1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 ysinx=ylny 满足定解条件 =e 的特解是2 若 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C 1x2+C2x+C3（B） x2+y2=C（C） yIn(C1x)+ln(C1sinx)（D）y=C 1sin2x+C2cos2x3 设 C1 和 C2 是两个任意常数，则函数 y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+sinx 是二阶常系数线性微分方程( ) 的通解（A）y-2y+5y=4cosx-2s
2、inx（B） y-2y+5y=4sinx-2cosx（C） y-5y+2y=4cosx-2sinx（D）y-5y+2y=4sinx-2cosx二、填空题4 当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y=，且 y(0)=，则 y(1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若求 f(x)6 已知 xy+p(x)y=x 有解 y=ex，求方程满足 y x=ln2=0 的解7 已知方程 ，求满足条件的 (x)8 设 f(x)在0，+)上连续，且满足方程求 f(t)9 设 f(x)是
3、以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k 为常数10 求下列一阶常系数线性差分方程的通解：()4y t+1+16yt=20； ()2y t+1+10yt-5t=0； ()y t+1-2yt=2t； ( )y t+1-yt=11 求下列方程满足给定条件的特解：()y t+1-yt=2t，y 0=3； ()yt+1+4yt= y0=112 已知方程 y+p(x)y+g(x)y=0，求证： (I)若 p(x)+xq(x)0，则 y=x 是方程的一个特解； () 若 m2+mp(x)+1(x)0，则 y=emx 是方程的一个特解1
4、3 求下列微分方程的通解：()(x-2)dy=y+2(x-2) 3dx； ()(1+y 2)dx=(arctany-x)dy；( )y+2y=sinx； ()e yy- =x2() ()(x 2-3y2)x+(3x2-y2)=0；()xdy-ydx=y2eydy； ()y+5y+6y=e x；( )y+9y=6cos3x 14 求下列差分方程的通解： ()y t+1-yt=et，其中 ， 为常数，且 0； ()yt+1+2yt=15 求方程 y+2my+n2y=0 满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，其中mn0，a，b 为常数，并求16 设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一
5、点 M(x，y)处的法线斜率为，求此曲线方程17 设 y=y(x)在 0，+)内可导，且在 处的增量y=y(x+x)-y(x)满足其中当x0 时 是x 的等价无穷小，又 y(0)=2，求y(x)18 设函数 y(x)连续，且满足 ，求 y(x)19 设函数 f(x)连续，且 求 f(x)20 设函数 f(x)可微，且满足 f(x)-1= ，求 f(x)21 设二阶常系数线性微分方程 y+y+y=ex 的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 ，并求该方程的通解22 求 yt+1-yt=2t(t-1)(t-2)的通解23 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的
6、某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce-p(x)dx 是方程 y+P(x)y=0 的所有解24 设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= 试求：在(-，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在 (-，1)和(1，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=025 设函数 f(x)连续，且满足 求 f(x)26 设 f(x，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求27 已知微分方程 y+(x+e2y)(y)3=0 ( )若把 y 看成自变量， x 看成函数，则方程化成什么形式? ()求此方程的解考研数学三（常微分方程与差分方程）模
7、拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程 ysinx=ylny 是可分离变量的微分方程，分离变量得即所求特解为 故应选(D)【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 在所给的选项(A)，(B)，(C) 中 y 包含的任意常数都不是两个，因而它们都不能看成某个二阶微分方程的通解，故应选(D)【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，e xcos2x 与 exsin2x 是二阶常系数齐次线性微分方程 y+ay+by=0 两个线
8、性无关的特解从而特征方程2+a+b=0 的两个特征根应分别是 1=1+2i， 2=1-2i，由此可得 2+a+b=(-1-2i)(-1+2i)=(-1)2-(2i)2= 2-2+1+4=2-2+5，即 a=-2，b=5 由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知 sinx 应是非齐次方程 y-2y+5y=f(x)的一个特解， 故 f(x)=(sinx)-2(sinx)+5sinx=4sinx-2cosx 综合即得所求方程为 y-2y+5y=4sinx-2cosx应选(B)【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x0
9、=0，x=1，于是y=y(x0+x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-，代入 y 的表达式即得 y(1)- =+ y(1)=2+ 由于仅仅知道当x0 时 是比 x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式无法求出 y(1) 由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量 y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点 x 处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件 y x=0= 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1)【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正
10、确答案】 将题设等式两边对 z 求导，得 gf(x)f(x)+f(x)=xe x由于 gf(x)=x，于是，当 x0 时有又 f(x)在 x=0 处右连续且 f(0)=0，于是由【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 把已知解代入方程，得x+p(x)e x=x，由此可确定方程的待定系数p(x)=x(e-x-1)，于是原方程就是 y+(e-x-1)y=1与它对应的齐次线性微分方程 y+(e-xv-1)y=0 的通解是 y= ；把这个通解加上非齐次方程的已知特解 y=ex 即得原方程的通解利用初始条件 y x=ln2=0 可确定常数【试题解析】 首先把已知解代入方程，即可确定方程的待定
11、系数 p(x)；其次，把得到的系数 p(x)代入原方程，并求对应的齐次线性微分方程的通解；再把非齐次微分方程的已知特解 y=ex 与之相加，即得原方程的通解由此求满足给定初始条件的特解就容易了【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 设 ，分离变量并利用已知的通解即得【试题解析】 方程可以看成齐次方程，令 ，则 y=u+xu把方程和通解都作相应的改变【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 首先把右端的二重积分化为定积分设 x=rcos，y=rsin，引入极坐标(r，)，于是，在极坐标系(r，)中积分区域 x2+y24t2 可表为02，0r2t，面积元 dxdy=rdrd，
12、从而未知函数 f(t)满足积分方程 f(t)= ，令 t=0 得 f(0)=1；用变上限定积分求导公式得 由此可知 f(t)是一阶线性微分方程 满足初始条件 y(0)=1 的特解解出可得【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 由于此线性微分方程的通解可表示为 ，而为了使其以 为周期，就应该对任何 x 满足恒等式则此特解就是以 为周期的函数，由于这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个【试题解析】 本题是求该方程满足某种要求的特解为此，我们先求通解，然后用确定常数 C 的办法来得到具有周期性的那个特解【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 () 方程可化简为 yt+1+
13、4yt=5由于 a=4，可得对应齐次方程的通解为 C(-4)t，自由项 f(t)=5 是零次多项式，由于 a+10，应设非齐次方程的特解y*1=B，B 待定代入方程可得 B=1于是，方程的通解为 yt=1+C(-4)t() 类似于()，可化简方程为 yt+1+5yt= ，对应齐次方程的通解为 C(-5)t，非齐次方程的特解应具有形式 y*t=A+Bt，代人原方程可得 A=于是，原方程的通解为 ()由于 a=-2，f(t)=2t，因此可设特解具有形式 y*t=At2t，代入方程可确定 A= 显然对应齐次方程的通解为 C2t，故原方程的通解为 ()由于其特解应具有形式代入原方程可得 B0=-2，B
14、 1= ，因此原方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 () 由于 yt+1-yt=2t 的特解为 2t，因此原方程的通解为 yt=2t+C代入定解条件，则知所求之解为 yt=2t+2()如上题第()小题，非齐次方程的特解应具有形式 ，计算可得 A=4，B=1，即其通解为代入定解条件，即知所求之解为【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 () 用 y=x 代入方程则有 p(x)+xq(x)0，可见当 p(x)+xq(x)0 时y=x 是方程 y+p(x)y+g(x)y=0 的一个特解 ()用 y=emx 代入方程则有 y+p(x)y+g(x)y=m2+p
15、(x)m+g(x)emx0 故当 m2+p(x)m+q(x)0 时 y=emx 是方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的一个特解 .【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 () 原方程可改写为 ，这是一阶线性微分方程，用积分因子 =2(x-2)，两边求积分即得通解 即 y=C(x-2)+(x-2) 3，其中 C 是任意常数两边求积分即得通解即 x=Ce -arctany+arctany-1，其中 C 是任意常数()题设方程为齐次微分方程，方程可改写成这是一个变量可分离型方程，其通解为 y(eu+u)=C所以原微分方程的通解为+x=C () 因为 ycosy=(siny)，令 u
16、=siny，则原微分方程化为 u+u=x 这是关于未知函数 u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 u=e -x(C+xexdx)=Ce-x+x-1 所以原微分方程的通解为 siny=Ce-x+x-1 ( )当 y0 时，将原方程变为如下形式： 所以原方程是一个全微分方程，其通解为()对应的特征方程为 2+9=(-3i)(+3i)=0 特征根为 1=3i， 2=-3i，由方程的非齐次项 6cos3x 可知，应设非齐次方程的特解具有形式 y*=x(Acos3x+Bsin3x)计算可得 从而 A=0，B=1综合得通解y(C1+x)sin3x+C2cos3x【知识模块】 常微分方程与差分方程
17、14 【正确答案】 () 方程的通解可设为 yt=Cat+y*t，当 e 时，可设 y*t=Aet，代入方程可确定 A= ；当 =e 时可设y*t=Atet，代入方程可确定 A=e-，故方程的通解为 ()设方程的通解为 ，于是【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 特征方程为 2+2m+n2=(+m)2+n2-m2=0，特征根为计算可得【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 由题设知，过曲线上任意点 M(x，y)处的切线斜率为由一阶线性微分方程的通解公式，可得 由曲线过点(e，1)可确定常数，故所求曲线方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 由题
18、设等式可得从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 注意方程可改写成，两边积分得【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 由 y(x)连续可知 可导，从而 y(x)可导将方程两端对 x 求导，得一阶线性微分方程 y(x)-2y(x)=2x解之可得通解 y(x)= 在原方程两端令 x=1 又有 -2y(1)=【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 将由f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得在上式中令 x=0 可得 f(0)=0，由上式还可见 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x) 故求 y=
19、f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 原方程两边对 x 求导，得由一阶线性微分方程的通解公式，有【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入方程可得 (4+2+)e 2x+(3+2+-)ex+(1+)xex=0，因 e2x，e x 与 xex 线性无关 (证明见评注)，故于是所求方程是 y-3y+2y=-ex，因特征方程为 2-3+2=0 即特征根为 1=2， 2=1，则对应齐次微分方程的通解为 C1e2x+C2ex，由所给特解 y=e2x+(1+x)ex 可见非齐次方程有一个特解为 y=x
20、ex综合即得所求通解为 y=C1e2x+C2ex+xex【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 原差分方程对应的齐次差分方程是 yt+1-yt=0，其通解为 yt=C，非齐次差分方程的通解可设为 yt=C+t+t2+t3+t4，代入方程可得 yt+1-yt=+(2+3+4)t+(3+6)t2+4t3 2t(t-1)(t-2)，比较系数，可得方程组【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 因为对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx=ep(x)dxy+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 yep(x
21、)dx=C，故y=Ce-p(x)dx.【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程y-2y=2 的两边同乘 e-2x 得(ye -2x)=2e-2x，积分得通解 y=C1e2x-1； 而当 x1 时，方程 y-2y=0 的通解为 y=C2e2x 为保持其在 x=1 处的连续性，应使 C1e2-1=C2e2，即C2=C1-e-2，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C1=1，即所求特解为 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 在积分
22、中作换元 ，代入方程，可得 在上式中令 x=0，得 f(0)=1由于 f(x)连续，因而上式中右端的变上限定积分可导，又 e2x 也可导，这就保证了 f(x)可导将上式两端对x 求导，得 f(x)=3f(x)+2e2x由此可见，f(x)是一阶线性微分方程 y-3y=2e2x 满足初始条件 y(0)=1 的特解用积分因子 e-3x 乘方程两端，得(ye -3x)=2e-x积分一次，不难得到它的通解 y=Ce3x-2e2x利用初始条件可确定常数 C=3所以，所求的函数是 f(x)=3e 3x-2e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 由 f(x)=g(x)可得 f(x)=g(x
23、)，结合 g(x)=2ex-f(x)可得 f(x)满足微分方程 f(x)=2ex-f(x)，即 y=2e x-y它对应的齐次方程为 y+y=0，特征方程为2+1=0，特征根为 1=i， 2=-i因此 y+y=0 的通解为 y=C 1cosx+C2sinx 在y+y=2ex 中，由于 =1 不是其齐次方程的特征根，因此它有形如 y=aex 的特解，将y=aex 代入方程 y+y=2ex 中可得 a=1因此 y+y=2ex 的通解为 y=C 1cosx+C2sinx+ex由 f(0)=0，g(0)=2，可知 f(x)是 y+y=2ex 的满足初值条件 y(0)=0，y(0)=2 的特解将初值条件代入通解中得 C1=-1，C 2=1因此 f(x)=-cosx+sinx+ex由于注意到，f(0)=0，f(x)=g(x) ，因此【试题解析】 由 f(x)=g(x)两边求导可得 f(x)=g(x)，再由 g(x)=2ex-f(x)可得 f(x)所满足的微分方程【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 代入方程得x-x=e2y () 特征方程 r2-1=0 的两个根为 r1=1，r 2=-1由于在非齐次项 eay，中a=2 不是特征根，故可设非齐次方程的特解为 x*=Ae2y，代人方程得【知识模块】 常微分方程与差分方程
