1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在，也不为2 函数 f(x)=xsinx( )（A）当 x时为无穷大（B）在 (一，+)内有界（C）在 (一，+)内无界（D）当 x时有有限极限3 设函数 f(x)在区间一 1， 1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= 的( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）无穷间断点（D）振荡间断点4 设 f(x)可导,f(x)=0,f(0)=2，F(x)= 0xt2f(x3 一 t3)dt 则当
2、x0 时，F(x)是 g(x)的 ( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小5 设 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x0 间断，则在点 x0 处必定间断的函数是( )（A）f(x)sinx （B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）|f(x)|6 设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比( 一1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）47 设 f(x)在 x0 点连续，且在 x0 一空心邻域中有 f(x)0，则( )（A）f(x
3、 0)0（B） f(x0)0（C） f(x0) 0（D）f(x 0)=08 若 ，则 a 等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）39 设 f(x)=ln10x，g(x)=x ，h(x)= ，则当 x 充分大时有( )（A）g(x) h(x)f(x)（B） h(x)g(x)f(x)（C） f(x)g(x)h(x)（D）g(x) f(x)h(x)10 设 f(x)= 则( )11 当 x0 时，用“o(x)” 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 ( )（A）x.o(x 2)=o(x3)（B） o(x).o(x2)=o(x3)（C） o(x2)+o(x2)=o(x2)（D）o(x)
4、+o(x 2)=o(x2)12 函数 f(x)= 的可去间断点的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）313 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶，但非等价无穷小（C） f(x)是比 x 高阶的无穷小（D）f(x)是比 x 低阶的无穷小14 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)15 当 x0 时，e x 一(ax
5、 2+bx+1)是比 x2 高阶的无穷小，则 ( )（A）（B） a=1，b=1（C）（D）a= 一 1，b=1二、填空题16 x表示 x 的最大整数部分，则17 18 19 设函数 f(x)在 x=1 连续，且 f(1)=1，则20 设函数 f(x)= f(x)在(一 ，+)上连续，则A=_21 设 f(x)= ，则 f(x)的间断点为 x=_22 当 x0 时，(x)=kx 2 与 (x)= 是等价无穷小，则k=_23 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_24 25 已知函数 f(x)连续，且 ，则 f(0)=_26 27 28 29 30 三、解答题解答应写出文字说明、证明
6、过程或演算步骤。31 32 求下列极限33 34 35 36 37 38 已知函数 f(x)= (1)求 a 的值；(2)若 x0 时,f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值39 设 f(x)= 求常数 a 与 b 的值，使 f(x)在(一，+)上处处连续40 证明当 0a b 时， bsinb+2cosb+basina+2cosa+a考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，应选 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确
7、答案】 C【试题解析】 由于当 x时,f(x)中含有“” 因子 x，而无确定的零因子，因而f(x)无界，故选 C【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 由已知可得 所以 x=0是函数 g(x)的可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 先改写故选 D【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在 x=x0 连续，则 f(x)=(f(x)+sinx)一 sinx 在 x=x0 连续，与已知矛盾因此 f(x)+sinx 在 x0 必间断故选 B【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 B【试题
8、解析】 因当 x0 时， ，ln(1+x 2)x 2，sinx nx n，故(1 一 cosx)ln(1+x2) 而由(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，知 4n+1 ，即 n3；由 xsinxn 是比( 一 1)高阶的无穷小，知 n+12，即 n1 因此取正整数 n=2，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)在 x0 连续，有 =f(x0)，又因在 x0 的一空心邻域中有f(x)0，由极限的性质有 f(x0)0，故选 B【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 C【试题解析】 所以 a=2【知识模块】 函数
9、、极限、连续9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以当 x 充分大时，h(x)g(x)，又因为所以当 x 充分大时，f(x)g(x) 因此，当 x 充分大时， f(x)g(x)h(x) 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 用推演法将题设条件 f(x)中的所有自变量 x 都用(一 x)替换，得故选 D【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 C【试题解析】 根据已知而 f(0),f(1)无定义，故 x=0，x=1 为可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 B【试题解析】
10、 利用洛必达法则求解【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 C【试题解析】 由导数的定义知 故存在 0，使|x| 时，有 即 x0 时，f(x)f(0)，一 x0 时，f(x)f(0)，故选 C【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 A【试题解析】 显然要使上式为 x2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 故选 A【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题16 【正确答案】 2【试题解析】 由于 所以当 x0 时，2 一 x 当 x0时，2 2-x【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【试题解析】 由洛必达法则及等价无穷小代换可知，【知识模块】 函数、极限、连续18
11、【正确答案】 0【试题解析】 因为 f(x)在( 一，0)及(0，+) 内连续，所以需要确定数 a，使 f(x)在 x=0 处连续 当f(x)在 x=0 处连续，所以 a=0 时,f(x)在(-，+)内连续【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 ln3【试题解析】 由题干可知， 由函数的连续性得【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【试题解析】 令函数 f(x)= 其中 g(x)，h(x)分别在a，x 0，(x0，b是初等函数，因而是连续的因此 f(x)在 x0 连续，所以需 g(x0)=h(x0)对任意常数 A，显然 x1 时 f(x)连续仅当 时 f(x)在 x=1连
12、续因此，当 时,f(x)在( 一，+)上连续【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 0【试题解析】 本题对不同的 x，先用求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点显然当 x=0 时，f(x)=0；故 x=0 为 f(x)的间断点【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知，【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【试题解析】 根据题意，函数 f(x)在 x=0 处连续。则【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【试题解析】 本题为 未定式极限的求解，利用洛必达法则即可【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】
13、 2【试题解析】 所以 f(0)=2【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 0【试题解析】 分子、分母同除以(e x)3 且运用洛必达法则，得【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 (2)由 x4+y22x2|y|可得【知识
14、模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 利用洛必达法则，有【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 根据洛必达法则以及等价无穷小量的替换可得【知识模块】 函数、极限、连续37 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续38 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续39 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续40 【正确答案】 令 f(x)=xsinx+2cosx+x，只需证明 0x 时，f(x)严格单调增加即可f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosxsinx+，f”(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，所以 f(x)严格单调减少又 f()=cos+=0，故 0x 时,f(x) 0，从而 f(x)单调增加，根据 ba 可得f(b)f(a) ，即 bsinb+2cosb+basina+2cosa+a【知识模块】 函数、极限、连续
