其次线性方程组为【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 求方程组的基础解系： 系数矩阵为【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T 为与的公共解，用两种方法求 x 的一般表达式： 方法一：x 是与的公共解，因此 x 是方程组的解，方程组为与
23、联立的方程组，即 其系数矩阵取其基础解系为(-1，1，2，1) T，于是与的公共解为 方法二：以的通解 x=(c1，-c 1，c 2，-c 1)T 代人得 c 2=-2c1 这表明的解中所有形如(c1， -c1，-2c 1，-c 1)T 的解也是 的解，从而是与 的公共解因此与的公共解为【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 对增广矩阵(A： 1)作初等行变换，则得 Ax=0 的基础解系(1，-1，2) T 和 Ax=1，的特解 (0，0，1) T 故 2=(0，0，1) T+k(1，-1，2) T 或 2=(k，-k，2k+1) T，其中 k 为任意常数由于 A2= ，对增广矩阵(A 2
24、： 1)作初等行变换，有所以， 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 由已知可得，线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，则 r(A)=r(A)n 故A=0，即可得 =1 或 =-1 当 =1 时，有 r(A)=1，r(A)=2，此时线性方程组无解 当 =-1 时，若 a=-2，则 r(A)=r(A)=2，方程组 Ax=b 有无穷多解故 =-，a=-2【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 当 =-1，a=-2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为 +k(1，0，1) T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 由
25、于方程组()中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组() 必有非零解那么方程组 ()必有非零解() 的系数矩阵行列式为 0，即对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有则方程组()的通解是 k(-1，-1，1) T 由已知，则(-1，-1，1) T 也是方程组()的解，则有 得 b=1，c=2或 b=0，c=1 当 b=1，c=2 时，方程组()为 其通解是 k(-1，-1，1) T，所以方程组 ()与()同解 当 b=0，c=1 时，方程组()为由于 r()=l，而 r()=2 ，故方程组 ()与() 不同解，则 b=0，c=1应舍去 综上，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组()与()同解【知识模块】 线性方程组
