1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 31 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2009 年) 当 x0 时，f(x)=xsinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则（ ) 2 (1994 年) 曲线 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 (2006 年) 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f(x) 0， x 为自变量 x 在点x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy
2、04 (2017 年) 设函数 f(x)可导，且 f(x)f(x)0，则( )（A）f(1)f( 一 1)（B） f(1)f(一 1)（C） f(1) f(一 1)（D）f(1)f( 一 1)5 (2008 年) 如图，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0axf(x)dx 等于( )（A）曲边梯形 ABOD 的面积（B）梯形 ABOD 的面积（C）曲边三角形 ACD 的面积（D）三角形 ACD 面积6 (1996 年) 累次积分 可以写成( )7 (2017 年) 二元函数 z=xy(3 一 xy)的极值点是（ ）（A）(0 ，0)（B） (0，
3、3) （C） (3，0) （D）(1 ，1)8 (2011 年) 设 un是数列，则下列命题正确的是( )二、填空题9 (2002 年) 设常数 =_10 (1996 年) 设 (x1，y 1)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_11 (2013 年) 设曲线 y=f(x)与 y=x2 一 x 在点(1 ，0)处有公共切线，则=_。12 (1999 年) 设 f(x)有一个原函数 =_13 (2017 年) =_14 (2009 年) 设 z=(x+ey)x，则 =_15 (2013 年) 微分方程 的通解为 y=_三、解答题解答应写出文字说明、
4、证明过程或演算步骤。16 (1991 年) 求极限 其中 n 为给定的自然数17 (1994 年) 假设 f(x)在a，+)上连续，f(x) 在(a ，+)内存在且大于零，记 F(x)=证明：F(x)在(a，+)内单调增加18 (2004 年) 求19 (2015 年) 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型设 Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性(0)()证明定价模型为 ；() 若该商品的成本函数为 C(Q)=1600+Q2，需求函数为 Q=40一 p，试由() 中的定价模型确定此商品的价格20 (1995 年) 设 试讨论 f(x)在 x=0 处的连
5、续性和可导性21 (2002 年) 设函数 f(x)， g(x)在a，b 上连续，且 g(x)0利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点 a，b，使 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx22 (1989 年) 已知 z=f(u，v)，u=x+y ，v=xy，且 f(u，v)的二阶编导数都连续，求23 (1999 年) 计算二重积分 其中 D 是由直线 x=一 2，y=0，y=2 以及曲线所围成的平面区域24 (2006 年) 计算二重积分 其中 D 是由直线 y=x，y=1，x=0 所围成的平面区域25 (2014 年) 设平面区域 D=(x，y)1x 2+y24，x0，y0，计算2
6、6 (1988 年) 设级数 绝对收敛27 (2008 年)设银行存款的年利率为 r=005，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元?28 (1996 年) 求微分方程 的通解考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 31 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于当 x0 时，f(x)=xsinax 与 y(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则故应选 A2 【正确答案】 B【试题解
7、析】 则x=0 为原曲线一条垂直渐近线3 【正确答案】 A【试题解析】 直接法 由于 dy=f(x0)x y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x (x0x 0+x) 由 f(x)0，则 f(x)单调增，又x0，且 f(x)0，则 0dy y 故应选 A4 【正确答案】 C【试题解析】 直接法由 f(x)f(x)0 知 则单调增，从而 f2(x)单调增，由此可知 f 2(1)f 2(一 1)上式两端开方得 f(1)f( 一 1)5 【正确答案】 C【试题解析】 0axf(x)dx=0axdf(x)=xf(x) 0a 一 0a f(x)dx =af(x)一 0af(x)dx 其中af(a)应等
8、于矩形 ABOC 的面积， 0af(x)dx 应等于曲边梯形 ABOD 的面积，则0axf(x)dx 应等于曲边三角形 ACD 的面积6 【正确答案】 D【试题解析】 所以应选D7 【正确答案】 D【试题解析】 容易代入上式验证(0， 0)，(0，3)，(3，0)，(1，1)都是驻点在(0，0)点处，ACB 2=一 90，无极值；在(0 ，3) 点处，ACB 2=一 90，无极值；在 (3，0)点处，ACB 2=一90，无极值；在(1，1) 点处，ACB 2=30，有极值8 【正确答案】 A【试题解析】 根据级数的性质，收敛级数加括号仍收敛，故应选 A二、填空题9 【正确答案】 应填【试题解析
9、】 10 【正确答案】 应填 (或 ax02=c)，b 任意【试题解析】 y=2ax+b， y(x0)=2ax0+b 过(x 1，y 0)的切线方程为 yy0=(2ax0+b)(xx0)即 y 一 (ax02+bx0+c)=(2ax0+b)(xx0)由于此切线过原点，把 x=y=0 代入上式，得 一 ax02 一 bx0 一 c=一 2ax02 一 bx0，即 ax02=c 所以，系数应满足的关系为(或 ax02=c)，b 任意11 【正确答案】 应填一 2【试题解析】 由题设知 f(1)=0，f(1)=1 12 【正确答案】 应填【试题解析】 由于 f(x)有一个原函数为 ，则13 【正确答
10、案】 应填【试题解析】 14 【正确答案】 应填 21n2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x 知，z(x ，0)=(x+1) x15 【正确答案】 应填【试题解析】 方程 的特征方程为 特征根为，则其通解为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 令 (x)=f(x)(x 一 a)一 f(x)+f(a)(xa) 由于 (x)=f(x)(x 一 a)+f(x)一 f(x)=(x 一 a)f(x)0 (xa)则 (x)在(a，+) 上单调上升，且 (x)(a)=0 ，故所以 F(x)单调上升18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 由收益
11、R=pQ，得边际收益欲使利润最大，应有 MR=MC，即所以定价模型为所以此商品的价格为 P=3020 【正确答案】 则f(0+0)=f(0 一 0)=f(0)，故 f(x)在 x=0 处连续即 f+(0)=f (0)，则 f(x)在 x=0 处可导21 【正确答案】 因为 f(x)，g(x) 在a，b上连续，且 g(x)0，由最值定理，知 f(x)在a ，b上有最大值 M 和最小值 m，即 mf(x)M 故 mg(x)f(x)g(x)Mg(x) abmg(x)dxabf(x)g(x)dxabMg(x)dx 由介值定理知，存在a， b，使 即 abf(x)g(x)dx=f()abg(x)dx22
12、 【正确答案】 由复合函数求导公式得 = fu(u，v)+y f v(u，v)=fuu(u，v)+x f uv(u，v)+ fv(u，v)+y fvu(u，v)+xy f vv(u，v)=f uu+(x+y)fuv+xyfvv+fv23 【正确答案】 24 【正确答案】 25 【正确答案】 由于积分域 D 关于直线 y=x 对称，则26 【正确答案】 由不等式 2aba2+b2 可知，应考虑级数 因为a nbn= (an2+bn2)而绝对收敛27 【正确答案】 一笔数量为 A 的本金，若年利率为 r，按复利的计算方法，则第一年末的本利和为 A(1+r)，第 n 年的本利和为 A(1+r)n(n
13、=1，2，)。假定存 n 年的本金为 An，则第 n 年末的本利和为 An(1+r)n(n=1，2，)为保证第 n 年能提取(10+9n)万元，必须要求第 n 年末的本利和最少应等于(10+9n) 万元，即 A n(1+，)n=(10+9n) (n=1，2，) A n=(1+r)n (10+9n) (n=1，2，)因此，为使第 n 年末提取(10+9n)万元，事先应存入本金 A n=(1+r)n (10+9n)万元如果按此规律一直提下去，则事先应存入的本金总数为 由以上分析知故 A=200+9B420=3980(万元)，即至少应存入 3980(万元)28 【正确答案】 令 当 x0 时原方程化为当x0 时，原方程的解与 x0 时相同
