1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 xdy=(y )dx(x0)满足 y(1)=0 的特解是 ( )2 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解 C1，C 2是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2(1C 1C 2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1C 1C 2)y33 设二阶常系数齐次线性微分方程 y+by+y=0 的每一个解
2、y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（A）0 ，+)（B） (，0（C） (，4（D）(， +)4 具有特解 y1=ex ，y 2=zxex ，y 3=3ex 的三阶常系数齐次线性微分方程是 ( )（A）y y y+y=0（B） y+ yyy=0（C） y6 y+11y6y=0（D）y2 y y+2y=05 函数 y=Cx+ (其中 C 是任意常数)对微分方程 =x 而言， ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解二、填空题6 设 y1=ex，y 2=x2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为_7 设 p(x)，q(x
3、)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y1(x)，y 2(x)与 y3(x)是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 常数，则式的通解为_8 微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= 的特解是_9 设 f(x)在( ，+)内有定义，且对任意 x(，+)，y(，+) ，f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex 成立，且 f(0)存在等于 a，a0，则 f(x)=_10 设 f(x)在( ，+)上可导，且其反函数存在，记为 g(x)若 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xexe x+1，则当x+时 f(x)=_11 微分方程 y+ytanx=
4、cosx 的通解为 y=_12 微分方程 y4y=e 2x 的通解为 y=_13 微分方程 3extanydx+(1e x)sec2ydy=0 的通解是_14 微分方程 ytanx=ylny 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 y=y(x)是微分方程 (x2+y2)dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取x0，记 y0=y(x0)证明：(1)y(x)y 0 arctanx 0； (2) 均存在16 设 a0，函数 f(x)在0，+) 上连续有界证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界17 已知曲线 y=y(x)经过点 (1，e
5、 1 )，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式18 求解(1+ )ydx+(yx)dy=019 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程y+ysinx=(x)ecosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解 ?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由20 设有方程 y+P(x)y=x2，其中 P(x)= ，试求在(，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在 (，1)和(1 ，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=221 设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的解 y(x)；(2)讨论 是否存在，若存在
6、，给出条件；若不存在，说明理由22 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解23 求微分方程(4x+y)dx (2xy)dy=0 的通解24 求微分方程 的通解25 求微分方程 (x0)的通解26 求微分方程 y2ye 2x=0 满足条件 y(0)=1， y(0)=1 的特解27 求微分方程 y+2y+y=xex 的通解考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 将原方程变形为 这是齐次微分方程，令 u=，代入原方程得 分离变量得 ，两端积分得 ln(u+ )=1nx+
7、C 由 u(1)=0 可得 C=0，进而导出 u+代入得到 y+ =1应选(B)【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C 1y1+C2y2+(1C 1C 2)y3=C1(y1y 3)+C2(y2y 3)+y3， 其中y1y 3 和 y2y 3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以(D) 是原方程的通解【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 b2 时，y(x)= ，所以，当b240 时，要想使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要 b+ 0，且 b0，即 b2；当 b240 时，要想
8、使 y(x)在区间(0，+)上有界，只需要b+ 与 b 的实部大于等于零，即 0b2当 b=2 时，y(x)=C1ex +C2xex 在区间(0 ，+) 上有界；当 b=2 时，y(x)=C 1ex+C2xex(C12+C220)在区间(0 ，+) 上无界综上所述，当且仅当 b0 时，方程 y+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间 (0，+)上有界，故选(A)【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题设条件，1，1 是特征方程的两个根，且1 是重根，所以特征方程为(1)(+1) 2=3+2 1=0 ，故所求微分方程为 y+yy y=0，故选(B)或使用待定
9、系数法，具体为：设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是y+ay+by+cy=0由于 y1=ex ，y 2=2xex y 3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 解得a=1，b=1，c=1故所求方程为 y+yyy=0 ，即选项(B)正确【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 (1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+C2x+ )；(2) 特解中不含有任意常数(y *= 为特解 )；(3)Cx+ 满足原方程，故选项(A)，(B)，(D)都不对，应选(C)【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题6 【正确答案】 y+ =0【试题解析
10、】 由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可设所求的二阶齐次线性微分方程为 y+p(x)y+q(x)y=0 分别以 y1=ex，y 2=x2代入，得 解得 p(x)= ，q(x)= ，所求方程为 y+ =0【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 y=C 1(y1y 2)+C2(y2y 3)+y1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可y 1y 2 与 y2y 3 均是式对应的线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个
11、不全为零的常数 k1 与 k2 使 k1(y1y 2)+k2(y2y 3)=0 设 k10，又由题设知 y2y 30，于是式可改写为 矛盾若 k1=0，由y2y 30，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1y 2 与 y2y 3 线性无关于是 y=C1(y1y 2)+C2(y2y 3) 为式的通解，其中 C1，C 2 为任意常数，从而知 y=C1(y1y 2)+C2(y2y 3)+y1 为式 的通解【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 x=e ye y siny【试题解析】 熟悉反函数的导数的读者知道，原方程可化为 x 关于 y的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化
12、为 x=siny ，解得 x 关于 y 的通解为 x=C1ey+C2ey siny， 以 x=0 时，y=0 代入上式，得0=C 1+C2再将式两边对 y 求导，有 x=0 时，代入上式，有 解得 C1=1，C 2=1，于是得通解x=eye y siny【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 axe x【试题解析】 由 f(0)存在，设法去证对一切 x，f(x)存在，并求出 f(x)将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(x)=f(x)+f(0)ex，所以 f(0)=0令x0，得 f(x)=f(x)+exf(0)=f(x)+aex，所以 f(x)存在解此
13、一阶微分方程，得 f(x)=ex(aex.ex dx+C)=ex(ax+C)因 f(0)=0，所以 C=0，从而得 f(x)=axex，如上所填【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 【试题解析】 未知函数含于积分之中的方程称为积分方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对 x 求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之将所给方程两边对 x 求导，有 gf(x)f(x)+f(x)=xex因 gf(x)x，所以上式成为 xf(x)+f(x)=xex以 x=0 代入上式，由于 f(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x
14、0 时，上式成为 f(x)+ f(x)=ex解得 由于 f(x)在 x=0 处可导，所以连续令 x0，得 0=f(0)=1+ ，所以 =1，从而知C=1于是得【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 (x+C)cosx，其中 C 为任意常数【试题解析】 属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性方程的方法即可得出答案【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 C 1e2x +(C2+ x)e2x 其中 C1,C2 为任意常数【试题解析】 y4y=0 的特征根 =2，则其通解为 y=C1e2x +C2e2x设其特解y*=Axe2x 代入 y4y=e 2x，可解得 A=
15、所以 y4y=e 2x 的通解为 C1e2x +(C2+x)e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 tany=C(e x1) 3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 ，积分得 ln(tany)=3ln(e x1)+lnC所以方程有通解为 tany=C(ex1) 3，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 y=e Csinx，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程分离变量，有 ，积分得 ln(lny)=ln(sinx)+lnC，通解为 lny=Csinx，或 y=eCsinx，其中 C 为任意常
16、数【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题(1)将微分方程(x 2+y2)dy=dxdy 变形为0，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明 y(x)有界即可对 dy= dx 两边从 x0 到 x 积分，得设 xx0，则 y(x)y(x0)+ =y(x0)+arctanxarctanx 0y 0+ arctanx 0(2)y(x) 有上界，所以 y(x)存在同理可证，当 xx0 时，y(x)有下界，所以 y(x)也存在故 y(x)存
17、在， y(x)也存在【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 原方程的通解为、y(x)=e ax (C+0xf(t)eatdt)，设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即f(x)M，则当 x0 时，有 y(x)=e ax (C+0xf(t)eatdt)Ce ax +e ax 0xf(t)eatdtC+Me ax 0xeatdt=C+ (1e at )C+ ，即 y(x)在0， +)上有界【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式曲线 y=f(x)在点(x，y) 处的切
18、线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，得到截距为 xy=yxy，即 xy=y(1x)，此为一阶可分离变量的方程，于是， ，lny=lnCxx，得到 y= ，又 y(1)=e1 ，故 C=1，于是曲线方程为 y= 【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 方程化为 此为齐次方程，故令 u= ，则 x=uy， +u，代入上述方程得 整理得积分得 ln(u+eu)=lny+C 1，(u+e u)y=C，将 u=C，故原方程的通解为 x+ =C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考生在考
19、场上的难点，请复习备考的学生重视 (1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e sinxdx (x)ecosxesinxdxdx+C =ecosx(x)ecosx.ecosx dx+C =ecosx(x)dx+C=ecosx(x)+C(其中 C 为任意常数) (2) 因为 (x)=(x)，所以 (x)=0x(t)dt+C1又 (0)=0，于是，(x)= 0x(t)dt而 (x+2)=0x+2(t)dt=0x(t)dt+xx+2(t)dt=(x)+02(t)dt，所以，当 02(t)dt=0 时，(x+2)=(x) ，即 (x)以 2 为周期 因此，当 02(t)dt=0 时，方程有以 2 为
20、周期的解【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 本题虽是基础题，但其特色在于当 z 的取值范围不同时，系数P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数当 x1 时，方程及其初值条件为求解得 y=e1dx (x2e1dxdx+C)=ex (x2exdx+C)=x22x+2+Ce x 由 y(0)=2 得 C=0，故 y=x22x+2当 x1 时，方程为 y+ y=x2，求解得综上，得又 y(x)在(，+)内连续，有 f(1 )=f(1+)=f(1)，即12+2= +C，从而 C= 所以【知识模块】 常微分方程与差分
21、方程21 【正确答案】 一般认为，一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的计算公式为而本题是要求写成变限积分形式请考生仔细分辨这里的变量表达形式由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生是一道难题(1)初值问题可写成 由上述变限积分形式的通解公式，有：若 y1e，则 y(x)=；若 y1=e ，则【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 对应的齐次方程 xy+y=0 的通解是 y= 设其中 C 为 x 的函数，则 y= 代入原方程，得(C=xe x， C=xe xe x+C1，故原方程的通解为 y=当 x=1，y=1 时，C 1=1，所以特解为 y
22、=【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 方程化为 设 x=X+h，y=Y+k ，代入方程，并令解得 h=3，k= 1，此时原方程化为 令代入上式，得 积分得X22XYY 2=C将 X=x3，Y=y+1 代入上式，得到所求通解为x22xyy 28x+4y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 此为齐次方程，只要作代换 u= 解之即可方程变形为令 两边积分，得 uarctanu所以有 uarctanu ln(1+u2)=lnx+lnC，即uarctanu=lnCx 代回 u= 得 即得原方程通解为C ，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分
23、方程与差分方程25 【正确答案】 变形和作适当代换后变为可分离变量的方程方程两边同除以x，得 当 x0 时，解之得 arcsinu=lnCx再以 u= 代回，便得原方程的通解：arcsin =lnCx，即y=xsin(lnCx)，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 齐次方程 y2y=0 的特征方程为 22=0，由此求得特征根1=0， 2=2对应齐次方程的通解为 =C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x， (y *)=4A(1+x)e2x代入原方程，求得 A= ，从而y*= xe2x于是，原方程通解为 y= +y*=C1+(C2+ x)e2x将 y(0)=1 和 y(0)=1 代入通解求得 从而，所求解为 y= (1+2x)e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r1=r2=1对应齐次方程之通解为 Y=(C1+C2x)ex 设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则 y*=(ax+a+b)ex， y*(ax+2a+b)ex，代入所给方程，有(4ax+4a+4b)e x=xex解得 ，而y*= (x1)e x最后得所求通解为 y=(C1C 2x)ex + (x1)e x，C 1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程
