1、考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (93 年 )设函数 则 f()在 0 处 【 】（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 (94 年 )曲线 y 的渐近线有 【 】（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条3 (95 年 )设 f()为可导函数，且满足条件 1，则曲线 yf()在点(1，f(1)处的切线斜率为 【 】（A）2（B） 1（C）（D）24 (97 年 )若 f()f()( )，在(，0)内 f()0，且 f()0，则在(0， )内有 【 】（A）f() 0
2、，f ()0（B） f()0，f()0（C） f()0，f()0（D）f() 0，f ()05 (98 年 )设周期函数 f()在(，) 内可导，周期为 4，又 1，则曲线yf()在点(5，f(5)处的切线斜率为 【 】（A）（B） 0（C） 1（D）26 (00 年 )设函数 f()在点 a 处可导，则函数f()在点 a 处不可导的充分条件是 【 】（A）f(a)0 且 f(a)0（B） f(a)0 且 f(a)0（C） f(a)0 且 f(a)0（D）f(a)0 且 f(a)07 (01 年 )设 f()的导数在 a 处连续，又 1，则 【 】（A）a 是 f()的极小值点（B） a 是
3、f()的极大值点（C） (a，f(a)是曲线 yf() 的拐点（D）a 不是 f()的极值点，(a ，f(a)也不是曲线 yf()的拐点二、填空题8 (93 年 )已知 y ，f()arctan 2，则 _ 9 (94 年 )已知 f(0)1，则 _10 (94 年) 设方程 eyy 2cos 确定 y 为 的函数，则 _11 (95 年) 设 f() ，则 f(n)()_12 (96 年) 设方程 y y 确定 y 是 的函数，则 dy _13 (96 年) 设( 0，y 0)是抛物线 ya 2b c 上的一点若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_14 (97 年) 设 yf(ln)e
4、 f()，其中 f 可微，则 dy_ 15 (98 年) 设曲线 f() n 在点(1，1) 处的切线与 轴的交点为( n，0)，则 f(n)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 (92 年) 求证：当 1 时，17 (93 年) 设某产品的成本函数为 Caq 2bqc ，需求函数为 q (dp)其中 C 为成本，q 为需求量(即产量)，p 为单价，a， b，c ，d，e 都是正的常数，且db求： (1)利润最大时的产量及最大利润； (2)需求对价格的弹性； (3)需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量18 (93 年) 假设函数 f()在0，1上连续，在(0，1)内二阶可
5、导，过点 A(0，f(0)与B(1，f(1)的直线与曲线 yf() 相交于点 C(c，f(c)，其中 0c1证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使 f()019 (94 年) 假设 f()在， )上连续，f()在(a，)内存在且大于零，记 F()(a) 证明：F()在(a ，) 内单调增加20 (95 年) 设某产品的需求函数为 QQ(P)，收益函数为 RPQ ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量，(产品的产量)，Q(P)是单调减函数如果当价格为 P0，对应产量为 Q0 时，边际收益 a0，收益对价格的边际效应 c0需求对价格的弹性为 Epb1，求 P0 和 Q021 (96 年) 设 f()
6、 其中 g()有二阶连续导数，且 g(0)1，g(0)1 (1)求f()； (2)讨论 f()在( ，)上的连续性22 (96 年) 设某种商品的单价为 p 时，售出的商品数量 Q 可以表示成Q c其中 a、b、c 均为正数，且 abc (1)求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少； (2)要使销售额最大，商品单价 P 应取何值? 最大销售额是多少?23 (97 年) 在经济学中，称函数 Q() 为固定替代弹性生产函数，而称函数AK L1- 为 CobbDouglas 生产函数，(简称 CD 生产函数) 试证明：当0 时，固定替代弹性生产函数变为 CD 生产函数，即有24 (97 年)
7、 一商家销售某种商品的价格满足关系 P 702( 万元吨)， 为销售量(单位：吨 )，商品的成本函数是 C31( 万元)(1)若每销售一吨商品，政府要征税 t(万元) ，求该商家获最大利润时的销售量；(2)t 为何值时，政府税收总额最大25 (98 年) 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t0)就售出，总收入为R0(元)如果窖藏起来，待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为 R 假定银行的年利率为 r，并以连续复利计息，试求窑藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 r006 时的 t 值26 (98 年) 设函数 f()在a， b上连续，在(a，b)内可导，且 f()0试证存在.(a，b
8、)，使得27 (99 年) 设函数 f()在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1) 0，f() 1试证 (1)存在 ( ，1)，使 f() (2)对任意实数 ，必存在(0， )，使得 f()f()128 (00 年) 求函数 y( 1) 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线29 (01 年) 已知 f()在(，) 上可导，且 f()e 求 c 的值考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于当 0 时，sin 为有界变量， 为无穷小量， 则0，且 f(0)0，则
9、f()在 0 处连续 但 不存在， 则 f()在 0 处不可导【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 则 y 为其一条水平渐近线，又 则 0 为原曲线一条垂直渐近线【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 由 1 得 f(1)2所以，应选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f()f() ()知，f()的图形关于 y 轴对称由在(， 0)内 f()0 且 f() 0 知，f()的图形在( ，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，)内f()的图形单调下降，且是凸的，则 C 为正确选项【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】
10、 由题设 f()在( ，)内可导，且 f()f(4)，两边对 z 求导，则 f()f( 4) ，故 f(5)f(1) 由于 则 f(1)2，故 yf()在点(5，f(5)处的切线斜率为 f(5)2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 排除法如 f()(a) 2，f(a)0，且 f(a)0，而f()(a)2 在 a 处可导，所以 A 不正确 又如 f()， a1，则 f(a)10，f(a)10 而f()在 1 处可导，故 C 不正确； 若 f()，a1，显然 f()满足 D 选项中条件，但 f()在 1 处可导，所以 D 不正确，从而应选 B 【知识模块】 微积分7 【正确答案】
11、 B【试题解析】 由于 f() .(a)(a) 及 f()在 a 连续 则 又由10 及极限的局部保号性知，存在 0，当 0a 时0 从而当 (a ，a)时，f()0；当 (a，a)时，f()0 又 f(a)0，则 a 是 f()的极大值点【知识模块】 微积分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1【试题解析】 原式 1【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 方程 eyy 2cos 两边对 求导，得 ey(yy)2yysin 解得 y【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 由于 f() 12(1 ) -11 f()2.(1)
12、(1) -2，f()2.( 1).(2)(1 ) 3 ， f (n)()2(1) (n)!(1) -(n+1)( 1) n【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 方程 y y 两边取对数得：lnylny 上式两边求微分得d(lny1)dy 则 dy【知识模块】 微积分13 【正确答案】 0(或 a02c)，b 任意【试题解析】 y2ab，y( 0)2a 0b 过( 0，y 0)的切线方程为yy 0(2a 0b)( 0) 即 y(a 02b 0c)(2a 0b)( 0) 由于此切线过原点，把 y0 代入上式，得 a 02b 0c2a 02b 0，即 a02c 所以，系数应满足的关系
13、为 0(或 a02c)，b 任意【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由 yf(ln)e f()可知【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 设 f()在点(1 ，1)处的切线为 yab 则 当 y0 时， n因此，【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 令 f() 则 因为 f()在1，)上连续，所以 f()在1， )上为常数，故 f()f(1)0 即【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (1)利润函数为 Lpqc (deq)q(aq 2bqc)(db)q(e a)q 2c 从而 (db)2(e a)q，令 0
14、得，q 因为2(ea)0，所以，当 q 时，利润最大 (2)由 q(p) (dp)，得 q(p) 所以需求对价格的弹性为 (3)由1 得 q【知识模块】 微积分18 【正确答案】 过 A，B 两点的直线方程为 yf(1)f(0)f(0) 令 G()f()f(1)f(0)f(0) 则 G(0)G(c) G(1) 0 由罗尔定理知 (0，1)，使 G()0，而 G() f() 故 (0，1)使 f()0【知识模块】 微积分19 【正确答案】 F() 令 ()f()( a)f()f(a) (a) 由于 ()f()(a) f()f()( a)f ()0 (a) 则 ()在(a，)上单调上升，且()(a
15、)0，故 F() 0，所以 F()单调上升【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由收益 RPQ 对 Q 求导，有 由收益 RPQ 对 P 求导，有于是 Q0【知识模块】 微积分21 【正确答案】 (1)当 0 时，有 当 0 时，由导数定义，有 所以 (2)因为在 0 处 而 f()在 0 处是连续函数所以，f()在(，)上为连续函数【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (1)设售出商品的销售额为 R，则 令 R0，得 当 0p时，R 0，所以随单价 p 的增加，相应销售额也将增加 当 P 时，有R0所以随单价 P 的增加，相应销售额将减少 (2)由(1) 可知，当 p 时，销售额 R 取
16、得最大值，最大销售额为【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为 lnQ()lnA lnK (1)L 而且 所以lnQ()lnAln(K L1 )ln(AK L1-) 于是 AK L1- 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 (1)设 T 为总税额，则 Tt；商品销售总收入为Rp(7 02)702 2 利润函数为RCT7 02 231t02 2(4t)1 令 0，即044 t0 得 (4t) 由于 040，因此 (4t)即为利润最大时的销售量 (2)将 (4t)代入 Tt，得 由 105t 0 得唯一驻点 t2；由于 50，可见当 t2 时 T 有极大值，这时也为最大值，此时政府税收总额最
17、大【知识模块】 微积分25 【正确答案】 根据连续复利公式，这批酒在窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为A(t)Re -rt，而 RR 0 所以 A(t)R 0 令 0，得唯一驻点 t0 又 则有 于是，t 0 是极大值点即最大值点，故窖藏 t (年)售出，总收入的现值最大 当 r006 时 t 11(年)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)f(a)f()(ba) ab 由柯希中值定理知， ab 即 f(b)f(a)(e be a) 从而有 f()(ba)(e be a) 故【知识模块】 微积分27 【正确答案】 (1)令 ()f() ，则 ()在0，1上连
18、续又 (1)10，0，由介值定理可知，存在 ( ，1)，使得 ()f() 0 即 f() (2)要证 f()f()1，即要证 f()1f()0 也就是要证 ()()0，因此构造辅助函数 F()e -()e f() 则 F()在0， 上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，)使得 F()0 即 e ()()0 而e 0，从而有 ()()0 即 f()f() 1【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 y0，得驻点 10， 2 1 列表 由此可见，递增区间为(， 1)，(0，)；递减区间为(1，0) 极小值为 f(0) ；极大值为 f(1)2 由于 可见渐近线为 y1a 1b 1e (2)，y2a 2b 22【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由拉格朗日定理知 f()f( 1)f().1 其中 介于 1 与 之间，那么 f()f(1) f()e 于是，e 2ce，故 c【知识模块】 微积分
