1、考研数学三（微积分）模拟试卷 102 及答案与解析一、填空题1 =_.2 设 y=f(x)满足 且 f(0)=0，则 01f(x)dx=_3 设 f(x)在a ，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 abf2(x)dx=1，则 abxf(x)f(x)dx=_4 已知 f(x)连续, 01f(x)dx=5，则 01f(x)x1(t)dxdx=_5 设 f(x)具有连续导数，且 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，则 f(0)=_6 已知 f(x)=1x2e-t2dt，则 01xf(x)dx=_7 0+x7e-x2dx=_8 =_9 =
2、_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求下列积分(其中 n=1，2，3，) ：11 设 a0， f(x)在( 一， +)上有连续导数，求极限12 求 其中 f(t)为已知的连续函数， (x)为已知的可微函数13 设 f(x)在( 一，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令(I)试求 A 的值，使 F(x)在(一，+)上连续；( )求 F(x)并讨论其连续性14 设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足求 f(x)15 求函数 在区间e， e2上的最大值16 求下列平面图形的面积： (I)y=x，y=xlnx 及 x 轴所围图形；()y=
3、sinx ，y=cosx，x=0，x=2 所围图形17 设由曲线 与直线 y=a(其中常数 a 满足 0a 1)以及 x=0，x=1围成的平面图形(如右图的阴影部分)绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(a)，求V(a)的最小值与最小值点18 设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x)0xf(x 一 t)dt=sin4x，求 f(x)在 148 上的平均值19 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 证明：在(0， 1)内至少存在一点 c，使 f(c)=020 设 f(x)为连续函数，证明：21 设 f(x)在A，B上连续，AabB，求证：22 设 f(x)在( 一，+
4、)上具有连续导数，且 f(0)0令 F(x)=0x(2t 一 x)f(t)dt求证：(I)若 f(x)为奇函数，则 F(x)也是奇函数 ()(0，0)是曲线 y=F(x)的拐点23 证明：当 x0 且 n 为自然数时考研数学三（微积分）模拟试卷 102 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 由于 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt=x20x(t)dt 一 0xt2f
5、(t)dt，所以 F(x)=2x0xf(t)(x2f(x)x 2f(x)=2x0xf(t)dt又依题设，当 x0 时 F(x)与 x2 为等价无穷小，从而【知识模块】 微积分6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 3【试题解析】 t33e-tdt=e-t(at3+bt2+dt+e)+C，两边求导得 t3e-t=e-t一 at3+(3ab)t2+(2bd)t+de，比较两边 t 的同次幂项的系数得 a=一 1， b=一 3，d= 一 6， e=一 6于是【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 因(xe
6、x)=ex(x+1)，令 xex=t，则 dt=ex(x+1)dx，于是【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (I)()建立 Jn 的递推公式首先【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 (I)由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 f(x)连续及 xx 可导知 f2(x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2(x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)
7、f(c)=f(x).2xf(x)=x在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0【知识模块】 微积分15 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大 (小)值必在端点处取得由可知 f(x)在e，e 2上单调增加，故【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (I)如图 33由 x=xlnx，知两曲线的交点为(e，e) 由图形可以看出，阴影部分的面积等于三角形的面积 减去定积分 1exlnxdx，即()如图 34所求面积为【知识模
8、块】 微积分17 【正确答案】 由曲线 与直线 y=a(其中 0a1)以及 x=0，x=1 围成的平面图形分为左、右两个部分区域，即(见图 35)在 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状是圆形薄片，其半径为 ，厚度为 dy,从而这个圆形薄片的体积 dV=(1 一 y2)dy，于是区域 D1 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积在 D2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体中满足 yy+dy 的一层形状为圆环形薄片，其内半径为 ，外半径为 1，厚度为 dy，从而这个圆环形薄片的体积为 dV=1一(1 一 y2)dy=y2dy，故区域 D2 绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积把
9、V1(a)与 V2(a)相加，就得到了【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由于 ，根据积分中值定理，因而 根据题设 f(x)在0，上满足罗尔定理的条件，因此 ，使得 f(c)=0成立【知识模块】 微积分20 【正确答案】 在左端表达式中令 x=2t，可得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当 xa， b，h充分小时，x+h A，B，因而 f(x+h)一 f(x)在a， b上连续对 ab(x+h)dx 作积分变量替换，则有由于上式每一项对 h 可导且 h0 时均趋于零因此，由洛必达法则有【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (I)F(x)在 (一
10、 ，+) 上有定义，且 F(x)=20xtf(t)dt 一 x0xf(t)dt，故F(一 x)=20-x(t)dt+x0-xf(t)dt作换元 t=一 u，则当 t：0一 x u：0x，且 dt=一du，代入可得 有 F(一 x)=20x(一 u)f(一 u)(一 du)+x0xf(一 u)(一 du)=一 20xu一f(一 u)du+x0x-f(一 u)du=20xuf(u)du+x0xf(u)du=一 20xuf(u)dux0xf(u)du=一 F(u)，这表明 F(x)是(一，+)上的奇函数() 显然 F(0)=0，由 f(x)在(一，+)上有连续导数，且 f(0)0 知 使当x 时 f
11、(x)与 f(0)同号为确定起见，无妨设 f(0)0，于是当x 时 f(x)0计算可得 F(x)=2xf(x)一 0xf(x)dtxf(x)=xf(x)一 0xf(t)dt，故(0，0)是曲线y=F(x)的拐点【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 f(x)=0x(t 一 t2)sin2ntdt，则 f(x)=(x 一 x2)sin2nx当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，) 时 f(x)=0 外，均有 f(x)0，故 f(x)在 0x1 单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当t0 时，sintt ，于是当 x0 时有 f(x)f(1)=01(t 一 t2)sin2ndt01(t 一 t2)t2ndt【知识模块】 微积分
