1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= =（A）0（B） +（C） -（D）不存在，但也不是 2 设 ，则当 x0 时 f(x)是 x 的（A）等价无穷小（B）二阶无穷小（C）三阶无穷小（D）四阶无穷小3 设 f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)= 则当 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低价无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题4 已知=_5 设 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 判断下列结论是否正确，并证明你的判断()
2、设当 nN 时 xny n，已知极限均存在，则 AB；( )设 f(x)在(a，b)有定义，又存在c(a，b) 使得极限 ，则 f(x)在(a，b)有界；()若 =则存在0使得当 0x-a 时 有界7 设 f(x)= 存在8 设常数 x0，求极限9 求下列极限：10 求下列极限：11 ()设常数 a0，求12 求下列极限 ()f(x)=13 求数列极限14 设15 求数列极限：16 设 f(x)在0，1连续，求17 求下列极限：18 求函数 f(x)= 的可去间断点19 设函数 f(x)= 试补充定义 f(0)使得 f(x)在(-，+)上连续20 设 f(x)= ()若 f(x)处处连续，求
3、a，b 的值；() 若 a，b不是( )中求出的值时 f(x)有何间断点，并指出它的类型21 求下列极限：22 求下列极限：23 求下列极限：24 求下列极限：25 求下列极限：26 求下列极限：27 求考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 故应分左右极限来讨论由于因此应选(D)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，即当 x0 时 f(x)是 x 的三阶无穷小应选(C) 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 C【试题解析】 由等价无
4、穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题4 【正确答案】 2【试题解析】 由题设可知【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 10ln3【试题解析】 利用等价无穷小因子替换的方法求解事实上，当 x0 时极限存在属于 型，又【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 () 不正确令 an=xn-yn，则有 an 0(nN) ，因此=A-B0，即在题设下只能保证 AB，不能保证AB例如， =0.()不正确这时只能保证：存在点 c 的一个空心邻域 U0(c，)=x0x-c，使 f(x)在U0(c，)中
5、有界，一般不能保证 f(x)在(a ，b)有界例如：f(x)= ，(a，b)=(0，1)，取定 c(0，1)，则 在 (0，1)无界()正确因为，由存在极限的函数的局部有界性即知：存在0，使得当 0x-a 时 有界【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 f(0+0)=f(0-0)=1.a.1=a(a0)，由 f(0+0)=f(0-0)，得a=因此，当且仅当 a= 时，存在【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 本题中三个极限都是 1n 型未定式，可用如下方法求解limf(x) g(x)=eA，其中 A=limg(x)f(x)-1【
6、知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 () 注意 x0 时，【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 () 注意：【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 由 用等价无穷小因子替换得【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小.【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 () 存在自然数 k，kM，使()由于x n有界，故，由题()的结论及夹逼定理知【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因 且连续函数 f(x)在0，1存在最大值与最小值，分别记为 M 与
7、m，则【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 () 当 x1 时，t=xlnx0 ，则 xx-1=exlnx-1=et-1t=xlnx，于是用等价无穷小因子替换得 ()利用如下的等价无穷小因子替换：当 x1 时，ln(x 2-2x+2)=ln(x-1)2+1-(x-1)2，【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 函数 f(x)分别在区间(-，0)，(0 ， 1)，(1，+)内连续，从而可去间断点的可疑点为 x=0 与 x=1由于 所以 x=1 为第二类间断点由于 又 在 x=0 处无定义，所以 x=0为可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 由定义可知
8、f(x)分别在(-，0)，(0，+)内连续，又因【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 () 首先求出 f(x)注意到其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在(-，-1) ，(-1 ，1)，(1 ，+) 上连续最后，只需考察函数 f(x)在分界点 x=1 处连续所应满足的条件由于因此 f(x)在 x=1 均连续 故当且仅当 a=0，b=1时 f(x)处处连续 ()当(a，b)(0，1)时，若 a+b=1(则 a-b-1)，则 x=1 是连续点，只有 x=-1 是间断点，且是第一类间断点；若 a-b=-1(则 a+b1)，则 x=-1 是连续点，只有间断点 x=1，且是第一类间断点；
9、若 a-b-1 且 a+b1，则 x=1，x=-1 均是第一类间断点【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 () 恒等变形：分子分母同乘()方法 1恒等变形：分子分母同除以 x，得在 x0 时是较 sinx 高阶的无穷小量，所以在极限的加减运算中可以略去于是有【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 () 属 型根据其特点可先作恒等变形与变量替换后再用洛必达法则求极限()先作恒等变形，并作当 x0 0 时等价无穷小代换()先作恒等变形，并作当 x0 时等价无穷小代换 -1x 2，然后结合极限四则运算法则与洛必达法则即得【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 () 属
10、.0 型可先作恒等变形，然后用等价无穷小因子替换即得()属.0 型化为 型后再直接用洛必达法则求极限都不方便，应先作恒等变形再求解【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 () 属-型先通分化成直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到因此对分母先作等价无穷小因子替换后再甩洛必达法则，并利用 ln(1+x)-x(x0)就有()属-型先作变量替换并转化成 型，然后用洛必达法则【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 本题两个极限都是 1型未定式，可用上面介绍的作法求解因此 w=e-2【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 () 属 00 型其中用了等价无穷小因子替换：ln(1-x) -x(x0)，tantt(t0)【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 属 型先用等价无穷小关系 arctan4xx 4(x0)化简分母后再用洛必达法则得【知识模块】 函数、极限、连续
