1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (06 年 )设非齐次线性微分方程 yP()y Q() 有两个不同的解 y1()，y 2()，C 为任意常数，则该方程的通解是 【 】（A）Cy 1()y 2()（B） y1()Cy 1()y 2()（C） Cy1()y 2()（D）y 1()Cy 1()y 2()2 (10 年 )设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 yp()yq()的两个特解，若常数， 使 y1y 2 是该方程的解，y 1y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则 【 】（A）（B）（C）（D）二、填
2、空题3 (97 年 )差分方程 yt+1y tt2 t 的通解为_4 (98 年 )差分方程 2yt+110y t5t0 的通解为_ 5 (01 年 )某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以 Wt 表示第 t 年的工资总额(单位：百万元)，则 Wt 满足的差分方程是_6 (05 年 )微分方程 yy0 满足初始条件 y(1)2 的特解为_7 (07 年 )微分方程 满足 y 1 1 的特解为 y_8 (08 年 )微分方程 yy0 满足条件 y(1)1 的解是 y_9 (13 年 )微分方程 yy 0 的通解为 y_10 (15 年) 设函数 yy()是微分方程
3、 yy2y0 的解，且在 0 处 y()取得极值 3，则 y()_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 (88 年) 设某商品的需求量 D 和供给量 S，各自对价格 p 的函数为 D(p) ，S(p)bp，且 p 是时间 t 的函数并满足方程 kD(p)S(p)(a、b、k为正常数)，求： (1)需求量与供给量相等时的均衡价格 pe； (2)当 t0，p1 时的价格函数 p(t)； (3) p(t)12 (89 年) 求微分方程 y5y6y2e 的通解13 (90 年) 求微分方程 yycos (ln)e sin 的通解14 (91 年) 求微分方程 2y 2 满足条件 y
4、e2e 的特解15 (92 年) 求连续函数 f()，使它满足 f()2 0f(t)dt 216 (93 年) 假设： (1)函数 yf()(0)满足条件 f(0)0，和 00()e1； (2)平行于 y 轴的动直线 MN 与曲线 yf()和 ye 1 分别相交于点 p1 和 p2； (3)曲线 yf()，直线 MN 与 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 p1p2 的长度求函数 yf()的表达式17 (94 年) 设函数 yy()满足条件 ，求广义积分 0 y()d18 (95 年) 已知连续函数 f()满足条件 f() ，求 f()19 (96 年) 求微分方程 的通解20 (97 年)
5、 设函数 f(t)在0 ，)上连续，且满足方程 求 f(t)21 (98 年) 设函数 f()在1，)上连续，若由曲线 yf()，直线 1，t(t1)与 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 V(t) t2f(t)f(1) 试求 f()所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 的解22 (99 年) 设有微分方程 y2y() ，其中 () 试求在(，)内的连续函数 yy()，使之在( ，1)和(1 ，) 内都满足所给方程，且满足条件 y(0)023 (00 年) 求微分方程 y2ye 20 满足条件 y(0)1，y(0)1 的解24 (02 年)(1)验证函数 y()1 ( )
6、满足微分方程 yyye (2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数25 (03 年) 设 F()f()g()，其中函数 f()，g()在(，) 内满足以下条件： f()g()，g()f() ，且 f(0)0，f()g()2e (1)求 F()所满足的一阶方程；(2)求出 F()的表达式26 (09 年) 设曲线 yf()，其中 f()是可导函数，且 f()0已知曲线 yf()与直线 y0， 1 及 t(t 1)所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t倍，求该曲线的方程27 (12 年) 已知函数 f()满足方程 f()f() 2f() 0 及 f() f()2e (
7、)求 f()的表达式； ()求曲线 yf( 2)0f(t 2)dt 的拐点28 (14 年) 设函数 f(u)具有连续导数， zf(e cosy)满足 (4z e cosy)e若 f(0)0，求 f(u)的表达式29 (15 年) 设函数 f()在定义域 I 上的导数大于零若对任意的 0I，曲线 yf()在点( 0，f( 0)处的切线与直线 0 及 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)2，求f()的表达式30 (16 年) 设函数 f()连续，且满足 0f(t)dt 0(t)f(t)dte 1，求 f()考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项
8、中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 y1()与 y2()是非齐次线性方程 yP()yQ()的两个不同的解，则 y1()y 2()是齐次方程 yP()y 0 的非零解，从而 Cy1()y 2()为齐次通解，故非齐次方程通解为 y 1()Cy 1()y 2() 故应选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y1 y2 为方程 yp()yq()的解，则 (y 1y 2)p()(y1y 2)q() 即 2(y1 p()y1)(y 2p()y 2)q() q()q()q() 1 (1) 由于 y1y 2 为方程 yp()y0 的解，则 (y 1y
9、 2)p()(y1y 2)0 (y 1p()y 1)(y 2p()y 2)0 q() q()0 0 (2) 由(1)式和(2)式解得 【知识模块】 微积分二、填空题3 【正确答案】 yC(t2)2 t【试题解析】 齐次差分方程 yt+1y t0 的通解为 C，C 为任意常数 设(atb)2 t是差分方程 yt+1y tt2 t 的一个特解，则 a1，b2，因此，y tC (t2)2 t 为所求通解【知识模块】 微积分4 【正确答案】 y tC( 5)t【试题解析】 将原差分方程改写成标准形式：y t+1ay tb 1tb 0 即 yt+15y tt 则通解为【知识模块】 微积分5 【正确答案】
10、 W t12W t-12【试题解析】 W t 表示第 t 年的工资总额，(单位：百万元)，W t-1 表示第 t 年上一年的工资总额，由题设知 W t12W t-12【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y 2【试题解析】 本方程是一可分离变量方程，由 yy0 知， lny lnlnC 1 从而 yC，又 y(1) 2，则 C2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 方程 是一个齐次方程，因此令 u，则 yu ， ，代入原方程得 由 y 1 1 知，1C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 方程 yy0 是一个变量可分离方程，原方程可改写为 由y(1)1 知 C1，则
11、 y【知识模块】 微积分9 【正确答案】 (C1C 2)【试题解析】 方程 yy 0 的特征方程为 2 0 特征根为1 2 ，则其通解为 y (C1C 2)【知识模块】 微积分10 【正确答案】 2e e 2【试题解析】 原方程的特征方程为 2 20 特征根为 11， 22 原方程的通解为 yC 1eC 2e2 由 y(0)3，y(0)0 得 则C12，C 21，y2e e 2 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (1)当需求量等于供给量时 因此均衡价格为 Pe (2)由条件知 从而有 两边积分得 p 3p 33ce -3kbt 由条件 p
12、(0)1，可得c1p 33，于是价格函数为 p(t) (3)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 原方程相应的齐次方程的特征方程为 r 25r60 解得，r12 ，r 2 3 则齐次方程通解为 YC 1e-2C 2e-3 设齐次方程特解为y*Ae ，代入原方程得 A1 则原方程通解为 yC 1e2 C 2e3 e 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 由一阶线性方程求解公式得 ye cosd (ln)esin ecosddCe sin lndCeln C【知识模块】 微积分14 【正确答案】 原方程两边同除以 y，得 令 u，则原方程化为 两边积分得 u2lnC 将 代入上式得：y 22
13、2(lnC) 由条件y e 2e 得，c1，于是，所求特解为 y 22 2(ln1)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 等式 f()2 0f(t)dt 2 两边求导得 f()2f()2 这是一个一阶线性微分方程，由求解公式得 由原方程易知 f(0)0，由此可得 C 故【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由题设和图 218 可知 0f()de 1f() 两端求导得 f()e f() 即 f()f()e 由一阶线性方程求解公式得 f()Ce e 由 f(0)0 得，C 因此，所求函数为 f() (ee )【知识模块】 微积分17 【正确答案】 特征方程为 r24r40，解得 r1r 22，
14、原方程通解为 y(C 1C 2)e2 由初始条件得 C12，C 20，因此，微分方程的特解为 y2e 2 0 y()d 0 2e2 d1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 原式两边对 求导得 f()3f()2e 2 即 f()3f() 2e 2 由一阶线性方程求解公式得 f()e 3d2e2e3d dCe 32e2e3 dCe 32edC 由于 f(0)1，可得 C3于是 f()3e 32e 2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 令 u，当 0 时原方程化为 其通解为 ln(u )lnC 1 代回原变量得 y C(0) 当 0 时，原方程的解与 0 时相同【知识模块】 微积分20 【正
15、确答案】 显然，f(0)1，由于 从而有 f(t) 上式两边对 t 求导得 f(t)8t 8tf(t) 解上述关于 f(t)的一阶线性微分方程得 代入 f(0)1，得C1，因此 f(t)(4t 21)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 V(t) 1tf2()d t2f(t)f(1) 即 31tf2()dt 2f(t)f(1) 两边对 t 求导得 3f 2(t)2tf(t)t 2f(t) 将上式改写为 2y3y 22y 即 令 u，则有 两边积分得 从而有 yc 3y 由已知条件求得 c1，从而所求的解为 y 3y【知识模块】 微积分22 【正确答案】 当 1 时，有 y2y2，其通解为 y
16、C 1e21 (1) 由 y(0)0 知，C 11，所以 ye 21，(1) 当 1 时，有 y2y0，其通解为yC 2e2(1) 由 e 21 得 C21e 2 ，所以 y(1e 2 )2 (1) 因此 y()【知识模块】 微积分23 【正确答案】 齐次方程 y2y0 的特征方程为 220，由此得10， 22对应齐次方程的通解为 C 1C 2e2 设非齐次方程的特解为y*Ae 2代入原方程得 从而所求解为 y (32)e 2【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)因为 所以 yyye (2)与 yyye 相应的齐次微分方程为 yyy0 其特征方程为 2 10 特征根为 1，2 因此齐次
17、微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 y *Ae 将 y*代入方程yyye 得 A ，于是 y * e 方程通解为 当 0 时，有 由此，得 C1 ，C 20 于是幂级数 的和函数为【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1)由 F()f()g() f()g()g 2()f 2() f()g() 22f()g() 4e 22F() 则 F()所满足的一阶方程为 F()2F()4e 2 (2)方程 F()2F()4e 2是一个一阶线性方程，由求解公式得 F()e 2d 4e2.e2ddC e 2Ce 2 将 F(0)f(0)g(0)0 代入上式得 C 1 故 F()e 2e 2【知识模块
18、】 微积分26 【正确答案】 由题设可知旋转体体积为 V 1tf2()d 曲边梯形的面积为S 1tf()d 由题设可知， 1tf2()dt 1tf()d 即 1tf2()dt 1tf()d 上式两端对 t求导得 f 2(t) 1tf()dtf(t) (*) 继续求导得 2f(t)f(t)f(t) f(t)tf(t) 即(2yt)2y (其中 yf(t) 在(*)式中令 t1 得 f2(1)f(1)，即 f(1)1 或 f(1)0而由题设知 f(t)1，则 f(1)1，代入 t 知，C ，即 t 则所求曲线方程为 2y 30【知识模块】 微积分27 【正确答案】 () 联立 得 f()3f()e
19、 ，因此 f()e 3d(2e )e3d dC)e Ce 3 代入 f() f()2e ，得 C0，所以 f()e 当0 时，y 0；当 0 时，y0，又 y(0) 0，所以曲线的拐点为(0，0) 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 ecosyu，则 将以上两个式子代入 (4z e cosy)e得 f(u)(4f(u)u) 即 f(u)4f(u)u 由一阶线性方程的通解公式可知 由 f(0)0 得 C ，则 f(u) (e4u4u1)【知识模块】 微积分29 【正确答案】 曲线 yf()在点( 0，f( 0)处的切线方程为 yf( 0)f( 0)( 0) 令 y0 得， 0 切线 yf( 0)f( 0)( 0)，直线 0 及 轴所围区域的面积 即 4，记 yf( 0)，则 y24y 解方程得 C 由y(0)2 知， C4， 则所求曲线方程为 y 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 令 ut，则 0f(t)dt 0(u)du 由题设 0f(u)du 0f(t)dt 0tf(t)dte 1， 由题设 0f(u)du 0f(t)dt 0tf(t)dte 1，求导得 f() 0f(t)dte ，且 f(0) 1 因此 f()f()e ， 从而 f()e d(Ce ed d) 由 f(0)1，得 C ，所以 f() (ee )【知识模块】 微积分
