1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 =0，其中 a，b 是常数，则（A）a=1 ，b=1（B） a=-1，b=1（C） a=1，b=-1（D）a=1 ，b=12 若当 x0 时 etanx-ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设有定义在(-，+)上的函数：其中在定义域上连续的函数是_；4 设有定义在(-，+)上的函数：以 x=0 为第二类间断点的函数_5 在函数（A）（B） （C） （D） 6 极限（A）等于（B）等于（C）等于 e-6（D）不存在7 设（A
2、）2（B） 4（C） 6（D）88 设 f(x)在 x=a 连续，(x)在 x=a 间断，又 f(a)0，则（A）f(x)在 x=a 处间断（B） f(x)在 x=a 处间断（C） (x)2 在 x=a 处间断（D） 在 x=a 处间断9 “f(x)在点 a 连续”是fx) 在点 a 处连续的( )条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充分必要（D）既非充分又非必要10 设数列x n，y n满足 =0，则下列正确的是（A）若x n发散，则y n必发散（B）若 xn无界，则y n必有界（C）若 xn有界，则y n必为无穷小（D）若 为无穷小，则y n必为无穷小11 f(x)=xsinx（A）
3、在(-，+)内有界（B）当 x 时为无穷大（C）在 (-， +)内无界（D）当 x时有极限12 函数 f(x)= 在下列哪个区间内有界（A）(-1，0)（B） (0，1)（C） (1，2)（D）(2 ，3)13 若当 x时， ，则 a， b，c 的值一定为（A）a=0 ，b=1，c 为任意常数（B） a=0，b=1，c=1（C） a0，b，c 为任意常数（D）a=1 ，b=1，c=014 设 f(x)= ，则下列结论错误的是（A）x=1，x=0 ，x=-1 为间断点（B） x=0 为可去间断点。（C） x=-1 为无穷间断点（D）x=0 为跳跃间断点15 把当 x0 +时的无穷小量 =tanx
4、-x，= 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， （C） ， （D），二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 f(x)在0，+)连续，且满足17 设 f(x)可导，且 f(0)=0f(0)0 ，求 w=18 已知 ，求常数 a0 与 b 的值19 确定常数 a，b，c 的值，使20 设( )f(x)=求f(x)，g(x) 21 求下列数列极限：22 当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n：23 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0 ，若 af(x)+bf(2h)-f(
5、0)当 h0 时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a、b 的值24 试确定 a 和 b 的值，使 f(x)= 有无穷间断点 x=0，有可去间断点x=125 设 f(x)= 试确定常数 a，使 f(x)在 x=0 处右连续26 设 f(x)是在(-，+) 上连续且以 T 为周期的周期函数，求证：方程 f(x)-的闭区间上至少有一个实根27 设 f(x)在(-，+) 连续，存在极限 证明：()设 AB ，则对 (-，+)，使得 f()=；()f(x)在(-，+)上有界考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
6、 C【试题解析】 这是从已知极限值去确定函数式中的待定常数可通过直接计算，导出式中的常数昕满足的方程组，然后解出 a 和 b作为选择题，也可把四个选项中的各组常数值代人，看哪一组常数可以使极限为零，这种解法留给读者自己完成 由得 1-a=0， a+b=0， 即 a=1，b=-1故选(C)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 因为由此可得 n=3故选(C)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意列若 f(x)= 其中 g(x)在(-，0连续，
7、h(x)在0，+)连续因当 x(-， 0时 f(x)=g(x) f(x)在 x=0 左连续若又有 g(0)=h(0)，则 f(x)=h(x)在 x0，+)上成立于是 f(x)在 x=0 右连续因此 f(x)在 x=0 连续 (B)中的函数 g(x)满足：sin x=0=(cosx-1) x=0，又sinx，cosx-1 均连续，故 g(x)在 x=0 连续因此，(B)中的 g(x)在(-，+)连续应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 关于(A) ：由于故 x=0 是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点) 关于(C) ：由于故 x=0 是 h(x)的第一类间断
8、点(可去间断点)已证 (B)中 g(x)在 x=0 连续因此选(D) 我们也可直接考察 (D)由于故 x=0 是 m(x)的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 对于：由于综上分析，应选(D) 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 A【试题解析】 注意到故原极限= ，应选(A)【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 C【试题解析】 由于故选(C)【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 反证法若 在 x=a 连续，由连续函数的四则运算法则可得 (x)= 必在 x=a 连续，与假设 (x)在 x=a 间断矛盾，从而 必
9、在x=a 间断故选(D)【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 B【试题解析】 由f(x)- f(a)f(x)-f(a)可知当 f(x)在 x=a 连续可推知f(x)在 x=a 连续；而由 f(x)= (-，+)成立，从而f(x)在 x=a 连续，但 f(x)却在 x=a 间断 以上讨论表明“f(x)在点 a 连续”是f(x)在点 a 处连续的充分非必要的条件应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件高阶的无穷小量，即(D)正确【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 C【试题解析】 设 xn=n(n=1，2，3，)，则 f(xn)=
10、0(n=1，2，3，)；设 yn=2n+(n=1，2，3 ，) ，则 f(yn)=2n+ (n=1，2，3，)这表明结论(A) ，(B)，(D)都不正确，而(C) 正确【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 A【试题解析】 注意当 x(-1，0)时有这表明 f(x)在(-1，0)内有界故应选(A)【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 C【试题解析】 故应选(C)【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 B【试题解析】 计算可得 由于f(0+0)与 f(0-0)存在但不相等，故 x=0 不是 f(x)的可去间断点应选(B)【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答
11、案】 C【试题解析】 因 即当 x0 +时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除(A) 与(D).又因即当 x0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，可排除(B) ，即应选(C).【知识模块】 函数、极限、连续二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 先作恒等变形转化为求 型未定式，然后用洛必达法则【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 此极限是 型未定式由洛必达法则可得【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 本题是 型未定式用洛必达法则，并结合等价无穷小因子替换可求得 w设 ，当 a0 时 f(x)在 (-，+)上连续；当
12、 a=0 时 f(x)在 x0 有定义，且 ，补充定义 f(0)=0，则 f(x)=xx 在(- ，+)上连续从而，当 a0 时 可导，且用洛必达法则求极限，对 a=0 有由此可见必有a0，这时【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax2+bx+1-e-2x0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 ，故必有 c=0由于故必有 a=4综合得 a=4，b=-2，c=0 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 () 需要对参数 x 用夹逼定理分段进行讨论【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 () 先用等价无穷小因子
13、替换：现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 () x 4-2x2-2x 。 (x0) ，即 x0 时 是x 的 2 阶无穷小，故 n=2 ()(1+tan 2x)sinx-1ln(1+tan 2x)sinx-1+1 =sinxln(1+tan2x)sinxtan 2xx.x 2=x3 (x0)，即当 x0 时(1+tan 2x)sinx-1 是 x 的 3 阶无穷小，故 n=3【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由题设条件知 af(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)=0由于 f(0)0，故必有 a+b-1=0利
14、用 a+b=1 和导数的定义，又有=af(0)+2bf(0)=(a+2b)，f(0)=(1+b)f(0)因 f(0)0，故 1+b=0，即 b=-1于是 a=2，b=-1【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 为使 x=0 为 f(x)的无穷间断点，必须有，因而 a=0，b1将 a=0 代入上面极限式中，为使 x=1 是 f(x)的可去间断点，必须有综合即得 a=0b=e【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 由题意 a=利用当 x0 +时的等价无穷小关系 ln(1-x)-x 可得所以 A=e0=1【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 由 f(x)的周期性，有【
15、试题解析】 考虑辅助函数 F(x)=f(x)-上必有零点【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 利用极限的性质转化为有界区间的情形()由=A 及极限的不等式性质可知， 使得 f(X1)由使得 f(X2) 因 f(x)在X 1，X 2连续，f(X1) f(X 2)，由连续函数介值定理知 (-，+)，使得 f()=() 因 ，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， ，使得当 x(-，X 1)时 f(x)有界； (X 1)，使得当 x(X2，+)时f(x)有界又由有界闭区间上连续函数的有界性定理即可知，f(x)在X 1，X 2上有界因此 f(x)在(-，+)上有界【知识模块】 函数、极限、连续
