1、考研数学三（导数与微分）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=3x3+x2x，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为( )（A）0 （B） 1 （C） 2（D）32 由 所确定的函数 y=y(x)的图形在(0，1)内( )（A）单调下降且向下凹 （B）单调下降且向上凹（C）单调上升且向下凹 （D）单调上升且向上凹3 已知 f(x)在(-， 内具有二阶导数，且 ，f n(x)0，则( )（A）在(-，0)内 f(x)x，在(0，) 内 f(x)x（C）在 (-，)内 f(x)x4 已知函数 f(x)在区间(1 ，1+)内具有
2、二阶导数，f “(x)(1)=1，则( )（A）在(1 ，1) 和(1，1+)内均有 f(x)x（C）在 (1，1)内 f(x)x（D）在(1 ，1) 内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)0，则( )（A）当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点（B）当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极小值点（C）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极火值点（D）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点6 若 3a2 一 5b5+2ax3+3bx+4c=0( )（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同的实根 （D）有五个不同的实根7 已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f
3、(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f“(x)是( )（A）n!f(x) n+1 （B） nf(x)n+1（C） f(x)2n （D）n!f(x) 2n8 已知 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，且 f(0)=0， 则在点 x=0 处 f(x)( )（A）不可导 （B）可导，且，f (0)0（C）取得极大值 （D）取得极小值9 设函数 f(u)可导，y=f(x 2)当自变量 x 在 x=一 1 处取得增量 x=-01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)=( )（A）一 1 （B） 01 （C） 1 （D）0510 若对一切 x(
4、0，+)，函数 f(x)的一、二阶导数均存在，且有 ，则对任意正常数 a，必有( )（A）（B）（C）（D） 不存在11 设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为极大值，则存在 0，当 x(a一 ，a+)时，必有 ( )（A）(x 一 a)f(x)一 f(a)0 （B） (xa)f(x)一 f(a)0（C）（D）12 设 y=f(x)是微分方程 y“+y“一 esinx=0 的解，且 f(x0)=0，则 f(x)在( )（A）x 0 的某邻域内单调增加 （B） x0 的某邻域内单调减少（C） x0 处取极小值 （D）x 0 处取极大值13 设函数 f(x)在点 x=a 处可
5、导，则甬数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（A）f(a)=0 且 f(a)=0 （B） f(a)=0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0 （D）f(a) (a)14 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中(a，b)为非零常数，则( ) （A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab15 若 f(一 x)=f(x)(一 (x)0，f “(x)（A）f (x)0，f “(x
6、)（B） f(x)0，f “(x)0（C） f(x)“(x)（D）f (x)(x)016 设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（A）当 f(a).f(b)()=0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)一 f(b)；fsup()(ba)17 设 f(x)=x(1 一 x)，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)不是
7、曲线 y=f(x)的拐点18 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f (b)（A）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a， b)，使得 f(x0)(b)（C）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=019 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4， ，则曲线 y=f(x)在(5，f(5)点处的切线斜率为( )（A） （B） 0 （C）一 1 （D）一 220 设函数 157 则 f(x)在 x=0 处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续（C）连续但不可导 （
8、D）可导21 若 f(x)在(a，b)内可导且 a12（A）f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)(a（B） f(b)一 f(x1)=f()(b 一 x1)(x1（C） fx2)一 f(x1)=f()(x2 一 x1)(x12)（D）fx 2)一 f(a)=f()(x2 一 a)(a2)22 设函数 f(x)在(一，+)内连续，在(一 ，0)( 一，0)u(0，+) 内可导，函数=y(x)的图像为 则其导函数的图像为( )（A）（B）（C）（D）23 设 f(x)在 x=0 处二阶可导， 且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值 （B） f(0)是 f(x)的极大值（C
9、） f(0)不是 f(x)的极值 （D）不能确定 f(x)在 x=0 处是否取得极值24 若函数 y=f(x)有 f(x0)= ，则当x0 时，该函数在 x=x0 点外的微分 dy 是( )（A）与x 等价的无穷小 （B）与 x 同阶的无穷小（C）经 x 低阶的无穷小 （D）比x 高阶的无穷小25 若函数 f(x)存在二阶导数，且其一阶导数的图形如图所示，则曲线 y=f(x)的拐点个数为( ) （A）0 （B） 1（C） 2 （D）326 设函数 y=f(x)在(一，+)内连续，在(一，0)U(0 ，+)内二阶可导，其导函数的图像如右图，则 y=f(x)在(一 oo，+)内( ) （A）有两个
10、极大值，一个极小值，两个拐点（B）有两个极大值，一个极小值，一个拐点（C）有一个极大值，一个极小值，两个拐点（D）有一个极大值，一个极小值，一个拐点27 若函数 f(x)及 g(C)在(一 ，+)内都可导，且 f(x)g(一 x) （B） f(x)(x)（C）（D）28 若 f(x)在 x=0 点有二阶连续导数，且 x0 时(x)一 x 与 x 一 sinx 等价，则( )（A）f (0)=1，f “(0)=0 （B） f(o)=0，f “(0)=0（C） f(0)=0，f “(0)=1 （D）f (0)=1，f “(0)=1二、填空题29 若 又 f(x)在 x=0 处可导，则30 设函数
11、y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则31 已知 g(x)是微分方程 g(x)+sinx.g(x)=cosx 满足初始条件 g(0)=0 的解，则=_.32 设33 设 且 f(0)0，则34 设函数 y=y(x)由参数方程 x=t 一 In(1+t)，y=t 3+t2 所确定，则35 设 f(x)有连续的导数，f (0)=b，若函数 在 x=0 处连续，则常数 A=_36 设 f(x)=zex，则f (n)(x)在 x=_处取极小值_37 设38 已知 则39 设方程 exy+Y2=cosx 确定 y 的 x 的函数，则40 曲线 y=x+sin2x 在点 处的切线方程是
12、_.41 已知曲线 y=x3 一 3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为 b2=_42 设方程 x=yy 确定 y 是 x 的函数，则 dy=_43 设曲线 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 都通过点(一 1，0)，且在点( 一 1，0)有公切线，则 a=_，b=_，c=_44 设 则 y=_45 函数 y=y(x)由方程 所确定，则46 设函数 y=(x1)x2/3，则函数极值点为_47 若方程 x3+3x2=18x+a=0 恰有三个实根，则 a 的范围是 _48 设 则49 曲线 在点 处的曲率半径 R=_.考研数学三（导数与微分）模拟试卷 1 答案与解
13、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因 3x3 处处任意阶可导，只需考查 x2x ，它是分段函数，x=0 是连接点。 又 +(0)=(x3)=(x3)= x=0=0， -(0)=(一 x3) x=0=0 (0)=0；即 同理可得即 因 y=x在 x=0 不可导 m(0)不存在，应选 C.【知识模块】 导数与微分2 【正确答案】 B【试题解析】 当 时，x(0，1) ，故选 B。【知识模块】 导数与微分3 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 知，f(0)=0，f (0)=1令 F(x)=f(x)-x，则 F(x)=f(x)一 1，F
14、 n(x)=fn(x)0,于是 F(x)在(一 ，) 内单调增加，且 F(0)=0,当 x-，0)时，F(x)(0)=0；当 x(0，)时， F(x)F(0)=0可见 F(x)在点 x=0 处取极小值，也即最小值，从而有 F(x)F(0)=0，即 f(x)x，x(一 ，)，故应选 D.【知识模块】 导数与微分4 【正确答案】 A【试题解析】 设 (x)=f(x)一 x，则 (x)=f(x)-f， “(x)=f“(x),由 f“(x)“(x)(x)单调减少，则当 x(x)f(1)=f(1)一 1=0，当 xl，时 (x)(1)=0则 (x)在 x=1 处取得极大值，当 x(1，1)U(1，1+)
15、时 (x)【知识模块】 导数与微分5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 (由题设 f(0)=f(0)=f(n)(0)=0)所以当x很小时，f(x)一 f(0)与 同号，而 fn+1(0)0 当 n 为偶数时， 在 x=0 点两侧异号， x=0,不是极值点；当n 为奇数时，在 x=0 两侧均有 ，即 f(x)f(0)，亦即 x=0 为f(x)的极小值点.因此选 D【知识模块】 导数与微分6 【正确答案】 B【试题解析】 设 f(x)=x5+2ax3+3bx+4c，则 f(x)=5x4+6ax2+3b=5(x2)2+6a(x2)+3b，由于(6a) 2 一 4.5.3b=12(3a2 一 5b)
16、(x)=0 无实根又 ，于是 f(x)0根据连续函数的介值定理及 f(x)的严格单调增加性质，知 f(x)有唯一零点，即方程 f(x)=0 有唯一实根【知识模块】 导数与微分7 【正确答案】 A【试题解析】 为方便记 y=(x),由 y=y2，逐次求导得：y“=2yy=2y3，y “=3!y2y=3!y4，归纳可证 y(n)=n!yn+1，应选 A【知识模块】 导数与微分8 【正确答案】 D【试题解析】 利用极限的同号性可以判定 f(x)的正负号：(在 x=0 的某空心邻域 )；由 1-cosx0，有，f(x)0，即f(x)在 x=0 取极小值，应选 D【知识模块】 导数与微分9 【正确答案】
17、 D【试题解析】 函数微分的函数增量的线性主部所以本题就是已知微分值、自变量 x 的增量，反过来求函数的导数值 f(1)因为 dy=f(x2)dx2=2xf(x2)dx，所以得01= 一 2f(1)(一 01)即 f(1)=05，D 是正确的【知识模块】 导数与微分10 【正确答案】 B【试题解析】 因 故，即 【知识模块】 导数与微分11 【正确答案】 C【试题解析】 ，知必 f(x)0，使 x(a，a+) 时f(x)一 f(x)0，即 从而【知识模块】 导数与微分12 【正确答案】 C【试题解析】 实质是 f“(x0)的取值的正负情况，代人微分方程即得将 f(x)代人方程有 f“(x)+f
18、“(x)一 eminx=0将 x=x0 代入上式，有 f“(x0)=esinx0f(x0)=esinx00 故 f(x)在x=x0 处取极小值，故 C 入选。【知识模块】 导数与微分13 【正确答案】 B【试题解析】 因为函数 f(x)在点 x=a 处可导，故 f(x)必在点 x=a 处连续，由此可知，若 f(a)0，则存在点 x=a 的一个邻域，使 f(x)在该邻域内与 f(a)同号，从而在该领域内f(x)或恒等于 f(x)或恒等于一 f(x)，即f(x)在点 x=a 处必可导，可见C，D 不正确为了判定选项 A 还是选项 B 正确，可采用举例法：设 f(x)=x2，a=0，f(x)满足 f
19、(0)=f(0)=0，但是f(x) =f(x)=x 2 在点 x=0 处可导，可见 A 不正确，从而应选 B.【知识模块】 导数与微分14 【正确答案】 D【试题解析】 通过变量代换 t=x+1 或按定义南关系式 f(x+1)=af(1)将 f(x)在 x=1 的可导性与 f(x)在 x=0 的可导性联系起来令 t=x+1，则 f(t)=af(t1)，由复合函数可导性及求导法则知，f(t)在 t=1 可导且 f(t) t=1=af(t1)(t 一 1) t=1=af(0)=ab，因此，应选 D或按定义【知识模块】 导数与微分15 【正确答案】 C【试题解析】 解法一 由 f(一 x)=f(x)
20、(一 (x)0 且 f“(x)(一 x)=f(x)，f “(一 x)=f“(x)当 x(0，+)时，一 x(一 ，0)，此时由题设知 f(一 x)“(一 x)，故 fsup(x)“(x)2，易验证 f(x)符合原题条件，计算可知 A、B、D 三个选项均不正确，故应选C解法四 由题设可知， (x)是一个二阶可导的偶函数，从而 fsup(x)为奇函数，fsup“(x)为偶函数，因在(一，0) 内 fsup(x)0，fsup“(x)(x)“(x)【知识模块】 导数与微分16 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在(a ，b) 内呵导， (a，b)则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故 所
21、以应选 B注意本题也可用排除法求解例如：由函数 可知结论 A 不正确，由函数 可知结论 C和 D 都不正确【知识模块】 导数与微分17 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)是(一，+) 上的连续函数，在 内有表达式于是即 x=0 是 f(x)的极小值点，(0 ，0)是曲线 y=f(x)的拐点故应选 C【知识模块】 导数与微分18 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)=2 一 x2，b=一 1，b=1 ，则 f(x)=一 2x 在n，b=一 1，1上连续，且 f(a)=f(一 1)=20，f (b)=f(1)=一 20(a，b)=(一 1，1)都使 f(x0)0 这表明结论 D 是错误的
22、，故应选 D由极限的保号性质及导数的定义知，从可得，存在 x0(a，b)，使得 即 f(x0)f(a)，这表明结论 A 正确，类似可证结论 B 正确由闭区上连续函灵敏的介值定理可知结论 C 正确【知识模块】 导数与微分19 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 f(x)在( 一，+) 内可导，且 f(x)=f(x+4)，两边对 x 求导，得f 156 故 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 f【知识模块】 导数与微分20 【正确答案】 C【试题解析】 由于当 x0 时 sin 为有界变量， 为无穷小量，故于是 f(x)在 x=0 处连续，从而 A、B 不正确又因为 不存在，即 f(x
23、)在 x=0 处不可导，所以应选 C【知识模块】 导数与微分21 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在(a，b) 内可导知，f(x) 在x 1，x 2上连续，在(x 1,x2)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在一点 ，使 f(x2)一 f(x1)=f()(x2 一 x1)，x 12 所以应选C因为由 f(x)在(a，b)内可导知，f(x) 在a，b，x 1，b，a ，x 2上连续，从而f(x)在a，b，x 1，b，a，x 2上未必满足拉格朗日中值定理条件，即 A、B、D 均不正确，故应选 C【知识模块】 导数与微分22 【正确答案】 B【试题解析】 由于函数可导(除 x=0)且取得两个
24、极值，故函数有两个驻点，即导函数图象与 x 轴有且仅有两个交点故 A、C 不正确又由函数图象，极大值点应小于极小值点，故 D 不正确【知识模块】 导数与微分23 【正确答案】 A【试题解析】 由故 f(x)在 x=0 处取极小值【知识模块】 导数与微分24 【正确答案】 B【试题解析】 由导数与微分的关系 dy，是与x 同阶且不等价的无穷小，应选 B【知识模块】 导数与微分25 【正确答案】 C【试题解析】 因为导函数有三个零点，所以由罗尔定理和 f(x)的图象知有且仅有两点 12，使 f“(1)=f“(2)=0，且在 1 的左边近旁， “(x)单调增加，所以 f“(x)0；在 1 的右边近旁
25、，f (x)单调减少，故 f“(x)1，f( 1)为曲线的一个拐点，同理(2，f( 2)是曲线的另一拐点【知识模块】 导数与微分26 【正确答案】 A【试题解析】 导函数图象与 x 轴有三个交点，故有三个驻点由第一充分条件知函数在三个驻点处从左至右依次取极大、极小、极大值由于 f“(x)有一个零点和一个不存在的点(x=0)，根据已知图形中 f(x)的单调性知在这两个点的左、右 f“(x)异号，而 f(x)在(一，+) 内连续，所以函数图象有两个拐点【知识模块】 导数与微分27 【正确答案】 C【试题解析】 因 x(一，+) 时均有 f(x)(x)=0，g(x)=2 ，显然它们满足题设条件，但f
26、 (x)=g(x)=0排除 Bf(x) 及 g(x)同，但排除 D【知识模块】 导数与微分28 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且f(0)=1，f “(0)=0【知识模块】 导数与微分二、填空题29 【正确答案】 0【试题解析】 而【知识模块】 导数与微分30 【正确答案】 【试题解析】 方程两边对 x 求导得 ex+y(1+y)一 sin(xy)(xy+y)=0，解得【知识模块】 导数与微分31 【正确答案】 1【试题解析】 因为 而由 g(x)+sinx.g(x)=cosx 知 g(0)=1，故【知识模块】 导数与微分32 【正确答案】 【试题解析】 由参
27、数式求导公式得 再对 x 求导，由复合函数求导法得【知识模块】 导数与微分33 【正确答案】 3【试题解析】 且 f(0)0【知识模块】 导数与微分34 【正确答案】 (6t+5)(t+1)t【试题解析】 由参数方程求法则 有所以【知识模块】 导数与微分35 【正确答案】 b+a【试题解析】 由于 F(x)在 x=0 连续，故【知识模块】 导数与微分36 【正确答案】 【试题解析】 利用直接求导数和数学归纳法町知，f (n)(x)=(n+x)ex，f (n+1)(x)=(n+1+x)ex，f n+2(x)=(n+2+x)ex 令 f(n+1)(x)=0，解得 f(n)(x)的驻点是戈=一(n+
28、1)又f(n+2)一(n+1)=e -(n+1)0，故 x=一(n+1)为 f(n)(x)的极小值点，极小值为【知识模块】 导数与微分37 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分38 【正确答案】 【试题解析】 令 则有 由复合函数求导法则知【知识模块】 导数与微分39 【正确答案】 【试题解析】 将方程 exy+y2=cosx 看成关于戈的恒等式，两边对 x 求导，得exy(y+xy)=-sinx 解得【知识模块】 导数与微分40 【正确答案】 y=x+1【试题解析】 因 y=1+2sinxcosx。从而 故该曲线在点 处的切线方程是 即 y=x+1【知识模块】 导数与微分41
29、 【正确答案】 4a 6【试题解析】 y (x)=3x2 一 3a2，令 y(x)=0 有 x=a 或 x=一 a由题设有 a3 一3a2x+b=0 或一 a3+3a3+b=0，所以 b=2a3 或 b=一 2a3，即 b2=4a6【知识模块】 导数与微分42 【正确答案】 【试题解析】 方程 x=yy 两边取对数得 lnx=lny，由此两边再求微分，即得不难解出【知识模块】 导数与微分43 【正确答案】 a=一 1，b=一 1，c=1【试题解析】 由于曲线 f(x)和 g(x)都通过(一 1，0)，故 0=一 1a，0=b+c，即 a=一 1，b+c=0 又曲线 f(x)和 g(x)在点(
30、一 1，0)有公切线，故 f(一 1)=(3x2+a) x=-1=3+x=g(一 1)=2bx x=-1=一 2b，即 3+a=一 2b 由此不难得出 a=一 1,b=一 1,c=1【知识模块】 导数与微分44 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分45 【正确答案】 2(x 2+y2)(xy) 3【试题解析】 已知等式两边同时取以 e 为底的对数得 两边对x 求导得 即 x+yy=xy一 y，解得再两边对 x 求导后将 代入得【知识模块】 导数与微分46 【正确答案】 【试题解析】 令 y=0 得 当 x=0 时，y 不存在在 x=0, 点左右近旁 y异号，故 x=0 和 是函数的极值点【知识模块】 导数与微分47 【正确答案】 (一 54，14)【试题解析】 设 f(x)=x3+3x2 一 18x+a，则 且 f(x)=3x2+6x 一 18=3(x2+2x 一 3)=2(x 一 1)(x+3)解 f(x)=0 得 x=1、x=一 3 为驻点f “(x)=6x+6， f“(1)=120f(1)=一 14 为极小值f “(一 3)=一 120 且 f(1)【知识模块】 导数与微分48 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分49 【正确答案】 【试题解析】 在点 处从而【知识模块】 导数与微分
