1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (94 年 )设常数 0 而级数薹 收敛，则级数 【 】（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关2 (96 年 )下述各选项正确的是 【 】（A）若 都收敛，则 (unv n)2 收敛（B）若 u nvn收敛，则 都收敛（C）若正项级数 发散，则 un （D）若级数 un 收敛，且 unvn(n1，2，)，则级数 vn 也收敛3 (02 年 )设幂级数 ann 与 bnn 的收敛半径分别为 ，则幂级数 的收敛半径为 【 】（A）5（B）（C）（D）4 (0
2、3 年 )设 pn ，n1，2，则下列命题正确的是 【 】（A）若 an 条件收敛，则 都收敛（B）若 an 绝对收敛，则 都收敛（C）若 an 条件收敛，则 的敛散性都不定（D）若 an 绝对收敛，则 的敛散性都不定5 (04 年 )设有以下命题： 【 】 (u2n-1u 2n)收敛，则 un 收敛 若un 收敛，则 un+1000 收敛 若 1，则 un 发散 若(unv n)收敛，则 都收敛 则以上命题中正确的是（A）（B） （C） （D）6 (05 年 )设 an0，n1，2，若 an 发散， (1) n-1an 收敛，则下列结论正确的是 【 】（A） a2n-1 收敛， a2n 发散
3、（B） a2n 收敛， a2n-1 发散（C） (a2n-1a 2n)收敛（D） (a2n-1a 2n)收敛7 (06 年 )若级数 an 收敛，则级数 【 】（A） a n收敛（B） (1) nan 收敛（C） anan+1 收敛（D） 收敛8 (11 年 )设u n是数列，则下列命题正确的是 【 】（A）若 un 收敛，则 (u2n-1u 2n)收敛（B）若 (u2n-1u 2n)收敛，则 un 收敛（C）若 un 收敛，则 (u2n-1u 2n)收敛（D）若 (u2n-1，u 2n)收敛，则 收敛9 (12 年 )已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则 【 】（A）0 （B） 1（C）
4、1 （D） 210 (13 年) 设a n为正项数列，下列选项正确的是 【 】（A）若 an an+1，则 (1) n-1an 收敛（B）若 (1) n-1an 收敛，则 ana n+1（C）若 an 收敛，则存在常数 p1，使 npan 存在（D）若存在常数 P1，使 npan 存在，则 an 收敛11 (15 年) 下列级数中发散的是 【 】（A）（B）（C）（D）12 (16 年) 级数 sin(nk) (k 为常数) 【 】（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 k 有关二、填空题13 (92 年) 级数 的收敛域为_14 (93 年) 级数 的和为_15 (99 年)
5、_16 (09 年) 幂级数 的收敛半径为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (95 年) 将函数 yln(1 2 2)展成 的幂级数，并指出其收敛区间18 (97 年) 从点 P1(1，0) 作 轴的垂线，交抛物线 y 2 于点 Q1(1，1)；再从 Q1 作这条抛物线的切线与 轴交于 P2然后又从 P2 作 轴的垂线，交抛物线于 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点 P1，Q 1；P 2，Q 2；P n，Q n； (1)求 ； (2)求级数 的和其中 n(n1)为自然数，而 表示点 M1 与 M2 之间的距离19 (98 年) 设有两条抛物线 yn 2 和 y(n1)
6、 2 ，记它们交点的横坐标的绝对值为 an (1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn； (2)求级数 的和20 (00 年) 设 In sinncosd，n0，1，2， ，求 In21 (01 年) 已知 fn()满足 fn()f n() n-1e(n 为正整数)，且 fn(1) ，求函数项级数 fn()之和22 (03 年) 求幂级数 1 ( 1)的和函数 f()及其极值23 (04 年) 设级数 ( )的和函数为 S()求： ()S()所满足的一阶微分方程； ()S()的表达式24 (05 年) 求幂级数 在区间(1，1) 内的和函数 S()25 (06 年) 求幂级数 的收敛域及和
7、函 s()26 (07 年) 将函数 f() 展开成 1 的幂级数，并指出其收敛区间27 (08 年) 设银行存款的年利率为 r005，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取(109n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元?28 (14 年) 求幂级数 (n1)(n 3) n 的收敛域及和函数29 (16 年) 求幂级数 的收敛域及和函数30 (87 年) 某商品的需求量 对价格 P 的弹性 3p 3，市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，求需求函数考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 11 答案与解
8、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由原题设可知 收敛，又 收敛，则原级数绝对收敛【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 0(unv n)2u n2v n22u nvn2(un2v n2) 由原题设知 都收敛，则 2(un2v n2)收敛从而 (unv n)2 收敛【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 根据以上分析，需假设 均存在，在此假设之下 所以，应选A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由于若 an 绝对收敛，则 a n收敛，从而有 an 也收敛，则 都收敛，故应选 B【知
9、识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 令 un(1) n-1，则 u2n-1u 2n0，从而级数 (u2n-1u 2n)收敛，但级数 发散，所以不正确 级数 un+1000 是级数 un 去掉前 1000 项所得到的，由级数性质可知，若 un 收敛，则 un+1000 必收敛，则 正确 由检比法知若 1，则级数 un 收敛，故正确 令 un1，v q1，则级数 (unv n)显然收敛，但级数 都发散，则不正确，故应选 B【知识模块】 微积分6 【正确答案】 D【试题解析】 级数 (a2n-1a 2n)的部分和数列为 Sn(a 1a 2)(a 3a 4)(a 2n-1a 2n) a
10、1a 2a 3a 4a 2n-1a 2n 显然该 Sn 也就是级数 (1)n-1an 的前 2 行项和，由级数 (1) n-1an 的收敛性知， Sn 存在，则级数(a2n-1a 2n)收敛【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 an 收敛，则 an+1 收敛(该级数为原级数取掉第一项)，则收敛，故应选 D【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 ，且当 n，时 则级数 与级数 同敛散，而由收敛知 又由 条件收敛知 021 则 12 故 2，应选D【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 若存在常数 P1，使
11、 由于 an0，且 收敛，则 an 收敛，故应选 D【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 由于 收敛，则原级数绝对收敛【知识模块】 微积分二、填空题13 【正确答案】 (0，4)【试题解析】 R 2 则原幂级数在222 处收敛，即在04 内收敛 当 0 时，原级数为 发散；当 4 时，原级数为 发散【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 则 R 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
12、。17 【正确答案】 ln(1 2 2)ln(12)(1) ln(1 )ln(12) ln(1)其收敛域为(1，1： 其收敛域为 ) 于是，有【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)由 y 2 得，y2，对于任意 a(0a1)，抛物线 y 2 在点(a， a2)处的切线方程为 ya 22a(a) 且该切线与 轴的交点为( ，0)，故由1，可见 (2)由于 可见【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由 yn 2 与 y(n1) 2 得 an 由于图形关于 y轴对称，则【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 S() ，则其收敛半径 R1，在(1，1)内有 于是 S() dtln 1 令
13、 从而【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由原题可知 f n()f n() n-1e 由一阶线性方程通解公式可知 由条件 fn(1) ，得 c0，故 fn() 从而 记 S() ，其收敛域为1， 1)，当 (1，1)时，有 故 S() ln(1 ) 当 1 时 fn()e -1ln2 于是，当 11 时，有 fn()e ln(1)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 易见 S(0)0， 因此 S()是初值问题 yy ，y(0)0 的解 () 方程 yy 的通解为 由初始条件 y(0)0，求得 C1 故 y 1，因此和函数 S() 1【知识模块】 微
14、积分24 【正确答案】 设 则 S()S 1()S 2()，(1，1) 由于 又由于 S1(0)0【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 2，所以当 21 即 11 时，原幂级数绝对收敛；当 1 时，级数为 ，显然收敛，故原幂级数的收敛域为1，1 因为f(0)0，f(0)0，所以 从而 s()2 2arctanln(1 2)，1，1【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由以上分析知 设 S() nn， (1，1) 故A20094203980(万元)，即至少应存入 3980(万元)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 1，R1，当 1 时原级数显
15、然发散，则其收敛域为(1， 1)【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为 2，所以当 1 时，幂级数绝对收敛；当1 时，幂级数发散 又当 1 时，级数 收敛，所以幂级数的收敛域为 1，1 因为 f(0)0，f(0)0，所以当 (1，1)时， f() 0f(t)dt ln(1)ln(1) f() 0f(t)dt 0ln(1t)dt 0ln(1t)dt (1)ln(1)(1 )ln(1) 又 f(1) f()2ln2，f(1) f()2ln2 所以f()【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由弹性公式，得 ， 即 3p 2dp 两边积分得lnp 3c 1 即 由 p0 1，解得 c1，故所求函数为 【知识模块】 微积分
