1、考研数学三（微积分）模拟试卷 121 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 un=(一 1)nln(1+ )，则下列结论成立的有( ) 2 已知级数 =( )（A）3（B） 7（C） 8（D）93 若数项级数 (an+an+1 一 an+2)收敛于( )（A）S+a 1（B） S+a2（C） S+a1 一 a2（D）S+a 2 一 a14 设正项级数 也收敛（A）k0（B） k=0（C） 0k1（D）k15 在(一 1，1)内，幂级数 (一 1)nnxn+1 的和函数为( )二、填空题6 设 an0，p 1，且 收敛，则 p 的取值范围为_7 级数
2、a1)的收敛半径 R=_8 幂级数 的收敛域为_9 将函数 f(x)=x4 一 2x3+3x2+1 改写为(x 一 1)的幂函数 f(x)= _10 级数 的和是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 讨论级数 的敛散性12 证明级数 收敛，且其和数小于 113 判定级数 的敛散性14 判别级数 +的收敛性15 讨论级数 (p0)的敛散性16 已知函数 y=y(x)满足关系式 y=x+y，且 y(0)=1试讨论级数的敛散性17 已知a n是单调增加且有界的正数列，证明：级数 收敛18 设数列a n，b n满足 0a n收敛19 证明：正项级数 an 与数列 (1+a1)(1
3、a2)(1+a n)是同敛散的20 设偶函数 f(x)的二阶导数 f“(x)在点 x=0 的一个邻域内连续，且 f(0)=1试证：级数 绝对收敛21 求级数 的收敛域22 求级数 的和 S23 已知 a0=3，a 1=5，对任意的 n1，有 nan= an1(n 一 1)an1证明：当x1 时，幂级数 anxn 收敛，并求其和函数 S(x)24 求幂级数 的收敛域及和函数25 设数列a n=0 满足条件：a 0=3，a 1=1，a n2 一 n(n 一 1)an=0(n2)，S(x) 是幂级数anxn 的和函数 (1)证明 S“(x)一 S(x)=0；(2)求 S(x)的表达式26 将函数
4、f(x)=ln(43xx2)展开成 x 的幂级数27 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数28 设函数 f(x)=的和考研数学三（微积分）模拟试卷 121 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为当 n时，u n2=ln2 un2 发散，故选 C【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 故选C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 =S+(Sa1)一 (Sa1a2)=S+a2【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】
5、微积分二、填空题6 【正确答案】 p2【试题解析】 由于收敛，故 p2【知识模块】 微积分7 【正确答案】 +【试题解析】 因为 所以，R=+【知识模块】 微积分8 【正确答案】 一 3，1)【试题解析】 因为 所以当x+12，即一3x1 时，原幂级数收敛 当 x=一 3 时，原幂级数为发散 综上所述，原幂级数的收敛域为一 3，1)【知识模块】 微积分9 【正确答案】 (x 一 1)4+2(x 一 1)3+3(x 一 1)2+4(x 一 1)+3【试题解析】 因为 f(x)=4x 3 一 6x2+6x， f(1)=4； f“(x)=12x2 一 12x+6，f“(1)=6 ； f“(x)=24
6、x 一 12， f“(1)=12； f (4)(z)=24， f (4)(1)=24所以，f(x)=f(1)+f(1)(x 1)+(x1)4 =(x 一 1)4+2(x 一 1)3+3(x 一 1)2+4(x 一 1)+3【知识模块】 微积分10 【正确答案】 cos1sin1【试题解析】 级数的和【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【试题解析】 所给级数 是交错级数若用交错级数的判别法，则比较复杂若改用等价无穷小及收敛级数的线性关系则较为容易【知识模块】 微积分12 【正确答案】 由微分的中值定理，知 ，其中(n， n+1)于是，【试题解
7、析】 首先，判断该级数是正项级数其次，利用正项级数的比较判别法，判别其收敛，且其和小于 1【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 根据比值判别法，因为由交错级数的莱布尼兹判别法与取绝对值后的正项级数判敛法知：【试题解析】 本题首先要讨论常数 a 的取值情况当a=1 时，还要进一步讨论 p 的取值情况【知识模块】 微积分16 【正确答案】 因为 y=x+y，所以 y“=1+y由 y(0)=1，得 y(0)=1，y“(0)=2 根据麦克劳林公式，得【试题解析】 因为 y(x)是已知微分方程的一个特解，则由麦克劳林公式讨
8、论级数的敛散性【知识模块】 微积分17 【正确答案】 且其部分和数列有界，因此它收敛【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 第一问利用夹逼定理，第二问利用正项级数比较判别法的极限形式可得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 因为级数 an 的前 n 项的部分和 Sn 为 S n=a1+a2+an(1+a1)(1+a2)(1+a n) ， 由此可见，前 n 项的部分和 Sn 与单调增加数列(1+a 1)(1+a2)(1+a n)是同时有界或同时无界因此，正项级数an 与数列 (1+a1)(1+a2)(1+a n)是同敛散的【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因为 f(x)为偶
9、函数，所以 f(x)=一 f(一 x)，且 f(0)=0 根据二阶台劳公式展开式，有由于 f“(x)在点 x=0 的邻域内连续，知存在正数 M0，使得在点 x=0 的一个邻域【知识模块】 微积分21 【正确答案】 当 u=一1 时，新级数为发散，根据比较判别法的极限形式知，新级数发散 当 u=1 时，新级数为单调有界，则新级数收敛 于是，新级数的收敛域为(一 1，1，从而原级数的收敛域为一 1 1 解此不等式，即得原级数的收敛域为xx一 1，或 x一 【试题解析】 求形如anxn 幂级数的收敛域【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分
10、24 【正确答案】 【试题解析】 由此幂级数的构成知，本题可以先求收敛域再求和函数；也可以先通过几何级数求导和求积分得到和函数，再由幂级数的性质得收敛半径，然后讨论端点处的收敛性，得幂级数的收敛域【知识模块】 微积分25 【正确答案】 故 S“(x)一 S(x)=0 (2)由 (1)得关于 S(x)的微分方程 S“(z)一 S(x)=0，对应的特征方程为 2 一 1=0 解得特征根为 1=一 1， 2=1，所以方程通解为 S(x)=C1ex+C2ex由 S(0)=a0=3， 有 C 1+C2=3， S(0)=a 1=1， 有 一 C1+C2=1，易知 C 1=1，C 2=2所以S(x)的表达式为 S(x)=ex+2ex【试题解析】 利用幂级数在收敛区间内的逐项求导性质求解【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为函数 f(x)=ln(43xx 2)=ln(4+x)+ln(1 一 x)，而【知识模块】 微积分27 【正确答案】 =1 一 x+x16一 x17+x16n 一 x16n+1+，x (一 1，1)【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微积分
