1、考研数学三（n 维向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列向量组 1， 2， 3 中，线性无关的是（A）(1 ，2，3，4) ，(4， 3，2，1) ，(0，0，0，0)（B） (a，b， c)，(b ，c，d)，(c ，d，e)，(d，e，f)（C） (a，l，b，0，0) ，(c，0，d，2，3)，(e，4， f，5，6)（D）(a，1，2，3)，(b， 1，2，3)，(c，4，2，3)，(d，0，0，0)2 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则命题正确的是（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B）
2、1-2， 2-3， 3-4， 4-1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3-4， 4-1 线性无关（D） 1+2， 2-3， 3-4， 4-1 线性无关3 设 1， 2， ， s 是 n 维向量，则下列命题中正确的是（A）如 s 不能用 1， 2， s-1 线性表出，则 1， 2， s 线性无关（B）如 1， 2， s 线性相关， s 不能由 1， 2， s-1 线性表出，则1， 2， s-1 线性相关（C）如 1， 2， s 中，任意 s-1 个向量都线性无关，则 1， 2， s 线性无关（D）零向量 0 不能用 1， 2， s 线性表出 4 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1，
3、 2， s 线性表出，则下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则 ars（B）若向量组线性相关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性相关，则 rs二、填空题5 已知向量组 1=(1，2，-1，1) T， 2=(2，0，a，0) T， 3=(0，-4，5，1-a) T 的秩为2，则 a=_6 若 1=(1，0 ，5，2) T， 2=(3，-2，3，-4) T， 3=(-1，1，t ，3) T 线性相关，则t=_.7 若 1=(1，-1，2，4) T， 2=(0，3，1，2) T， 3=(3，0，7，a) T， 4=(1，-2，2，0) T线性无关，则 a 的取值范围为 _
4、8 若 =(1，2，t) T 可由 1=(2，1，1) T， 2=(-1，2， 7)T， 3=(1，-1，-4) T 线性表出，则 t=_.9 设 1=(1，2 ，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2 ，-2) T，若 1=(1，3，4) T 可以由1， 2， 3 线性表出， 2=(0，1，2) T 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 若 i1， i2， ir 与 j1， j2， jt 都是 1， 2， s 的极大线性无关组，则 r=t11 设 A，B 都是 mn 矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)12
5、设 A 是 mn 矩阵，B 是 nP 矩阵，如 AB=0，则 r(A)+r(B)n13 已知 1=(1，1，1，0) T， 2=(0，1，2，1) T， 3=(3，1，-2，1) T 线性无关，则将其正交化，有14 判断 1=(1，0，2，3) T， 2=(1，1，3，5) T， 3=(1，-1，a+2，1)T， 4=(1，2，4，a+9) T 的线性相关性15 已知 1=(1， -1 ，1) T， 2=(1，t，-1) T， 3=(t，1 ，2) T，=(4，t 2，-4) T，若 可以由 1， 2， 3 线性表出且表示法不唯一，求 t 及 的表达式16 已知 可用 1， 2， m 线性表示
6、，但不能用 1， 2， m-1 表出，试判断： ( )m 能否用 1， 2， m-1， 线性表示； () m 能否用 1， 2， m-1 线性表示，并说明理由17 若向量组 1， 2， 3 线性相关，向量组 2， 3， 4 线性无关，试问 4 能否由1， 2， 3 线性表出?并说明理由18 已知线性方程组 的通解是(2，1，0，3) T+k(1，-1，2，0) T，如令 i=(ai，b i，c i，d i)T， i=1，2，5试问：() 1 能否由2， 3， 4 线性表出? () 4 能否由 1， 2， 3 线性表出? 并说明理由19 已知 1， 2， 3 线性无关，证明 21+32， 2-3
7、， 1+2+3 线性无关20 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak-10 证明：向量组 ，A，A k-1是线性无关的21 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，若 AB=E，证明 B 的列向量线性无关22 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， 3 是 n 维列向量，且10，A 1=k1，A 2=l1+k2，A 3=l2+l3，l0，证明 1， 2， 3 线性无关 23 证明 n 维列向量 1， 2， n 线性无关的充要条件是24 已知向量 可以由 1， 2， s 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 1， 2， ， s
8、 线性无关25 设 i=(ai1，a i2，a in)T(i=1，2，r；rn) 是 n 维实向量，且1， 2， r 线性无关，已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组的非零解向量试判断向量组 1， 2， r， 的线性相关性考研数学三（n 维向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 有零向量的向量组肯定线性相关，任意 n+1 个 n 维向量必线性相关因此(A) ，(B)均线性相关 对于(D) ，若 d=0，肯定线性相关；若 d0，则(a，1， 2，3)-(b，1，2， 3)= (d，0，0，0)，即 1
9、， 2， 4 线性相关，而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关，因此不论哪种情况，(D)是线性相关的由排除法可知(C) 入选另一方面，若能观察出 1=(1，0，0)， 2=(0，2，3)，3=(4，5，6)所构成的行列式 则可知 1， 2， 3 线性无关，而1， 2， 3 是其延伸组，即不论如何扩充均线性无关，故选(C)【知识模块】 n 维向量2 【正确答案】 D【试题解析】 由观察法可知( 1+2)-(2+3)+(3+4)-(4+1)=0，即(A)线性相关 对于(B) ，( 1-2)+(2-3)+(3-4)+(4-1)=0，即(B)线性相关 而(C)中，( 1+2)-(2+3)+(3-
10、4)+(4-1)=0，即(C)线性相关 由排除法可知(D)正确作为复习并掌握基本方法，请读者直接证明(D)线性无关.【知识模块】 n 维向量3 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C) ， (D)均错，仅(B)正确 (A)中当 s 不能用 1， 2， s-1 线性表出时，并不保证每一个向量 i(i=1，2，s-1)都不能用其余的向量线性表出例如， 1=(1，0)， 2=(2，0)， 3=(0，3) ，虽 3 不能用 1， 2 线性表出，但21-2+03=0， 1， 2， 3 是线性相关的 (C) 如 1， 2， s 线性无关，可知它的任何一个部分组均线性无关但任一部分组线性无关并不能保证
11、该向量组线性无关例如 e 1=(1，0，0，0)，e 2=(0，1，0， ，0)，e n=(0，0，0，1)，=(1，1，1，1)，其中任意 n 个都是线性无关的，但这 n+1 个向量是线性相关的 (D)在线性表出的定义中，对组合系数没有任何约束条件，因此，零向量可以用任何向量组线性表出，最多组合系数全取为 0，即0=01+02，+0 s 其实，零向量 0 用 1， 2， s 表示时，如果组合系数可以不全为 0，则表明 1， 2， s 是线性相 关的，否则线性无关 关于(B)，由于 1， 2， s 线性相关，故存在不全为 0 的 ki(i=1，2，s)，使 k11+k22+kss=0 显然，
12、ka=0(否则 s 可由 1， s-1 线性表出)，因此1， 2， s-1 线性相关【知识模块】 n 维向量4 【正确答案】 A【试题解析】 因为可由线性表出，故 r()r() 当向量组线性无关时，有 r()=r( 1， 2， r)=r由向量组秩的概念自然有 r()=r( 1， 2， s)s从而(A)正确若 1= ，可见(B)、(D)均不正确若 1= ，可知(C) 不正确【知识模块】 n 维向量二、填空题5 【正确答案】 3【试题解析】 根据三秩相等定理及经初等变换秩不变定理，对( 1， 2， 3)作初等变换，有 所以a=3【知识模块】 n 维向量6 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2，
13、3 线性相关的充要条件是齐次方程组 x11+x22+x33=0 有非零解 对系数矩阵高斯消元，化为阶梯形，于是有因为齐次方程组有三个未知数，它若有非零解则阶梯形方程组中方程个数必不大于 2，故知 t=1【知识模块】 n 维向量7 【正确答案】 a14【试题解析】 n 个 n 维向量 1， 2， n 线性无关 1， 2， n 0因为所以a14【知识模块】 n 维向量8 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1， 2， 3 线性表出的充要条件是线性方程组x11+x22+x33= 有解 对增广矩阵高斯消元，化为阶梯形，即【知识模块】 n 维向量9 【正确答案】 -1【试题解析】 依题意，方程组
14、 x11+x22+x33=1 有解，而方程组x11+x22+x33=2 无解.因为两个方程组的系数矩阵相同，故可合并一次加减消元，即 可见 a=-1 时，方程组 x11+x22+x33=1 有解，而 x11+x22+x33=2 无解，故 a=-1.【知识模块】 n 维向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 i1， i2， ir 是极大线性无关组，所以添加 j1 后i1， ， ir， j1 必线性相关那么 j1 可由 i1， i2， ri 线性表出类似地，j2， ， jr 也都可由 i1， i2， ir 线性表出. 又因 j1， j2， jt 线性无关，得
15、知 tr同理，rt所以，r=t【知识模块】 n 维向量11 【正确答案】 设 A 的列向量中 i1， i2， ir 是其一个极大线性无关组，j1， j2， jt 是 B 的列向量的一个极大线性无关组那么，A 的每一个列向量均可以由 i1， i2， ir 线性表出，B 的每一个列向量均能用 j1， j2， jt 线性表出于是 A+B 的每一个列向量 k+k 都能用i1， i2， ir， j1， j2， jt 线性表出因此，A+B 列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于向量组 i1， i2， ir， j1， j2， jt 中向量个数，即r(A+B)r+t=r(A)+r(B)【知识模块】 n 维向
16、量12 【正确答案】 构造齐次方程组 Ax=0，对矩阵 B 按列分块，记B=(1， 2， p)，那么 AB=A(1， 2， p)=(A1，A 2，A p)=(0，0，0)， 于是 1， 2， p Ax=0 解向量，而 Ax=0 解向量的秩=n-r(A)，所以 r(B)=r( 1， 2， p)n-r(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 n 维向量13 【正确答案】 1=1=(1，1，1，0) T，【知识模块】 n 维向量14 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=0，按分量写出，有对系数矩阵高斯消元，有当 a=-1 或 a=-2时，r(A)=34，齐次方程组有非零解，向量组线
17、性相关否则线性无关【知识模块】 n 维向量15 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为 对增广矩阵高斯消元，得由于可由 1， 2， 3 线性表出且表示法不唯一，所以方程组有无穷多解，故 r(A)=3，从而 t=4此时，增广矩阵可化为解出 x 3=u，x 2=4-u，x 1=-3u，所以 =3u1+(4-u)2+u3， 【知识模块】 n 维向量16 【正确答案】 m 不能用 m 能否用 1， 2， m-1 线性表示，但能用 m 能否用 1， 2， ， m-1， 线性表示 因为 可用 m 能否用 1， 2， m 线性表示可设 x 11+x22+xmm=， (*)则必有 xm0，否
18、则 可用 1， 2， m-1 线性表示，与已知矛盾所以 m= (-x11-x22-xm-1m-1)，即 m 可由1， 2， m-1， 线性表示 如 m=l11+l22+lm-1m-1，代入(*) 式知=(x1+l1xm)1+(x2+l1xm)2+(xm-1+lm-1xm)m-1 与已知矛盾即 m 不能用21， 2， m-1 线性表示 r( 1， 2， m)=r(1， 2， m，)； (1)又因不能由 1， 2， m-1 线性表示，有 r( 1， 2， m-1)+1=r(1， 2， m-1，) (2)那么 r( 1， 2， m) r(1， 2， m，) r( 1， 2， m-1，) (整体局部)
19、 r(1， 2， m-1)+1 r(1， 2， m) (想一下何时取大于号?何时取等号 ?)从而 r(1， 2， m-1，)=r( 1， 2， m，)，r(1， 2， m-1)+1=r(1， 2， m)，即 m 可 1， 2， m-1， 线性表示，而 m 不能由 1， 2， m-1 线性表示【知识模块】 n 维向量17 【正确答案】 不能因为已知 2， 3， 4 线性无关，那么 2， 3 线性无关，又因 1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表出设 1=l22+l33，如 4 能由1， 2， 3 线性表出，那么 4=k11+k22+k33=(k1l2+k2)2+(k1l3+k
20、3)3， 即 4 可由2， 3 线性表出，则 2， 3， 4 线性相关，与已知矛盾因此， 4 不能用1， 2， 3 线性表出【知识模块】 n 维向量18 【正确答案】 () 1 可由 2， 3， 4 线性表出因 k(1，-1，2，0) T 是相应齐次方程组 Ax=0 的通解，则 (1， 2， 3， 4) =0，即 1-2+23=0，所以 1=2-23+04，即 1 可由 1， 2， 3 线性表出 ( ) 4 不能用 1 可由 1， 2， 3 线性表出如果 4 能用 1 可由 1， 2， 3 线性表出，则 r(1 可由 1， 2， 3)=r(1 可由1， 2， 3， 4)=r(A)由于 Ax=0
21、 的基础解系仅一个向量，于是有 r(A)=n-1=3那么， 1， 2， 3 线性无关，与 1=2-23 相矛盾【试题解析】 从线性方程组的通解可看出相应齐次方程组的通解，亦可得到列向量组的秩及列向量 i 之间的联系【知识模块】 n 维向量19 【正确答案】 (1)(定义法，拆项重组) 若 x1(21+32)+x2(2-3)+x3(1+2+3)=0，整理得(2x 1+x3)1+(3x1+x2+x3)2+(-x2+x3)3=0.由已知条件 1， 2， 3 线性无关，故组合系数必全为 0，即 故齐次方程组只有零解，即 x 1=x2=x3=0因此 21+32， 2-3， 1+2+3 线性无关.(2)(
22、用秩，等价向量组) 令 1=21+32， 2=2-3， 3=1+2+3，则有 1=21-32-33， 2=-1+22+23， 3=-1+2+23，那么，向量组 1， 2， 3 与 1， 2， 3 可互相线性表出，它们是等价向量组，因而有相同的秩，由于 1， 2， 3 线性无关，则r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=3所以， 1， 2， 3 线性无关，即 21+32， 2-3， 1+2+3 线性无关 (3)(用秩) 因为 1， 2， 3 线性无关，知其秩为 3，又(21+32， 2-3， 1+2+23)=(1， 2， 3) 而矩阵 可逆，故r(21+32， 2-3， 1， 2， 3)=r
23、(1， 2， 3)=3【知识模块】 n 维向量20 【正确答案】 (1)(定义法，同乘) 设有常数 l1，l 2，l k，使得 l1+l2A+l kAk-1=0， 用 Ak-1 左乘上式，得 Ak-1(l1+l2Aa+lkAk-1)=0 由Ak=0，知 Ak+1=Ak+2=0 ，从而有 l1Ak-1=0因为 Ak-10，所以 l1=0 类似l2=l3=lk=0，故向量组 ，A，A k-1线性无关 (2)(友证法) 如，A，A 2，A k-1线性相关，则存在不全为 0 的数 l1，l 2，l k，使 l1+l2A+l kAk-1=0 设 l1，l 2，l k 中第一个不为 0 的数是 li，则
24、l iAi-1+li+1Ai+l kAk-1=0 用 Ak-i 左乘上式，利用 Ak=Ak+1=0，得 liAk-1=0 由于 li0，得 Ak-1=0，与已知矛盾【知识模块】 n 维向量21 【正确答案】 (1)(定义法，同乘) 对矩阵 B 按列分块，记 B=(1， 2， n)，若 x11+x22+xnn=0，用分块矩阵可写成用矩阵 A 左乘上式，并代人 AB=E，得X=Ex=ABx=AO=0所以 B 的列向量 1， 2， s 线性无关(2)(用秩) 对于AB=E，把 B 与 E 均按行分块，记作 其中i=(bi1，b i2，b in)是 B 的第 i 行，e i=(0，0，1，0，0)的第
25、 i 个分量为1 用分块矩阵乘法，易见 a111+a122+a1mm=e1，即 e1 可由 1， 2， m 线性表出同理，e 2， en 也均可由 1， 2， m 线性表出 显然，坐标向量e1，e 2，e n 可表示任一个 n 维向量 i=bi1e1+bi2e2+binen于是1， 2， m 与 e1，e 2，e n 可互相线性表出，是等价向量组，有相同的秩所以 r( 1， 2， m)=r(e1，e 2，e n)=n因为，矩阵的秩=行秩= 列秩，由 r(B)=n 知， B 的列向量组线性无关(3)( 用秩) 因为 B 是 mn 矩阵，且 nm，从矩阵秩的定义知：r(B)n又因 r(B)r(AB
26、)=r(E)=n，所以 r(B)=n，那么 B 的列向量组的秩是 n，即其线性无关【知识模块】 n 维向量22 【正确答案】 (定义法，同乘) 若 k11+k22+k33=0，用 A-kE 层左乘有 k 1(A-kE)1+k2(A-kE)2+k3(A-kE)3=0， 即 k 2l1+k3l2=0， 亦即 k21+k32=0 再用 A-kE 左乘，可得 k31=0 由 10，故必有 k3=0，依次往上代人得 k2=0 及 k1=0，所以1， 2， 3 线性无关【试题解析】 对 k11+k22+k33=0，如何证明组合系数 k1=k2=k3=0 呢?要作恒等变形就应仔细分析已知条件，A i 的条件
27、其实就是 (A-kE) 1=0， (A-kE) 2=l1， (A-kE)3=l2【知识模块】 n 维向量23 【正确答案】 (1)令 A=(1， 2， n)，则 D=A TA那么 D=A TA=A TA=A 2可见A0 的充要条件是 D0，即1， 2， 3 线性无关的充要条件是 D0(2) 如 x11+x22+xnn=0，分别用1， 2， n 作内积，有 【试题解析】 要证 n 个 n 维向量线性无关，可利用充要条件 1， 2， n0由于内积(，)=a 1b1+a2b2+anbn=(a1，a 2，a n)=T，对行列式 D 可用分块矩阵恒等变形【知识模块】 n 维向量24 【正确答案】 必要性
28、(反证法) 如 1， 2， ， s 线性相关，则存在不全为 0的数 l1，l 2，l s，使 l 11，l 22，l ss=0 因已知 可由 1， 2， s 线性表出，设为 k11，k 22，k ss，两式相加，可得到 =(k1+l1)1+(k2+l2)2+(ks+ls)s 由于 li 不全为 0，故 k1+l1，k 2+l2， ，k s+ls 与 k1，k 2，k s 是两组不同的数，即 有两种不同的表示法，与已知矛盾 充分性(反证法) 若 有两种不同的表达式，设为 =x 11+x22+xss， =y 11+y22+yss 两式相减，得 (x 1-y1)1+(x2-y2)2+(xs-ys)s
29、=0， 由于 x1-y1， x2-y2，x s-ys 不全为 0(否则是一种表示法)得， 1， 2， s 线性相关，与已知矛盾【知识模块】 n 维向量25 【正确答案】 设有一组数 k1，k 2，k r，l，使得 k11+k22+krr+l=0 (*)成立，则因 =(b1，b 2，b n)T 是齐次线性方程组的解，故有 Ti=0 (i=1，2，r) 对(*)式，左乘T 有 k1T1+k2T2+krTr+lT=0得 lT=0，由于 0，知T= 20，故 l=0 代入(*) 式知 k12+k22+krr=0，由于向量组1， 2， r 线性无关，所以得 k 1=k2=kr=0因此，向量组1， 2， r， 线性无关【试题解析】 因为 =(b1，b 2，b n)T 是齐次方程组的解，故有即 与 i(i=1，2，r)正交，利用几何直观可知i， 2， r， 线性无关【知识模块】 n 维向量
