1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x)=|xsinx|ecosx，一 x+是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数2 设 f(x)= ，g(x)= 0xsin2(x 一 t)dt，则当 x0 时，g(x)是 f(x)的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶但非等价的无穷小（D）等价无穷小3 设 y=f(x)由 cos(xy)+lny 一 x=1 确定，则 =( )（A）2（B） 1（C）一 1（D）一 24 f(x)在 一 1，1上连续，则 x=0 是函数 g(x
2、)= 的( )（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点二、填空题5 设 f(x)=slnx，f(x)=1 一 x2，则 (x)=_，定义域为_。6 =_7 =_8 =_9 =_10 若 (cosx 一 b)=5，则 a=_，b=_。11 设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f(0)=b，若在 x=0 处连续，则 A=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求13 求14 15 求16 17 18 若19 设 f(x)=0tanxarctat 2dt，g(x)=x 一 sinx，当 x0 时，比较这两个无穷小的关系19 求下列极限：20 21 22
3、23 24 25 26 27 设曲线 y=xn 在点(1，1)处的切线交 x 轴于点( n，0)，求28 设 求 a，b 的值29 设 an= ，证明：(a n)收敛，并求30 讨论函数 的连续性31 设 f(x)= 求 f(x)的间断点并判断其类型考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 A【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题5 【正确答案】 ar
4、csin(1 一 x2)，【试题解析】 (x)=arcsin(1 一 x2)，【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 1；一 4【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 a+b【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连
5、续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 因为 g(x)=x 一 sinx=x 一所以当 x0 时，f(x)= 0tanxarctant2dt 与 g(x)=x 一 sinx 是同阶非等价的无穷小【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答
6、案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 y=x n 在点(1，1) 处的切线方程为 y 一 1=n(x 一 1)，令 y=0 得 =1一 =e 一 2【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 由 ln(1 一 2x+3x2)=(一 2x+3x2)一 +o(x3)=一2x+x2+o(x2)得则 a=2，b+1=2，即 a=2，
7、 b=1【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 显然a n单调增加，现证明：a n3，当 n=1 时，a 1= 3，设 n=k时，a k3，当 n=k+1 时， ak+1= =3由归纳法原理，对一切的自然数 n，有 an3，所以 存在令【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 当 x0 时，函数 f(x)连续，f(0 一 0)=1，f(0)=1，x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 当 x=0 及 x=1 时 f(x)间断由 f(0 一 0)=0，f(0+0)=一得 x=0 为f(x)的第二类间断点，由 f(1 一 0)= 得 x=1 为 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点，同理 x=一 1 也为 f(x)的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续
