1、考研数学三（不定积分）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 ( )（A）（B）（C）（D）2 设 I1= 则存在函数 u=u(x)，使( )（A）I 1=I2+x （B） I1=I2 一 x （C） I2=I2-x （D）I 2=I13 设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )（A）（B）（C）（D）4 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x)在闭区间 I 可积，则它在，上一定存在原函数（B）若 f(x)在闭区间 I 上存在原函数，则它在 I 上必可积（C）若 f(x)在闭区间 I 可导，则它一定在，上既可积又存在原函数（
2、D）若 f(x)在闭区间，上除 x0 点外都连续，且 x0 是 f(x)的第一类间断点，则它在，一定存在原函数5 若 f(x)的导数为 sinx，则 f(x)有一个原函数是( ) （A）1+sinx （B） 1 一 sinx （C） 1+cosx （D）1 一 cosx6 设 f(x)为连续函数，且 F(x) 则 f(x)等于( )（A）（B）（C）（D）7 设 其中 f(x)为连续踊数，则 等于( )（A）a 2 （B） a2f(a) （C） 0 （D）不存在8 设 其中 则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续9 设函数 y=y(x)由方程 确定，则
3、=( )（A）2e 2 （B） 2e-2 （C） e2 一 1 （D）e 一 -2 一 110 若函数 f(x)连续，且 则 ( )（A）0（B） f(0)（C）（D）不存在11 下列广义积分中发散的是( )（A）（B）（C）（D）12 下列广义积分中收敛的是( )（A）（B）（C）（D）13 设 f(x)在闭区间0，1上连续，且 f(1 一 x)+f(x)0，则（A）0 （B） 1 （C）（D）二、填空题14 已知 f(2+cosx)=sin2x+tan2x，则 f(x)=_15 设 则16 设17 18 19 曲线 r=3cos，r=1+cos 所围图形的公共部分面积 A=_20 21 设
4、 F(x)= 则22 函数 I(x) 在区间 一 1，1上的最大值为23 设 y=sinx， 0x ，t 为_时，下图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和 S 最小? 24 25 设 f(x) 则26 设 f(x)有一个原函数 则27 28 若 则29 曲线 y=x2 与直线 y=x+2 所围成平面图形的面积为 _30 31 32 14两底面圆半径都是 R 的正圆柱体的轴线垂直相交，则其公共部分的体积为_33 34 匀质的半圆弧 的形心的纵坐标 35 36 曲线 r=1+cos 的全长为_.37 函数 在区间0，2上的平均值为_.考研数学三（不定积分）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每
5、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 原式=【知识模块】 不定积分2 【正确答案】 D【试题解析】 设 u=xex，则上式=【知识模块】 不定积分3 【正确答案】 D【试题解析】 奇函数的原函数必为偶函数对任一函数 f(x)，f(t)+f(-t) 是偶函数，f(t)一 f(一 t)为奇函数，由此即可得到正确的结论设即 F(x)是偶函数， D 是正确的【知识模块】 不定积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在闭区间，上可导知它在闭区间，上连续，而函数在闭区间上连续既是可积的充分条件又是原函数存在的充分条件，故 C 成立【知识模块】 不定积分5
6、 【正确答案】 B【试题解析】 这是由于(1 一 sinx)“本题的题意是求 f(x)的一个原函数 F(x)，它应满足F (x)=f(x),f(x)=sinx，故这四个选项中只有 B 成立【知识模块】 不定积分6 【正确答案】 A【试题解析】 设 f(x)连续，(x)和 (x)可导，则有一般的变限定积分的求导公式于是故应选 A.【知识模块】 定积分的计算及其应用7 【正确答案】 B【试题解析】 解法一 故应选B。解法二 解法三取 f(x)=2，则显然 A、C、D 均不正确，故应选 B【知识模块】 定积分的计算及其应用8 【正确答案】 D【试题解析】 本题有两种方法：一种把 g(x)的表达式求出
7、来后再研究它的有界性，另一种是直接利用已有结论，解法一于是 g(x)分别在0，1)与1，2上连续， 即 g(x)在闭区间0，2上连续，故应选 D 解法二 可直接用已有结论：“若 f(x)在a，b 上可积，于是 g(x) 是a，b上的连续函数”，本题中 f(x)在0，2上可积，于是在(0，2) 上连续，故应选 D【知识模块】 定积分的计算及其应用9 【正确答案】 A【试题解析】 方程两边对 x 求导得： 则 两边再对 x 求导得 当 x=0 时， 所以 y=1，将x=0，y=1 代人 中得 y (0)=e1 将 x=0，y=1 ，y (0)=e 一 1 代入中得 y“(0)=2e2故 A 正确【
8、知识模块】 定积分的计算及其应用10 【正确答案】 C【试题解析】 令 x 一 t=u，则【知识模块】 定积分的计算及其应用11 【正确答案】 A【试题解析】 由计算知 且泊松积分 故应选A【知识模块】 定积分的计算及其应用12 【正确答案】 C【试题解析】 由于 则 收敛，所以应选C【知识模块】 定积分的计算及其应用13 【正确答案】 C【试题解析】 设 I= 则【知识模块】 定积分的计算及其应用二、填空题14 【正确答案】 一 cotxln(sinx)一 cotx 一 x+C【试题解析】 原式=【知识模块】 不定积分15 【正确答案】 【试题解析】 由 两边求导有于是【知识模块】 不定积分
9、16 【正确答案】 【试题解析】 本题有两种思路求解一种是利用 先求出 f(x)，代入再求此积分；另一种思路是在积分 中令 x=sin2t 再将f(sin2x)= 代入该积分求解。解法一由题设的积分知于是令 u=sin2x，则有于是解法二【知识模块】 不定积分17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 不定积分18 【正确答案】 【试题解析】 设 则【知识模块】 不定积分19 【正确答案】 【试题解析】 曲线所围图形如图所示 解方程组 得故【知识模块】 定积分的计算及其应用20 【正确答案】 1【试题解析】 原式【知识模块】 定积分的计算及其应用21 【正确答案】 【试题解析】 直接由变限
10、积分求导计算由变限积分求导公式得【知识模块】 定积分的计算及其应用22 【正确答案】 ln3【试题解析】 令 故得 l(x)的最大值为In3【知识模块】 定积分的计算及其应用23 【正确答案】 【试题解析】 令得 时 S 取最小值【知识模块】 定积分的计算及其应用24 【正确答案】 ln3【试题解析】 原式【知识模块】 定积分的计算及其应用25 【正确答案】 【试题解析】 利用定积分换元法以及分段函数积分法，并利用奇函数在对称区间上定积分为零的性质化简积分，可得【知识模块】 定积分的计算及其应用26 【正确答案】 【试题解析】 此类问题一般用分部积分法，由于 f(x)有一个原函数 ，故从而【知
11、识模块】 定积分的计算及其应用27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分的计算及其应用28 【正确答案】 【试题解析】 本题中 是个常数，只要定出这个数问题就解决了令则 两边从 0 到 1 作定积分得解得【知识模块】 定积分的计算及其应用29 【正确答案】 【试题解析】 令 x2=x+2，解得 x=一 l 和 x=2，故所求面积为【知识模块】 定积分的计算及其应用30 【正确答案】 ln2【试题解析】 本题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘，应该用分部积分法解法一 因为 所以而故原式=In2解法二【知识模块】 定积分的计算及其应用31 【正确答案】 【试题解析】 原式
12、原式【知识模块】 定积分的计算及其应用32 【正确答案】 【试题解析】 用垂直于 x 轴的平面去截其公共部分在图示的部分，截面面积为S(x)【知识模块】 定积分的计算及其应用33 【正确答案】 8(1 一 e-1)【试题解析】 【知识模块】 定积分的计算及其应用34 【正确答案】 2【试题解析】 曲线的参数方程为【知识模块】 定积分的计算及其应用35 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分的计算及其应用36 【正确答案】 8【试题解析】 【知识模块】 定积分的计算及其应用37 【正确答案】 【试题解析】 (S 是圆(x 一 1)2+y2=1 在 x 轴上方部分的面积)【知识模块】 定积分的计算及其应用
