1、考研数学三（微积分）模拟试卷 106 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 ysinx=ylny 满足定解条件 的特解是（A）（B） esinx （C）（D）2 若 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C 1x2+C2x+C3（B） x2+y2=C（C） y=in(C1x)+In(C1sinx)（D）y=C 1sin2x+C2cos2x.3 设 C1 和 C2 是两个任意常数，则函数 y=ex(C1 cos2x+C2 sin2x)+sinx 是二阶常系数线性微分方程( ) 的通解（A）y一
2、 2y+5y=4cosx 一 2sinx（B） y一 2y+5y=4sinx 一 2cosx（C） y一 5 y+2y=4cosx 一 2sinx（D）y一 5y+2y=4sinx 一 2cosx二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 已知方程 y+P(x)y+q(x)y=0，求证： (I) 若 P(x)+xq(x)0，则 y=x 是方程的一个特解； ( )若 m2+mp(x)+q(x)0，则 y=emx 是方程的一个特解5 求下列微分方程的通解：(I)(x 一 2)dy=y+2(x 一 2)3dx；()(1+y 2)dx=(aretany 一x)dy； ()y+2y=sinx
3、；( ) (V) ()()() ()xdyydx=y2eydy；(X)y+5y+6y=e x；()y+9y=6eos3x6 求下列差分方程的通解：(I)y t+1 一 yt=et,中 ， 为常数，且 0()2557 求方程 y+2my+n2y=0 满足初始条件 y(0)=0，y(0)=b 的特解，其中mn0，a，b 为常数，并求 0+y(x)dx=?8 设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一点 M(x，y)处的法线斜率为求此曲线方程9 设 y=y(x)在 0，+)内可导，且在 处的增量y=y(x+x)一 y(x)满足其中当x0 时 是x 的等价无穷小，又 y(0)=2，求 y(x)10 设
4、函数 y(x)连续，且满足 1xy(t)dt 一 2y(x)=x2+1+01y(t)dt，求 y(x)11 设函数 f(x)连续，且 0xf(t)dt=sin2x+0xtf(x 一 t)dt求 f(x)12 设函数 f(x)可微，且满足 求 f(x)13 设二阶常系数线性微分方程 y+y+y=ex 的一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定常数 ，并求该方程的通解14 求 yt+1 一 yt=2t(t 一 1)(t 一 2)的通解15 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce-p(x)dx是方程 y+P(x)y=0 的所有解
5、16 设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 试求：在(一，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在 (一，1)和(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=017 设函数 f(x)连续，且满足18 设 f(x)，g(x) 满足 f(x)=g(x)， g(x)=2e x 一 f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求19 已知微分方程 y+(x+e2y)(y)3=0 (I) 若把 y 看成自变量，x 看成函数，则方程化成什么形式? ()求此方程的解考研数学三（微积分）模拟试卷 106 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】
6、 方程)ysinx=ylny 是可分离变量的微分方程，分离变量得求积分得通解即所求特解为 故应选(D)。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 在所给的选项(A)，(B)，(c)中 y 包含的任意常数都不是两个，因而它们都不能看成某个二阶微分方程的通解，故应选(D)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，e xcos2x 与 exsin2x 是二阶常系数齐次线性微分方程 y+ay+by=0 两个线性无关的特解从而特征方程2+a+b=0 的两个特征根应分别是 1=1+2i， 2=12i，由此可得 2+a+b=( 一12i)( 一
7、1+2i)=( 一 1)2 一(2i) 2=22+1+4=22+5，即 a=一 2，b=5 由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知 sinx 应是非齐次方程 y一 2y+5y=f(x)的一个特解，故 f(x) =(sinx)一 2(sinx)+5 sinx=4sinx 一 2cosx 综合即得所求方程为y一 2y+5y=4sinx 一 2cosx应选(B)【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 (I)用 y=x 代入方程则有 p(x)+xq(x)0，可见当 p(x)+xg(x)0 时 y=x是 方程 y+p(x)y+g(x)y=0 的一个特解 (
8、)用 y=emx 代入方程则有 y+p(x)y+g(x)y=m2+p(x)m+q(x)emx0 故当 m2+p(x)m+q(x)0 时 y=emx 是方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的一个特解【知识模块】 微积分5 【正确答案】 (I)原方程可改写为 这是一阶线性微分方程，用积分因子 同乘方程两端可得 ，两边求积分即得通解 即 y=C(x 一 2)+(x 一 2)3，其中 C 是任意常数() 原方程可改写成 这是以 x=x(y)为未知函数的一阶线性微分方程，用积分因子 同乘方程两端可得两边求积分即得通解即 x=Ce -arctany+arctany 一 1，其中 C 是任意常数( ) 用
9、积分因子 e2x 同乘方程两端，可得因为 e 2xsinxdx=一e 2xd(cosx)=-e2xcosx+2e2xcosxdx=-e2xcosx+2e2xd(sinx)=一e2xcosx+2(e2xsinx 一 2e2xsinxdx)=e2x(2sinx 一 cosx)一 4e2xsinxdx，代入即得通解其中 C 是任意常数()原方程可变形为于是，由一阶线性微分方程公式法，得通解故原方程的通解为 (V)题设方程为齐次微分方程当 x0 时可把方程改写成()题设方程为齐次微分方程，方程可改写成()将 y 看成自变量， x 看成是 y 的函数 x=x(y)，则原方程是齐次微分方程令代入原方程，得
10、 这是一个变量可分离型方程，其通解为 y(eu+u)=C所以原微分方程的通解为 ()因为 ycosy=(siny)，令 u=siny，则原微分方程化为 u+u=x这是关于未知函数 u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 所以原微分方程的通解为 siny=Ce-x+x 一 1()当 y0 时，将原方程变为如下形式：所以原方程是一个全微分方程，其通解为 (X)因特征方程是 2+5+6=(+2)(+3)=0特征根为 1=一 2， 2=一 3而自由项 f(z)=ex，故可设非齐次方程有特解y*=Aex，代入原方程可确定 故方程的通解为(XI)对应的特征方程为 2+9=( 一 3i)(+3i)=
11、0特征根为 1=3i， 2=一 3i，由方程的非齐次项 6cos3x 可知，应设非齐次方程的特解具有形式 y*=x(Acos3x+Bsin3x)计算可得从而 A=0，B=1综合得通解 y=(C2+x)sin3x+C2cos3x【知识模块】 微积分6 【正确答案】 (I)方程的通解可设为 y=Cat+yt*，当 e时，可设 yt=Aet，代入方程可确定 A= 即原方程的通解为 当 =e时可设yt*=Atet，代入方程可确定 A=e-，故方程的通解为 ()【知识模块】 微积分7 【正确答案】 特征方程为 2+2m+n2=(+m)2+n2 一 m2=0，特征根为于是方程的通解为令【知识模块】 微积分
12、8 【正确答案】 由题设知，过曲线上任意点 M(x， y)处的切线斜率为由一阶线性微分方程的通解公式，可得 由曲线过点(e，1)可确定常数 故所求曲线方程为【知识模块】 微积分9 【正确答案】 由题设等式可得从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 注意方程可改写成两边积分得令x=0，y=2 可确定常数 ，故【知识模块】 微积分10 【正确答案】 由 y(x)连续可知 1xy(t)dt 可导，从而 y(x)可导将方程两端对 x 求导，得一阶线性微分方程 y(x)一 2y(x)=2x解之可得通解在原方程两端令 x=1 又有一 2y(1)=2+01y(t)dt，即【知识模块】 微积
13、分11 【正确答案】 将代入原方程即得 0xf(t)dt=sin2x+x0xf(u)du0xuf(u)du 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+0xf(u)du=sin2x+0xf(u)du在上式中令 x=0 可得 f(0)=0，由上式还可见 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得f(x)=2cos2x+f(x)故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 原方程两边对 x 求导，得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入方程可得(4+2+)e
14、2x+(3+2+ 一 )ex+(1+)xex=0，因 e2x， ex 与 xex 线性无关(证明见评注)，故于是所求方程是 y一 3y+2y=一 ex，因特征方程为 2 一 3+2=0 即特征根为 1=2， 2=1，则对应齐次微分方程的通解为C1e2x+C2e2x，由所给特解 y=ex+(1+x)ex 可见非齐次方程有一个特解为 y*=xex综合即得所求通解为 y=C1e2x+C2ex+xex【知识模块】 微积分14 【正确答案】 原差分方程对应的齐次差分方程是 yt+1 一 yt=0，其通解为 yt=C，非齐次差分方程的通解可设为 yt=C+t+t2+t3+t4，代入方程可得比较系数，可得方
15、程组 故所求通解为，其中 C 是任意常数【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则ye p(x)dx=ep(x)dxy+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 yep(x)dx=C，故y=Ce-p(x)dx【知识模块】 微积分16 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起当 x1 时，方程y一 2y=2 的两边同乘 e-2x 得(ye -2x)=2e-2x，积分得通解 y=C1e2x 一 1；而当 x1 时，方程 y一 2
16、y=0 的通解为 y=C2e2x为保持其在 x=1 处的连续性，应使 C1e2 一1=C2e2，即 C2=C1e-2，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C1=1，即所求特解为【知识模块】 微积分17 【正确答案】 在积分中作换元 代入方程，可得 f(x)=30xf(s)dx+e2x在上式中令 x=0，得 f(0)=1由于 f(x)连续，因而上式中右端的变上限定积分可导，又 e2x 也可导，这就保证了 f(x)可导将上式两端对 x 求导，得 f(x)=3f(x)+2e 2x由此可见，f(x)是一阶线性微分方程 y一3y=2e2x 满足初始条件 y(0)=1 的特解用积分因子 e-3x 乘
17、方程两端，得(ye -3x)=2e-x积分一次，不难得到它的通解 y=Ce3x 一 2e2x利用初始条件可确定常数C=3所以，所求的函数是 f(x)=3e3x 一 2e2x【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由 f(x)=g(x)可得 f(x)=g(x)，结合 g(x)=2ex 一 f(x)可得厂(x)满足微分方程 f(x)=2ex 一 f(x)，即 y=2ex 一 y它对应的齐次方程为 y+y=0，特征方程为 2+1=0，特征根为 1=i， 2=一 i闲此 y+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx在y+y=2ex 中，由于 A=1 不是其齐次方程的特征根，因此它有形如 y=a
18、xx 的特解，将y=aex 代人方程 y+y=2ex 中可得 a=1因此 y+y=2ex 的通解为y=C1cos+C2sinx+ex由f(0)=0 ，g(0)=2，可知 f(x)是 y+y=2ex 的满足初值条件y(0)=0，y(0)=2 的特解，将初值条件代入通解中得 C1=一 1，C 2=1因此 f(x)=一cosx+sinx+ex【试题解析】 由 f(x)=g(x)两边求导可得 f(x)=g(x)，再由 g(x)=2ex 一 f(x)可得f(x)所满足的微分方程【知识模块】 微积分19 【正确答案】 代入方程得 x一 x=e2y()特征方程 r2 一 1=0 的两个根为 r1=1,r2=一 1由于在非齐次项 eay 中 a=2 不是特征根，故可设非齐次方程的特解为 x*=Ae2y，代入方程得【知识模块】 微积分
