1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数( 假设都有意义 )中是奇函数的是 ( )（A）f(x)（B） ff(x)（C） f(x)（D）f(x)2 设 f(x)=sin(cos x)，(x)=cos(sin x)，则在区间 内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数3 设在区间(一，+)内 f(x)0，且当 k 为大于 0 的常数时有 f(x+k)=
2、 ，则在区间(一 ，+)内函数 f(x)是 ( )（A）奇函数（B）偶函数（C）周期函数（D）单调函数4 设 f(x)= 则 ( )5 以下 3 个命题：若数列 un收敛于 A，则其任意子数列 必定收敛于A；若单调数列 xn的某一子数列 收敛于 A，则该数列必定收敛于 A；若数列x 2n与 x2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x) 一 v(x)，并设 都不存在，则下列论断正确的是7 两个无穷小量比较的结果是 ( )（A）同阶（B）高阶（C）低阶（D）不确定8 设数列x n和
3、y n满足 xn.yn=0，则当 n时，y n必为无穷小量的充分条件是( )（A）x n是无穷小量（B） 是无穷小量（C） xn有界（D）x n单调递减9 函数 f(x)=xsinx ( )（A）在(一 ，+)内无界（B）在 (一，+)内有界（C）当 x 时为无穷大（D）当 x时极限存在10 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为 ( )（A）f(x)sin x（B） f(x)+sin x（C） f2(x)（D）|f(x)|二、填空题11 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1
4、)=a，其中 a 为常数若n 为整数，则 f(n)=_12 对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：1 00 x，log 10x100， ，则其中最大的是_13 14 15 16 17 18 19 当 x一 1 时，若有 A(x+1) k，则 A=_，k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 设 f(x)= g(x)=ex，求 fg(x)21 求下列极限：22 求极限23 求极限24 求极限25 求极限26 求极限27 求极限28 设 (cos x 一 b)=5，求 a，b 的值29 确定常数 a 和 b 的值，使30 已知数列x n的通项31 判断命题“ 分段函数一定不
5、是初等函数 ”是否正确，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有g(一 x)=(一 x)=一 (x)=一 (x)=一 g(x)，因此 (x)为奇函数同理可得 f(x)，ff(x)， f(x)均为偶函数答案选(D)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 注意在(0， )内，sin x 是增函数， cos x 是减函数 任取x1，x 2(0， )，且 x1x 2，有 cos x1co
6、s x 2，所以 sin(cos x1)sin(cos x 2)，即 f(x)是减函数；由于 sin x1sin x 2，所以 cos(sin x1)cos(sin x2)，(x)是减函数【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x+2k)=*888=f(x)，故 f(x)是周期函数【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 f(一 x)=【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有 |u n 一 A|，则当 niN 时，恒有 |u ni 一
7、A| ，因此数列 uni也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n单调增加，即 x 1x2x n，其中某一给定子数列 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有 | 一 A| 由于数列xn为单调增加的数列，对于任意的 nN*(其中 N*为子列 下标大于 N 的最小值)，必定存在 ninni+1，有一 xn 一 A ，从而 |x n 一A|可知数列 xn收敛于 A 同理可证，当数列x n单调减少时，结论仍成立因此命题正确对于命题，因 由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2： 当 2nN 1 时，恒有 |x 2n 一 A| ； 当2
8、n+1N 2 时，恒有 |x 2n+1 一 A| 取 N=maxN1，N 2，则当 nN 时，总有 |x n一 A| ，因此 =A可知命题正确 故答案选择(D)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 令 u(x)= 当 x0 时可排除(A)；令 u(x)=v(x)= 当 x0时可排除(B) ；令 u(x)= 当 x0 时可排除(D)；对于(C) ，利用反证法假设 存在，由题意可知 u(x)=存在，与已知矛盾【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 如 (x)= 当 x0 时，都是无穷小量但不存在，故 (x)和 (x)无法比较阶的高低【知识模块】 微积分8 【正确答案】
9、 B【试题解析】 若 ，故(B)正确若取且当 n时，x n是无穷小量、有界量、单调递减，但y n不是无穷小量，排除(A)，(C)， (D)【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 对于任意给定的正数 M，总存在点 xn= ，使|f(x n)|= 故 f(x)在(一 ，+) 内无界(C)错，因为对于任意给定的正数M，无论 x 取多么大的正数，总有 xn=|2n|x(只要|n| )，使 f(xn)=xnsinxn=0M，故当 x时 f(x)不是无穷大千万不要将无穷大与无界混为一谈【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sin x 在点 x0 处连续，则 f
10、(x)=f(x)+sin x一 sin x 在点 x0 处也连续，与已知矛盾【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=一 1，则 f(1)=f(一 1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一 f(一 1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na令 x=0，则
11、f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0.a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n有f(n)=一 f(一 n)=一(一 na)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系 ex xln x，其中 ，0，故本题填【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】
12、微积分18 【正确答案】 e 6【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 当 x一 1 时，【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由 fg(x)= 得到 fg(x)=【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)当 x0 时，tan xx，*(2)当 x0 时，sin xx，e xe-x=e-x(e2x 一 1)2x，故原极限=2(3)当 x00 时，ln(1+x 4)x 4，。故原极限=(4)这是“1 ”型未定式极限，可用公式来计算(事实上，lnu=ln1+(u 一 1)u 一 1(u1)故原式=【知识模块】 微积
13、分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为 x0 时，而【知识模块】 微积分24 【正确答案】 为了在使用洛必达法则时求导变得简单，先做变量代换，令从而【知识模块】 微积分25 【正确答案】 此题为 型未定式，若用洛必达法则，则连续使用两次洛必达法则，又回到了起点，该法则失效，正确的做法是先对式子施以恒等变形分子分母同乘 e-x，于是【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 设函数 y=sint，其在 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，有【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所以 b=一 4【知识模块】 微积分29 【正确答案】
14、 ln(1+x)= ，于是 ln(12x+3x2)=一 2x+3x2 一 (一2x+3x2)2+(x2)=一 2x+x2+(x2)，代入即得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=|x|，通常写成分段函数的形式|x|= 但也可以写成一个表达式 (x)= 所以函数 (x)=|x|是分段函数也是初等函数而sgn x= 则不是初等函数【知识模块】 微积分
