1、考研数学三（微积分）模拟试卷 119 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 ，则 f(x，y)=( )2 设由方程 F(x，y，z)=0 可以确定其中任一个变量是其余两个变量的二元函数，且已知 =( )3 设函数 z=xy+xf(u)(其中 f(u)为可微函数)，u= =( )4 设函数 f(x， y)=x2+xy+y2 一 3x+2，则 f(x，y)( )（A）在(一 1，2) 处取得极小值（B）在 (2，一 1)处取得极小值（C）在 (1，一 2)处取得极大值（D）在(一 1，一 2)处取得极大值5 当 u0 时 f(u)有一阶连续导数，且 f
2、(1)=0，又二元函数 z=f(exey)满足=1，则 f(u)=( )（A）lnu（B）一 lnu（C） lnu+1（D）1 一 lnu二、填空题6 设 z=xlny，则 =_7 若 u= =_8 设 z=xy+xF =_9 函数 f(x，y)=3x 2+3y2 一 x3 的驻点为_10 设 f(x，y， z)= ，则 df(1，1，1)= _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知函数 z=z(x，y)满足=012 设函数 z= f(xy)+y(x+y)，其中函数 f、 具有连续的二阶导数，求二阶混合偏导数 13 设函数 z=f(x，y)具有二阶连续的偏导数，且满足 f
3、“xx=f“yy又由 f(x，2x)=x，f x(x，2x)=x 2，试求二阶偏导数 f“xx(x，2x)，f“ xy(x，2x)14 已知函数 u=u(x，y)满足方程 =0试确定参数 a、b，使得原方程在变换 u(x，y)=y(x，y)e ax+by 下不出现一阶偏导数项15 设函数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足 =(4z+excosy)e2x若f(0)=0，f(0)=0 ，求 f(u)的表达式16 设函数 u=f(r)，而 r= =0，试求函数 u17 设函数 f(x，y)满足 =x，试求出函数 f(x，y)的表达式18 如图 161 所示，设函数 u(x，
4、y)= 1/xyds1/sxf(t，s)dt(x0，y0)(1) 当 f 连续时，求 u“yx(x，y)和 u“xy(x，y)(2)当 f 具有连续的一阶偏导数时，进一步再求u“xx(x， y)和 u“yy(x，y)19 设二元函数 z=z(x，y)是由方程 xexy+yz2=yzsinx+z 所确定，求二阶偏导数20 设函数 z=f(u)由方程 u=(u)+xyp(x+yt)dt 所确定，u 是变量 x、y 的函数，其中函数 f(u)、(u)可微，而函数 p(t)、(u)连续，且 (u)1，求 p(y) 21 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 e
5、xy 一 y=0 和 ez 一xz=0 所确定，求 22 求函数 f(x，y)=(x 一 6)2+(y+8)2 在 D=(x，y)： x2+y225上的最大值、最小值23 设函数 u=u(x，y)由方程 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 所确定，求24 求当 x0，y0，z 0 时，函数 f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz 在球面 x2+y2+z2=6r2上的最大值并证明：对任何正实数 a、b、c ，不等式 ab2c3108( )6 成立25 设 u=f(x， y)为可微函数 (1)若 u=f(x，y)满足方程 =0，试证：f(x，y)在极坐标系中
6、只是 的函数，而与 r 无关 (2)若 u=f(x，y)满足方程=0，试证：f(x ，y)在极坐标系中只是 r 的函数，而与 无关26 设函数 z=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 0，试证明：对任意的常数c，f(x，y)=c 为一直线的充分必要条件是 (fy)2f“ xx 一 2fxf yf“ xy+(fx)2f yy=027 设函数 f(x)、g(x) 均可微，且满足条件 u(x，y)=f(2x+5y)+g(2x 一 5y)，u(x，0)=sin2x，u y(x，0)=0求 f(x)、g(x)、u(x，y) 的表达式考研数学三（微积分）模拟试卷 119 答案与解析一、选择题下列每题给出的
7、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为故选 A【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因为故选 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 =B2 一 AC=12 一 22=一 30，所以，函数 f(x，y)在(2，一 1)处取得极小值，故选B【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 =f(exey)(ex 一 ey)=1，所以 f(u)= ，即 f(u)=lnu+c，又 f(1)=0，所以 c=0 故 f(u)=lnu故选 A【知识模块】 微积分二、填空
8、题6 【正确答案】 (lnx)xlny【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 xy+z【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 (0，0) ，(2，0) 【试题解析】 令所以，(0，0)，(2，0)均为 f(x，y)的驻点【知识模块】 微积分10 【正确答案】 dx 一 dy【试题解析】 因为 所以 df(1，1，1)=dx一 dy【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由已知条件，知 ，且 =(u，v)所以，根据复合函数的微分法，有【试题解析】 这是一个间接求偏导数的问
9、题应注意的是：(1)变量 x、y 应为变量 u、v 的函数；(2) 既是变量 u、v 的函数，也是变量 x、y 的函数【知识模块】 微积分12 【正确答案】 常规求偏导数的方法因为=yf“(xy)+(x+y)+y(x+y)【试题解析】 这是一个半抽象函数的求二阶混合偏导数的问题【知识模块】 微积分13 【正确答案】 因为 fx 1+fy2=1，所以 2f y=1 一 x2 又因为2(f“yx1+f“ yy2)=一 2x，由条件 fx(x，2x)=x 2，则 f“ xx1+f“ xy2=2x【知识模块】 微积分14 【正确答案】 由 u(x，y)=v(x，y)e ax+by，得【知识模块】 微积
10、分15 【正确答案】 因为f“(excosy)=4f(excosy)+excosy从而函数 f(u)满足方程 f“(u)=4f(u)+u方程 f“(u)=4f(u)的通解为 f(u)=c1e2u+c2e2u，方程 f“(u)=4f(u)+u 的一个特解为一 ，所以方程f“(u)=4f(u)+u 的通解为【试题解析】 利用复合函数偏导数的计算方法求出各阶偏导数代入所给偏微分方程，转化为可求解的常微分方程【知识模块】 微积分16 【正确答案】 这是一个二阶的微分方程 利用分离变量解微分方程 将方程 f“(r)+解此微分方程，即得 u=f(r)=一 +c2，其中 c1、c 2 为任意常数【试题解析】
11、 利用已知方程，通过求复合函数的二阶偏导数，得到一个关于函数u 的微分方程解此微分方程，就可得到函数 u 的表达式【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 由微分方程，通过求积分，即可得到相应的函数 f(x，y)的表达式【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)因为 u(x，y)= 1/xy1/sxf(t，s)dtds，所以 u y(x，y)= 1/yxf(t，y)dt，且 u“yx(x，y)=f(x，y) 又因为 u(x，y) 1/yx1/tyf(t，s)dsdt，所以 u x(x，y)= 1/xyf(x，s)ds， 且 u“xy(x，y)=f(x，y) (2)u“=+1/y
12、xf(t，y)dt 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由 x=0，y=0 ，得 z=0在方程两边同时对变量 x 求偏导数，得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 x+yt=u，则 xyp(x+yt)dt=yxp(u)(一 du)=xyp(u)du=xyp(t)dt联立方程组：【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由 =2(y+8)=0 得 x0=6，y 0=一 8， 而(x0，y 0)不在 D 的内部，所以 f(x，y)在 D 的内部没有极值，故它的最大、最小值一定在边界 F：x 2+y2=25 上取到 而在 上：f(x ，y)=x 2+y
13、2 一 12x+16y+100=12512x+16y 令 L(x，y，)=f(x，y)+(x 2+y2 一 25)， 由 ，得 1=一 2，x 1=一3，y 1=4 或 2=2，x 2=3， y2=一 4 而 f(x1，y 1)=125+36+64=225，f(x 2，y 2)=1253664=25， 所以 f(x，y)在 D 上的最大值(即在 上的最大值)为 f(x1，y 1)=225，f(x ，y)在 D 上的最小值( 即在 上的最小值)为 f(x2，y 2)=25【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【试题解析】 先由方程 g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 解出 y 的函数，再
14、将其代入到u=f(x， y，z，t)中，从而得到函数 u=u(x，y)【知识模块】 微积分24 【正确答案】 为求在条件 x2+y2+z2=6r2 下函数 f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz 的最大值，不妨设 L(x ，y，z ，)=lnx+2lny+3lnz+(x 2+y2+z2 一 6r2)(x0， y0，z 0)由方程组因为驻点(x，y，z)在球面x2+y2+z2=6r2 的第一卦限部分上，则点(r ， )是唯一的驻点 另一方面，当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时，函数 f(x，y，z)便趋于一所以，函数 f(x，y，z) 在指定的区域内部取得最大值，从而此唯一的驻
15、点便是最大值点，即【试题解析】 本题第一部分是求条件极值，利用拉格朗日乘子法解答 本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式【知识模块】 微积分25 【正确答案】 在极坐标系中，u=f(x，y)的表达式为 u=f(rcos，rsin) (1)要证明函数 u 在极坐标系下与 r 无关，只需证明 u 对 r 的偏导数为 0 即可 因为=0，由此可见，u 只是 的函数，而与 r 无关 (2)同理，由于=0由此可见，u 只是 r 的函数，而与 无关【试题解析】 要证明一个多元函数与其某一个自变量无关，只需证明该函数对此自变量的偏导数恒为 0 即可【知识模块】 微积分26 【正确答案】 必要性：设
16、 f(x，y)=c 是一直线，则必有 f(x，y)=ax+by+d(a、 b、d 均为常数 )，从而 fx=a，f y=b，f“ xx=f“xy=f“yy=0，则 (f y)2f“ xx 一2fxf yf“ xy+(fx)2f“ yy=0即(f y)2f“ xx 一 2fxf yf“ xy+(fx)2f“ yy=0 时，f(x，y)=c 是一条直线【试题解析】 由于 y=y(x)是线性函数的充分必要条件是： y(x)=k(常数)，进而y“(x)=0 设 y=y(x)是方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数，则只需证明：f(x，y)=c 是一直线方程的充分必要条件是 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为 u y(x，y)=5f(2x+5y)一 5g(2x 一 5y)，且【知识模块】 微积分
