1、考研数学三（微积分）模拟试卷 114 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 f(x)在 x=a 处可导，则 =( )（A）0（B） f(a)（C） 2f(a)（D）3f(a)2 设函数 f(x)在点 x 处可微，则必存在 x 的一个 邻域，使在该邻域内函数 f(x)( )（A）可导（B）连续未必可导（C）有界（D） 不一定存在3 设 f(x)= ，则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 连续4 设 y=xn+ex，则 y(n)=( )（A）e x（B）
2、n!（C） n!+nex（D）n!+e x5 函数 f(x)=(x2 一 2x 一 3)x 23xsinx不可导点的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题6 设 f(x)为可导的偶函数，且 =2，则曲线 y=f(x)在点 x=一 1处法线的斜率为_7 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，则a=_，b=_8 设 f( )=sinx，则 ff(x)= _9 设 f(x)= ，则 f(0)= _10 设 f(x)是以 4 为周期的函数，且 f(一 1)=2，则=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)在 x
3、=1 处连续，且 =一 3，求 f(1)12 设 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，求 f(0)13 设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶可导，且 =0，求 f(0)，f(0)，f“(0)14 设 f(x)可导，证明：F(x)=f(x)1+ln(1+arctanx)在 x=0 处可导的充分必要条件是 f(0)=015 讨论 f(x)= 在 x=0 处的连续性与可导性16 设 f(x)=01ttxdt，求 f(x)17 设 f(x)具有连续的二阶导数，令 g(x)= 求 g(x)并讨论其连续性18 设 f(x)连续，且 (x)= tf(x2 一 t)dt+xx，求 (x)19 设 f(x)
4、连续，(x)= 01f(xzt)dt，且 存在，求 (x)并讨论 (x)的连续性20 设 f(x)= ，求 f(2010)(0)21 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 存在，求 f(0)，f(0) ，f“(0)22 设 f(x)在 x=a 处连续，讨论 (x)=f(x)arctan(x 一 a)在 x=a 处的连续性与可导性23 设 g(x)在(一，+)内连续，g(1)=1 ， 01g(x)dx= ，令 f(x)=0xg(xt)t2dt，求f“(1)，f“(1)24 设 f(x)= 可导，求 a，b25 设 f(x)连续，f“(1)存在，且 =0，令 (x)=01f1+(x 一 1)td
5、t，求 (x)并讨论其连续性26 设 g(x)连续，令 (x)= ，又 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)0，求F(x)=f(x)在 x=0 处的导数27 设 a0 为常数，f(x)可导，且满足 =f(x)+x，求f(x)28 设 f(x)在( 一，+)上有定义，且 f(0)=1，又 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，求 f(x)29 已知函数 y=f(x)在任意点 x 处的增量y= +，且当x0 时， 是x 的高阶无穷小，y(1)=0 ，求 y(e)30 设 (x)=sinx201f(tsinx2)dt，且 存在，证明：当 x0 时，d 是 xsinx2dx的同阶无穷小量31
6、设 f(x)连续，令 (x)= 讨论 (x)在 x=0 处的可导性32 设 f(x)0，f“(x)在(一，+) 内连续，令 (x)= (1)求(x)，并讨论 (x)的连续性(2) 证明 (x)单调递增33 设 f(x)= 求 f“(0)34 已知 y=y(x)由方程 35 设 y=y(x)由方程 2x 一 1x+y dt=xy 确定，求 y(0)36 设 f(x)可导，且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的)，g(x)连续，且当 f(x)0 时 g(x)可导，令 (x)=g(x)f(x)，讨论 (x)的可导性考研数学三（微积分）模拟试卷 114 答案与解析一、选择题下列每题给
7、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x0 处可微，所以在 x0 点必连续，从而有=f(x0)由函数极限的局部有界性知 f(x)在 x0 的某邻域内有界，故选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 所以f(x)在 x=0 处连续故选 D【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为(x n)(n)=n!，(e x)(n)=ex， 所以 y(n)=n!+ex 故选 D【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的不可导点可能是x 2 一 3
8、x=0 或x=0 的点，即 x=0，3，若直接按定义判断较复杂利用如下结论：若 存在，则 f(x)=g(x)xx0在 x=x0 处可导的充要条件是 =0 f(x)=(x 2 一 2x 一 3)x 一3sinx1x 而 (x2 一 2x 一 3)x 一 3 sinx=0，所以，f(x)在 x=0处可导 同理 f(x)=(x 2 一 2x 一 3)xsin xx 一 3 (x2 一 2x 一3)x sin x=0，所以，f(x)在 x=3 处可导 故选 A【知识模块】 微积分二、填空题6 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 f(x)为可导的偶函数可知 f(x)为奇函数，即 f(一 x)=一 f(
9、x)又=一 2f(1)=2，所以 f(1)=一 1，f(一 1)=一 f(1)=1，故所求法线的斜率为 k=一 =一 1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 一 1，一 1【试题解析】 由导数的几何意义求出公切线的斜率，又点(1，一 1)在两条曲线上，由 y=x2+ax+b，得 y=2x+a 又点(1，一 1)在曲线 y=x2+ax+b 上，即一 1=1+a+b，得 b=一 1【知识模块】 微积分8 【正确答案】 2sinx 2cos(sinx 2)2【试题解析】 由 f( )=sinx 得 f(x)=sinx2，因此 ff(x)=sinf(x) 2，所以 ff(x)=cosf(x)2 2f(
10、x) =2sinx2cos(sinx 2)2【知识模块】 微积分9 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 一 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【试题解析】 为证明 f(x)在 x=1 处可导，只要证明 存在于是，解决问题的关键是求函数值 f(1)由函数的连续性，f(1)= ，这是抽象函数求极限问题，可利用极限的相关结论=0，求出 f(x)的表达式【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由 lnf(x)+2=lnf(0)+2=0，即 f(0)+2=1，得 f(0)=一 1 又当 x0 时，ln
11、f(x)+2=ln1+f(x)+1f(x)+1，所以【试题解析】 这是抽象函数求导数值的问题，利用定义 f(0)= 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 利用已知极限或同阶无穷小量来求解【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 F(x)中含有绝对值符号，即 F(x)是一个分段函数，它在分段点处可导的充要条件是左、右导数相等【知识模块】 微积分15 【正确答案】 所以 f(x)在 x=0 处不可导【试题解析】 这是一个分段函数，分段点为 x=0，直接计算左、右极限和左、右导数【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 这是含有绝对值和参数的积分，去掉绝对值符号转化为分段函
12、数再积分，然后求导【知识模块】 微积分17 【正确答案】 所以g(x)在 x=0 处连续，故 g(x)在(一 ，+)内连续【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 x2 一 t=u，则【试题解析】 含参变量的积分，先将参变量提至积分号外，再求导【知识模块】 微积分19 【正确答案】 在(一 ，+)内连续 【试题解析】 令 x2t=u，将参数 x 提至积分号外(或积分限上)再求导【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 直接用定义求 f(2010)(0)很困难，若能把 f(x)展开成麦克劳林级数，问题就迎刃而解【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 由已知极限 =A
13、存在，可知 f(0)=0于是可用定义求 f(0)，f“(0)【知识模块】 微积分22 【正确答案】 所以，当 f(a)=0 时，(x)在 x=a 处可导，且 (a)=0； 当 f(a)0 时，(x)在 x=a 处不可导【试题解析】 这是讨论分段函数在分段点处的连续性与可导性问题分别计算在点 a 处的左、右极限和左、右导数【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 xt=u，则 f(x)= 0xg(u)(x 一 u)2du=x20xg(u)du 一 2x0xug(u)du+0xg(u)u2du 于是 f(x)=2x 0xg(u)du+x2g(x)一 20xug(u)du 一 2x2g(x)+x2
14、g(x) =2x0xg(u)du 一 20xug(u)du， f“(x)=2 0xg(u)du+2xg(x)一 2xg(x)=20xg(u)du， f“(x)=2g(x)， 所以， f“(1)=201g(u)du=1，f“(1)=2g(1)=2 【试题解析】 将含参变量积分中的参数经变换提至积分号外，可得 f(x)的表达式，然后直接求 f(x)，f“(x)，f“(x)，再求 f(1)，f“(1)，f“(1) 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 又由 f+(1)=f(1)得 2=a 解联立方程，可得 a=2，b=一 1【试题解析】 先计算含参变量的极限，求出 f(x)的表达式，再由连续和可导
15、的充要条件求 a，b 的值【知识模块】 微积分25 【正确答案】 所以，(x)在 x=1 连续。【试题解析】 由条件 =0 可知，f(1)=0，f(1)=0，于是可得 (1)=01f(1)dt=0再将参变量提至积分号外，然后求导【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【试题解析】 先求 F(x)的表达式，再求导【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)可导，求出极限后可得 f(x)所满足的微分方程，然后解方程可得 f(x)的解析式【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 x=y=0 得 f(0)=f(0)+f(0)，得 f(0)=0=f(x)+ex，即f(x)一 f(
16、x)=ex，f(0)=0 ，这是一阶非齐次线性微分方程，通解为： f(x)=e dx(exedxdx+c)=cex+xex 由 f(0)=0，得 c=0，所以，f(x)=xe x【试题解析】 由已知条件 f(x+y)一 f(x)=f(x)ey+f(y)exf(x)，建立 f(x)应满足的微分方程，然后解方程求出 f(x)【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【试题解析】 由已知条件 ，取极限建立关于 y 的微分方程，解方程求出 y=y(x)的解析式，再求函数值【知识模块】 微积分30 【正确答案】 (x)=f(sinx2)2xcosx 2，d=(x)dx=2xf(sinx 2)cosx2dx
17、又(为常数)，所以，当 x0时，d 与 xsinx2dx 是同阶无穷小量【知识模块】 微积分31 【正确答案】 所以当 f(0)=0 时，(0)= (0)=+(0)=0当 f(0)0 时，(0) 不存在【知识模块】 微积分32 【正确答案】 (1)当 x0 时，于是，当 x0时，f(x)0， 0xf(t)dt20，(x)连续 又所以(x)在 x=0 处连续 (2)要证 (x)单调递增，只要证明 (x)0因为 (x)=，又 f(x)0， 0xf(t)dt20，只需证明 g(x)=0x(xt)f(t)dt0 当 x=0 时，g(0)=0；当 x0 时，g(x)= 0xf(t)dt0；当 x0 时，
18、g(x)=一0xf(t)dt0因此，当 x0 时，g(x)严格递减，当 x0 时，g(x)严格递增，而 g(0)=0 为最小值，故 g(x)0，并且仅当 x=0 时，g(0)=0【知识模块】 微积分33 【正确答案】 当 x0 时，【试题解析】 这是变限积分求导问题，先经变量替换将参数提至积分号外再求导【知识模块】 微积分34 【正确答案】 方程两边对自变量 x 求导，得【知识模块】 微积分35 【正确答案】 方程两边对自变量 x 求导，得【知识模块】 微积分36 【正确答案】 设 x0 为分段点 若 f(x0)0，则由题设可知，存在 0，使得当xx 0 时，f(x)与 f(x0)同号，于是在该邻域内必有 P(x)=f(x)g(x)或 (x)=f(x)g(x)之一成立，所以 (x)在点 x0 处必可导 若 f(x0)=0，不妨假设所以，(x)在 x0 处可导f(x 0)g(x0)=0且当 f(x0)g(x0)=0 时，(x 0)=0【试题解析】 这是分段函数的可导性问题只需讨论在分段点 x0 处是否可导分f(x0)0与 f(x0)=0 两种情形讨论【知识模块】 微积分
