1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2009 年) 函数 的可去间断点的个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个2 (1995 年) 设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为( )（A）2（B） 1（C）（D）23 (2006 年) 设函数 f(x)在 x=0 处连续， ，则( )（A）f(0)=0 且 f (0)存在（B） f(0)=1 且 f (0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在4 (201
2、8 年) 下列函数中，在 x=0 处不可导的是( )（A）f(x)=xsin x（B）（C） f(x)=cosx（D）5 (2009 年) 设函数 y=f(x)在区间一 1，3上的图形为则函数 F(x)=0xf(t)dt 的图形为( )6 (1999 年) 设 f(x，y)连续，且 其中 D 是由y=0，y=x 2， x=1 所围区域，则 f(x，y)等于( )（A）xy（B） 2xy（C）（D）xy+17 (2012 年) 已知级数 条件收敛，则( )二、填空题8 (2004 年) 若 ，则 a=_，b=_9 (1997 年) 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f 可微，则 dy=_10
3、 (2014 年)设某商品的需求函数为 Q=402p(p 为商品的价格)，则该商品的边际收益为_11 (2000 年) =_。12 (1991 年) 设 z=esinxy，则 dz=_13 (2011 年) 设函数 则 dz (1，1) =_14 (2015 年)设函数 y=y(x)是微分方程 y+y一 2y=0 的解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3，则 y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 (2008 年) 计算16 (1995 年) 设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数为 R=PQ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量，(产品的产量)，Q(P)是
4、单调减函数如果当价格为 P0，对应产量为 Q0 时，边际收益 ，收益对价格的边际效应，需求对价格的弹性为 Ep=b 1，求 P0 和 Q017 (2004 年) 设某商品的需求函数为 Q=1005P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量 )求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0)； )推导 (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加18 (2015 年) )设函数 u(x)，v(x)可导，利用导数定义证明u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)； ) 设函数 u1(x)，u 2(x)，u n(x)可导，f(x)=u 1(x)u2(x)un(
5、x)，写出 f(x)的求导公式19 (1987 年) 求20 (1995 年) 设 f(x)、g(x)在区间一 a，a(a 0)上连续g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(一 x)=A(A 为常数)(1)证明 a af(x)g(x)dx=A0ag(x)dx(2)利用(1)的结论计算定积分21 (2004 年) 设 f(x)，g(x)在a，b 上连续，且满足 axf(t)dtaxg(t)dt，xa,b； abf(t)dt=abg(t)dx 证明： abxf(x)dxabxg(x)dx22 (1990 年) 计算二重积分 其中 D 是由曲线 y=4x2 和 y=9x2 在第一象限所
6、围成的区域23 (1999 年) 设生产某种产品必须投入两种要素，x 1 和 x2 分别为两要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为 Q=2x1x2，其中 ， 为正常数，且 +=1，假设两种要素的价格分别为 p1 和 p2，试问：当产量为 1 2 时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?24 (2007 年) 设二元函数 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)x +y2)25 (2015 年) 计算二重积分 其中 D=(x，y)x 2+y22，yx 226 (1989 年) 已知函数 试计算下列各题：(1)S0=02f(x)ex dx(2)S1=24(x 一 2)ex dx(3)Sn=2n2
7、n+2f(x 一 2n)ex dx(n=2，3，)(4)27 (2014 年) 求幂级数 的收敛域及和函数28 (1997 年) 设函数 f(t)在0，+) 上连续，且满足方程求 f(t)考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 x=k(k=0，1，2，)时，sinnx=0，则这些点都是 f(x)的间断点而当 x=0，1 时，x x3=0，又则 x=0，x=1 为 f(x)的可去间断点，其余均为无穷间断点故应选 C2 【正确答案】 D【试题解析】 由得 f(1)=一 2所以，应选 D
8、3 【正确答案】 C【试题解析】 直接法故应选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 由导数定义知该极限不存在，则 在 x=0 处不可导，故应选 D5 【正确答案】 D【试题解析】 由题设知，当 X(一 1，0) 时 F(x)=f(x)，而当 x(一 1，0)时 f(x)1 0，即 F(x)0，从而 F(x)单调增显然 A 选项是错误的，因为 A 选项中 F(x)在(一 1，0) 中单调减 由于 F(x)=0xf(t)dt，则 F(0)=0，显然 C 选项错误 由于当x(2，3时 f( x)0，则当 x(2，3时 F(x)= 0xf(t)dt=02f(t)dt+2xf(t)dt=02f(t)dt
9、+2x0dt=F(2) 则 B 是错误的，D 是正确的6 【正确答案】 C【试题解析】 令则 f(x，y)=xy+A，将 f(x， y)=xy+A 代入(*) 式得7 【正确答案】 D【试题解析】 又由 条件收敛知 02 一 a1 则 1a2 故 应选 D二、填空题8 【正确答案】 应填 a=1，b=一 4【试题解析】 当 a=1 时，又 1b=5，则 b=49 【正确答案】 应填【试题解析】 由 y=f(lnx)ef(x)可知10 【正确答案】 应填 20Q【试题解析】 由题设知收益函数为 则边际收益为11 【正确答案】 应填【试题解析】 12 【正确答案】 应填 esinxycosxy(y
10、dx+xdy)【试题解析】 dz=de sinxy=esinxydsinxy=esinxycosxyd(xy)=esixnycosxy(ydx+xdy)13 【正确答案】 应填(1+21n2)(dxdy)【试题解析】 令 则 z=(1+u)u=euln(1+u)14 【正确答案】 应填 2ex+e2x 【试题解析】 原方程的特征方程为 2+ 一 2=0 特征根为 1=1， 2=一 2 原方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x 由 y(0)=3，y(0)=0 得 则C1=2， C2=1， y=2ex+e2x 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案
11、】 由收益 R=PQ 对 Q 求导，有由收益 R=PQ 对 P 求导，有17 【正确答案】 () ()由 R=PQ，得当 10P20 时，E d1，于是 故当 10P20 时，降低价格反而使收益增加18 【正确答案】 (I)令 f(x)=u(x)v(x)，由导数定义得=u(x)v(x)+u(x)v(x)()若 f(x)=u1(x)u2(x)un(x)，则(z)=u 1(x)u2(x)un(x)+u1(x)u2(x)un(x)+u1(z)u2(x)un(x)19 【正确答案】 20 【正确答案】 由于 a af(x)g(x)dx=a 0f(x)g(x)dx+0af(x)g(x)dx 又 a 0f
12、(x)g(x)dx0af(t)g( t)dt= 0af(t)g(t)dt= 0a(一 x)g(x)dx 所以 a af(x)g(x)dx=0af(x)+f(x)g(x)dx=A 0ag(x)dx(2) 取 f(x)= arctanex，f(x)= sinx， f(x)+f(一 x)=arctanex+arctanex 由于 则 arctanex+arctanex =A 令 x=0，得 2arctan1=A，21 【正确答案】 不等式 axf(t)dtaxg(t)dt 两端从 a 到 b 积发得 abdxaxf(t)dtabdxaxg(t)dt 交换累次积分次序得 abdttbf(t)dxabd
13、ttbg(t)dx ab(b 一 t)f(t)dtab(b一 t)g(t)dt 即 babf(t)dtabtf(t)dtbabg(t)dtabtg(t)dt 又 abf(t)dt=abg(t)dt 则 一 abtf(t)dt abtg(t)dt 故 abtf(t)dtabtg(t)dt 即 abxf(x)dxabxg(x)dx22 【正确答案】 本题也只能先对 x 积分，因为e y2 dy 是积不出的，因此应先画草图(如图 29 所示) ， 把原积分化为先对 x 后对 y 的积分23 【正确答案】 需要在产出量 2x1x2=12 的条件下，求总费用 p1x1+p2x2 的最小值，为此作拉格朗日
14、函数 F(x 1，x 2，)=p 1x1+p2x2+(122x1x2)因驻点唯一，且实际问题存在最小值24 【正确答案】 由于被积函数 f(x，y)关于 x 和 y 都是偶函数，而积分域 D 关于 x轴和 y 轴都对称，则 其中 D1 为直线 x+y=1 与 x 轴和 y 轴围成的区域，D 2 为直线 x+y=1，x+y=2 与 x 轴和 y 轴所围成的区域(如图所示) 25 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以26 【正确答案】 (1)S 0=01xex dx+12(2 一 x)ex dx=(1e 1 )2(2)S1=24f(x 一 2)ex dx02f(t)et2 dt=e2 S0(3)Sn=2n2n+2f(x 一 2n)ex dx 02f(t)et2n dt=e2n S0(4)27 【正确答案】 R=1，当 x=1 时原级数显然发散，则其收敛域为(一 1，1) 28 【正确答案】 显然，f(0)=1，由于上式两边对 t 求导得 f(t)=8te 4t2+8tf(t)解上述关于 f(t)的一阶线性微分方程得 f(t)=e8tdt8te4t2e8tdt dt+C=e4t28tdt+C=(4t2+C)e4t2 代入 f(0)=1，得 C=1，因此f(t)=(4t2+1)e4t2
