1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“一 4y=e2x+x 的特解形式为( )（A）ae 2x+bx+c（B） ax2e2x+bx+c（C） axe2x+bx2+cx（D）axe 2x+bx+c2 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y1=ex，y 2=2xex，y 3=3e 一 x，则该微分方程为( )（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“+2y“一 y一 2y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=03 设 1(x)， 2(x)为一阶非齐次线性微分方
2、程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( ) （A）C 1(x)+2(x)（B） C1(x)一 2(x)（C） C1(x)一 2(x)+2(x)（D） 1(x)一 2(x)+C2(x)二、填空题4 设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程y“一 6y+9y=e3x，则 y(x)=_5 微分方程 2y“=3y2 满足初始条件 y(一 2)=1，y(一 2)=1 的特解为_6 微分方程 xy= 的通解为_7 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e 一 4x+x2+3x+2，则Q(x)=
3、_，该微分方程的通解为_8 以 y=C1e 一 2x+C2ex+cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_9 设 y“一 3y+ay=一 5e 一 x 的特解形式为 Axe 一 x，则其通解为_10 设 f(x)连续，且f(x)+xf(xt)clt=1，则 f(x)=_11 差分方程 yx+1+2yx=5x2 的通解为_12 差分方程 yx+1 一 yx=x2x 的通解为_13 差分方程 yt+1 一 yt 一 2t2+1 的特解形式为 yt*=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)二阶可导，且 0xf(t)dt+0x(x 一 t)dt=x+1，求 f(
4、x)15 求微分方程 y“+2x(y)2=0 满足初始条件 y(0)=1， y(0)=1 的特解16 求微分方程 yy“=y2 满足初始条件 y(0)=y(0)=1 的特解17 求微分方程 y“一 y一 6y=0 的通解18 求微分方程 y“+4y+4y=0 的通解19 求微分方程 y“一 y+2y=0 的通解20 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1=e2x，y 2 一 2e 一 x 一 3e2x 为特解，求该微分方程21 求微分方程 y“+2y一 3y=(2x+1)ex 的通解22 求 y“一 2y一 e2x=0 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解23 求微分方程 y“+4y
5、+4y=eax 的通解24 求微分方程 y“+y=x2+3+cosx 的通解25 求微分方程 x2y“一 2xy+2y=2x 一 1 的通解26 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 |t=0=0，已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问:为多少时此质点的速度为 ？并求到此时刻该质点所经过的路程27 设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0 ，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)28 设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知|MA|=|OA|，且 L 经过点 ，求 L 的方程
6、29 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行30 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间31 设 f(x)在0，1上连续且满足 f(0)=1，f(x) 一 f(x)=a(x 一 1)y=f(x)，x=0，x=1，y=0 围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f(x)考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 10 答案
7、与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y“一 4y=0 的特征方程为 2 一 4 一 0，特征值为 1=一 2， 2=2 y“一 4y=e2x 的特解形式为 y1=axe2x y“一 4y=x 的特解形式为 y2=bx+c，故原方程特解形式为 axe2x+bx+c，选(D)【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由 y1=ex，y 23=2xe 一 x，y 3=3e 一 x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1=2=1， 3=一 1，其特征方程为( 一 1)2(+1)=0，即 3 一 2
8、一 +1=0，所求的微分方程为 y“一 y“一 y+y=0，选(A)【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(x)， 1(x)为方程 y+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以1(x)一 1(x)为方程 y+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y+P(x)y=Q(x)的通解为C1(1)一 2(x)+2(x)，选(C) 【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题4 【正确答案】 2xe 3x+ x2e3x【试题解析】 由题意得 y(0)=0，y(0)=2，y“一 6y+9y=e3x 的特征方程为 26+9=0，特征值为 1=2=3，令 y“一 6y+9y
9、=e3x 的特解为 y0(x)=ax2e3x，代入得 a=，故通解为 y=(C1+Cxx)e3x+ x2e3x由 y(0)=0，y(0)=2 得 C1=0，C 2=2，则 y(x)=2xe3x+ x2e3x【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 【试题解析】 令 y=p，则 y“= ，则原方程化为 =3y2，解得p2=y3+C1，由 y(一 2)=1， y(一 2)=1，得 C1=0，所以 y= ，从而有=x+C2，再由 y(一 2)=1，得 C2=0，所求特解为 x=【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 ln|x|+C【试题解析】 由 令解得 arcsinu=1n|
10、x|+C，则原方程通解为arcsin =1n|x|+C【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 C 1e 一 4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1， C2 为任意常数)【试题解析】 显然 =一 4 是特征方程 2+q=0 的解，故 q=一 12， 即特征方程为 2+ 一 12=0，特征值为 1=一 4， 2=3 因为 x2+3x+2 为特征方程 y“+y一12y=Q(x)的一个特解，所以 Q(x)=2+2x+3 一 12(x2+3x+2)=一 12x234x 一 19，且通解为 y=C1e 一 4x+C2e3x+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数) 【知识模块】
11、常微分方程与差分方程8 【正确答案】 一 sinx 一 3cosx【试题解析】 特征值为 1=一 2， 2=1，特征方程为 2+ 一 2=0，设所求的微分方程为 y“+y一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=一 sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y“+y一 2y=一 sinx 一 3cosx【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 C 1e 一 x+C2e4x+xe 一 x【试题解析】 因为方程有特解 Axe 一 x，所以一 1 为特征值，即(一 1)2 一 3(一 1)+a=0 a=一 4，所以特征方程为 2 一 3 一 4=0 1=一 1，2=4
12、，齐次方程 y“一3y+ay=0 的通解为 y=C1e 一 x+C2e4x，再把 Axe 一 x 代入原方程得 A=1，原方程的通解为 y=C1e 一 x+C2e4x+xe 一 x【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 e 一 x【试题解析】 由f(x)+xf(xt)dt=1 得 01f(x)dt+01f(xt)d(xt)=1，整理得 f(x)+0xf(u)du=1，两边对 x 求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce 一 x，因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e 一 x【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 C(一 2)x+【试题解析】
13、y x+1+2yx=0 的通解为 y=C(一 2)2，令 yx+1+2yx=5x2 的特解为 y0(x)=a0+a1x+a2x2，代入原方程整理得 3a0+a0+a2+(3a1+2a2)x+3a2x2=5x2，解得 y0(x)=于是 yx+1+2yx=5x2 的通解为 y(x)=C(一 2)x+【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 C+(x 一 2)2x【试题解析】 y x+1 一 yx=0 的通解为 y=C(1)x=C，令 yx+1 一 yx=x2x 的特解为y0=(ax+b)2x，代入原方程得 y0=(x 一 2)2x，原方程的通解为 y=C+(x 一 2)2x【知识模块】
14、 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 t(at 2+bt+c)【试题解析】 p=1，f(t)=2t 2+1，故特解形式为 yt*=t(at2+bt+c)【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 0xtf(x 一 t)dt x0xf(u)du 一 0xuf(u)du=x0xf(t)dt 一 0xtf(t)dt， 0xf(t)dt+0xtf(x 一 t)dt=x+1 可化为 0xf(x)dt+x0xf(t)dt 一 0xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)+0xf(t)dt=1，两边再求导得 f(x)+f(x)=0，解得(x)
15、=Ce 一 x，因为 f(0)=1，所以C=1，故 f(x)=e 一 x【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 令 y=p，则 y“= 代入方程得 +2xp2=0，解得 =x2+C1，由y(0)=1 得 C1=1，于是 y= ，y=arctanx+C 2，再由 y(0)=1 得 C2=1，所以y=arctanx+1【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 令 y=p，则 y“= 代入原方程得=0当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由=0，解得 p=C1 =C1y，由 y(0)=y(0)=1 得C1=1，于是 一 y=0，解得 y=C2e 一 一 dx=
16、C2ex，由 y(0)=1 得 C2=1，所以原方程的特解为 y=ex【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 特征方程为 2 一 一 6=0，特征值为 1=一 2， 2=3，则原方程的通解为 y=C1e 一 2x+C2e3x【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，则原方程的通解为 y=(C1+C2x)e 一 2x【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 特征方程为 2 一 +2=0，特征值为 1，2 = 则原方程的通解为 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 因为 y1=e2x，y
17、 2=2e2x 一 3e2x 为特解，所以 e2x，e 一 x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1=一 1， 2=2，特征方程为(+1)( 一 2)=0即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y“一 y一 2y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 特征方程为 2+2 一 3=0，特征值为 1=1， 2=一 3，则 y“+2y一3y=0 的通解为 y=c1ex+C2e 一 3x令原方程的特解为 y0=x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为 y=C1ex+C2e 一 3x+ (2x2+x)ex【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 原
18、方程可化为 y“一 2y=e2x，特征方程为 2 一 2=0，特征值为1=0， 2=2，y“一 2y=0 的通解为 y=C1+C2e2x设 y“一 2y=e2x 的特解为 y*=Axe2x，代入原方程得 A= 从而原方程的通解为 y=C1+(C2+ )e2x由 y(0)=1，y(0)=1 得解得 C1= C2= 故所求的特解为 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=一 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e 一 2x(1)当 a一 2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax
19、，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e 一 2x+ (2)当 a=一 2 时，因为 a=一 2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Ax2e 一 2x，代入原方程得 A= ，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e 一 2x+ x2e 一 2x【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 特征方程为 2+1=0，特征值为 1=一 i， 2=i，方程 y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx对方程 y“+y=x2+3，特解为 y1=x2+1；对方程 y“+y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x2+1+ xsinx，则原方程的通
20、解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+ xsinx【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 令 x=ee，则 x2y“= ，原方程化为+2y=2et 一 1， +2y=0 的通解为 y=C1et+C2e2t，令+2y=2et 的特解为 y0(t)=atet，代入 +2y=2et，得 a=一 2，显然 +2y=一 1 的特解为 y= ，所以方程 +2y=2et 一1 的通解为 y=C1et+C2e2t 一 2tet 一 原方程的通解为 y=C1x+C1x2 一 2xlnx 一 【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 设 t 时刻质点运动的速度为 (t)，阻力 F
21、=ma=解此微分方程得 (t)=0e 一 t，由 0e 一 t= 得 t=1n3，从开始到 t=1n3 的时间内质点所经过的路程为 S=0ln30e 一 tdt=【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 根据题意得 则有 0xf(t)dt= 两边求导得 f(x)= 即解得【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y 一 y=y(X 一 x)令X=0，则 Y=y 一 xy，故 A 点的坐标为(0，y 一 xy)由|MA|=|OA| ，得|y 一 xy|=即 2yy一=x则y2= =x(一 x+C)，因为曲线经过点 ，所以C=3，
22、再由曲线经过第一象限得曲线方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 Y 一 y=(Xx)(y0)令 Y=0，得 X=x+yy，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为由题意得 即yy“=1+y2令 y=p，则 y“=两边积分得 y=+C1，由 y(1)=1，y(1)=0 得 C1=0，所以 y= 变量分离得=dx，两边积分得 =x+C2，由 y(1)=1 得 C2= 1，两式相加得【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 设 f 时刻雪堆的半径为 r，则有于是有 =一kt+C0，由 r(0)=r0，r(3)= 得 C0=r0，k= 于是 +r0，令 r=0 得 t=6，即6 小时雪堆可以全部融化【知识模块】 常微分方程与差分方程31 【正确答案】 由 f(x)一 f(x)=a(x 一 1)得 f(x)=a(x 一 1)e一 1dxdx+Ce 一一 dx=Cex一 ax，由 f(0)=1 得 C=1，故 f(x)=ex 一 axV(a)= 01f2(x)dx=由 V(a)= =0 得 a=3，因为 V“(a)= 0，所以当 a=3 时，旋转体的体积最小，故 f(x)=e2 一 3x【知识模块】 常微分方程与差分方程
