1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 在下列哪个区间内有界( )（A）(一 1，0) （B） (0，1) （C） (1，2)（D）(2 ，3)2 设函数 f(x)=x.tanx.emin，则 f(x)是( )（A）偶函数 （B）无界函数 （C）周期函数 （D）单调函数3 设x n是无界数列，则下列结论中正确的是( )（A）若y n是有界数列，则x n 一 yn一定是无界数列（B）若 yn是无界数列，则x nyn一定是无界数列（C）若 yn是有界数列，则x nyn一定是无界数列（D）若y n是无界数列，则x
2、 n+yn必是无界数列4 下列各式中正确的是( )（A）（B）（C）（D）5 命题f(x)，g(x)在 xn 点的某邻域内都无界，则 f(x)，g(x)在 xn 点的该邻域内一定无界；limf(x)=，limg(x)= ，则 limf(x)g(x)=；f(x)及 g(x)在 xn 点的某邻域内均有界，则 f(x)，g(x) 在 xo 的该邻域内一定有界； f(x)，g(x)是当 xx n 的无穷小量，则 xx o 时 f(x)和 g(x)中至少有一个是无穷小最 ”中正确的是( )（A） （B） （C） （D）6 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 2 （B）等于 0 （C）为 （D）不
3、存在但不为7 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)比 x 更高阶的无穷小 （D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小8 当 x时，下列四个无穷小量中，( )是比其他三个更高阶的无穷小量，（A）x 2 （B） 1 一 cosx （C）（D）xtanx9 设 f(x)满足 ，当 x0 时，Incosx 2 是比 xnf(x)高阶的无穷小量，而xnf(x)是比 esin2x 一 1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1 （B） 2（C） 3（D）410 设对任意的 x，总有 (x)f(
4、x)g(x)，且 limg(x)一 (x)=0，则 limf(x)( )（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在11 若 ，则( )（A）a=b ，b0，c、d 不同时为 0 （B） ab，6=0，c 、d 为任意常数（C） c=0，d0，a 、b 为任意常数 （D）c0 ，d=0，a、b 为任意常数12 设a n，b n，c n均为非负数列，且 ，则必有( )（A）a nn 对任意 n 成立 （B） bnn 对任意 n 成立（C）极限 不存在 （D）极限 不存在13 设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )（A）当 时，必有（B）当 存在时，必有
5、（C）当 时，必有（D）当 存在时，必有14 下列函数在其定义域内连续的是( )（A）f(x)=lnx+sinx（B）（C）（D）15 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，Rf (0)存在，则函数 g(x)= ( )（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=016 设 讨论函数 f(x)的间断点，其结论为( )（A）不存在间断点（B）存在间断点 x=1（C）存在间断点 x=0（D）存在间断点 x=一 117 设 f(x)在(-，+) 内有定义，且 则( )。（A）x=0 必是 g(x)的第一类间断点（B） x=0 必是 g(
6、x)的第二类间断点（C） x=0 必是 g(x)的连续点（D）g(x)在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关18 函数 在点 x=0 处( ) 。（A）不可导且 f(0) （B）不可导且 f(0)=（C）可导且 f(0)=0 （D）可导且 f(0)=二、填空题19 20 21 ，其中 n 为给定的自然数22 若 则 a=_，b=_23 24 已知 则25 则 a=_.26 27 极限28 已知当 x0 时，(1+ax 2) 一 1 与 cosx 一 1 是等价无穷小，则常数 a=_.29 设 ，则30 考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中
7、，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由函数 f(x)的表达式知，它在实数轴上除点 x=0，x=1 及 x=2 外处处有定义，在它的定义域上有由此可f(x)在区间( 一 1，0)内有界，而在任何以 x=1 或 x=2 为端点的开区间内无界，故应选(A)【知识模块】 函数、极限与连续2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 ，故 f(x)无界，或考察 f(x)在 xn=的函数值，有 ，可见 f(x)是无界函数，故应选 B【知识模块】 函数、极限与连续3 【正确答案】 A【试题解析】 则 xn、y n都无界，但 xn.yn=0，x nyn有界，故 B 不正确若设 yn=0，名
8、。如，则 yn有界，x n.yn=0，x nyn有界，故 C 不正确 xn=n，y n=n，x n和 yn都无界，但 xn+yn=0， xn+yn有界，故 D 不正确【知识模块】 函数、极限与连续4 【正确答案】 A【试题解析】 由 ，应选 A，这里应注意 【知识模块】 函数、极限与连续5 【正确答案】 B【试题解析】 则 f(x)g(x)=0，当 x时，f(x)g(x)0，但 x时，f(x)及 g(x)都不是无穷小，命题不正确；且本例中 f(x)及 g(x)在 x=0 的任何邻域内都无界，但 f(x)g(x)=0，在与前相同的邻域内有界，即命题不正确【知识模块】 函数、极限与连续6 【正确答
9、案】 D【试题解析】 ，当 x1 时函数没有极限，也不是，故应选 D【知识模块】 函数、极限与连续7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 且 In2+In31，所以应 选 B【知识模块】 函数、极限与连续8 【正确答案】 D【试题解析】 是于 x0 时， ，故 x2，是同阶无穷小，可见应选 D【知识模块】 函数、极限与连续9 【正确答案】 A【试题解析】 由 知，当 x0 时，f(x)=-x 2，于是 x2f(x)一 xn+2又当x0 时，lncosx 2=ln1+(cos2 一 1)一 cos2 一 1一 x4再根据题设有：2【知识模块】 函数、极限与连续10 【正确答案】 D【试题解析】
10、用排除法令 显然 (x)f(x)g(x)且 此时 =1 故 A 和 C 都不正确为排除 B，再令 ，显然 (z)，f(x)，g(x) 满足题设全部条件，但 ，故应选 D【知识模块】 函数、极限与连续11 【正确答案】 A【试题解析】 原式： 当 a0时，原式0，故选 A【知识模块】 函数、极限与连续12 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 显然不对，因为由数列极限的不等式性质只能得出数列 “当 n充分大时”的情况，不可能得出“对任意 n 成立”的性质C 也明显不对，因为“无穷小.无穷大”是未定型，极限可能存在也可能不存在故应选 D【知识模块】 函数、极限与连续13 【正确答案】 B【试题解析
11、】 排除法由于当 x+时 f(x)0 可能是无穷振荡的， f(x)可能没有极限，如 ，f (x)=一 +2cosx2，则 ，但 不存在故 A 不对；例如 f(x)=sinx0(x0 +)，但 f(x)=cosx10，故 C、D 不对应选 B【知识模块】 函数、极限与连续14 【正确答案】 A【试题解析】 由基本初等函数的连续性及连续函数的四则运算法则知 f(x)=lnx+sinx 在其定义域 0x+内连续，故应选 A【知识模块】 函数、极限与连续15 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)是奇函数有 f(0)=0又因为 f(0)存在，所以又因为 x=0 是 g(x)的间断点，且，所以 x=
12、0 是 g(x)的可去间断点故应选 D。【知识模块】 函数、极限与连续16 【正确答案】 B【试题解析】 易计算得 讨论即知由题设得极限为可知 x=一 1，x=1 为函数的分段点。作为函数图形可知 x=1为 f(x)的间断点，x=一 1 为 f(x)的连续点，因此应选 B。【知识模块】 函数、极限与连续17 【正确答案】 D【试题解析】 因为 从而，当 a=0=g(0)时 g(x)在点x=0 处连续，当 a0 时 g(x)在点 x=0 处间断，即 g(x)在点 x=0 处的连续性与 n 的取值有关，故应选 D【知识模块】 函数、极限与连续18 【正确答案】 C【试题解析】 即 f(0)=0【知
13、识模块】 导数与微分二、填空题19 【正确答案】 【试题解析】 原式【知识模块】 函数、极限与连续20 【正确答案】 e【试题解析】 解法一 又故原式=e解法二 设 ，则当 x时，u0 ，于是原式= 而由洛必达法则，得 故原式：e【知识模块】 函数、极限与连续21 【正确答案】 【试题解析】 此极限是 l型未定式解法一其中大括号内的极限是 型未定式，因此由洛必达法则，有 于是原式： 解法二 由于又因故原式【知识模块】 函数、极限与连续22 【正确答案】 1，-4【试题解析】 不难得出 从而，则必须且只需 a=1，1 一 b=5，即 a=1，b=-4 【知识模块】 函数、极限与连续23 【正确答案】 【试题解析】 解法一解法二【知识模块】 函数、极限与连续24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续25 【正确答案】 16【试题解析】 故 a=16【知识模块】 函数、极限与连续26 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续27 【正确答案】 2【试题解析】 原式【知识模块】 函数、极限与连续28 【正确答案】 【试题解析】 由 ，以及可得【知识模块】 函数、极限与连续29 【正确答案】 【试题解析】 由于 利用等价无穷小代换，有 于是，原式【知识模块】 函数、极限与连续30 【正确答案】 4e -1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限与连续
