1、考研数学三（微积分）模拟试卷 124 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=xex，则 =_（A）0（B） +（C）一 （D）不存在，仇也不是 2 设 =e1，则当 x0 时 f(x)是 x 的（A）等价无穷小（B）二阶无穷小（C）三阶无穷小（D）四阶无穷小3 设 f(x)=x 一 sinxcosxcos2x，g(x)= ，则当 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低价无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题4 已知=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 判断下列结论是否正确，并证明你的判
2、断 ()设当 nN 时 xny n，已知极限=B 均存在，则 AB； ()设 f(x)在(a ，b)有定义，又存在c(a，b) 使得极限 =A，则 f(x)存(a，b) 有界； ()若 =，则存在0，使得当 0x 一 a 时 有界6 设 f(x)=存在7 设常数 x0，求极限 。8 求下列极限：9 求下列极限：10 ()设常数 a0，求 11 12 求数列极限 w= 13 设 xn=14 求数列极限：15 设 f(x)在0，1连续，求 01nf(x)dx16 求下列极限：17 求函数 f(x)= 的可去间断点18 设函数 f(x)= 试补充定义 f(0)使得 f(x)在(一，+) 上连续19
3、设 f(x)= ()若 f(x)处处连续，求 a，b 的值；() 若a，b 不是()中求出的值时 f(x)有何间断点，并指出它的类型20 求下列极限：21 求下列极限：22 求下列极限：考研数学三（微积分）模拟试卷 124 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因此应选(D) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 即当 x0 时 f(x)是 x 的三阶无穷小应选(C) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答
4、案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 () 不正确令 an=xn 一 yn，则有 an0(nN) ，因此(xn 一 yn)=AB0，即在题设下只能保证 AB，不能保证AB例如，x n= =0 ()不正确这时只能保证：存在点 c 的一个空心邻域 U0(c，)=x0x 一 c，使 f(x)在 U0(c，)中有界，一般不能保证 f(x)在(a，b)有界例如：f(x)= ，(a ，b)=(0，1) ，取定 c(0，1)，则 在(0，1)无界 ()正确因为 =0，由存在极限的函数的局部有界性即知：存在 0，使得当 0 x 一 a 时
5、 有界【知识模块】 微积分6 【正确答案】 ，由 f(0+0)=f(0 一 0)，得 a=因此，当且仅当 a= 时，存在 =【试题解析】 分别求右、左极限 f(0+0)与 f(00)，由 f(0+0)=f(00)定出 a 值【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 本题中两个极限都是 1型未定式，可用如下方法求解 limf(x) g(x)=eA，其中 A=limg(x)f(x)一 1故 w=e1【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 第() 题是 型未定式，若直接用洛必达法则求解较繁，应先分离出非未定式因子，
6、再用等价无穷小因子替换：若 a0，则 ay 一 1ylna(y0)，最后用洛必达法则求解第()题是 型未定式，直接用洛必达法则求不出该极限，若利用 则可将原极限变为 1型未定式求极限【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小【知识模块】 微积分14 【正确答案】 () 存在自然数 k，kM，使 1 ，当nk 时，有 即当 nk 时，有0 =0。 ()由于x n有界，故 0，对一切 n 有x nM于是 0 ，由题( )的结论及夹逼定理知 =0【知识模块】 微积分15 【正确答案】
7、 因 01ndx= ，且连续函数 f(x)在0，1存在最大值与最小值，分别记为 M 与 m，则【知识模块】 微积分16 【正确答案】 () 当 x1 时，t=xlnx0 则 xx 一 1=exlnx 一 1=et 一 1t=xlnx ，于是用等价无穷小因子替换得 =1 ()利用如下的等价无穷小因子替换：当 x1 时， ln(x 2 一 2x+2)=ln(x 一 1)2+1(x 一 1)2，【知识模块】 微积分17 【正确答案】 函数 f(x)分别在区间( 一，0)，(0，1)，(1，+)内连续，从而可去间断点的可疑点为 x=0 与 x=1由于 所以 x=1 为第二类间断点由于 又 在 x=0
8、处无定义，所以x=0 为可去间断点【知识模块】 微积分18 【正确答案】 由定义可知 f(x)分别在( 一，0)，(0，+)内连续，又因因此，补充定义 f(0)= ，则f(x)在(一，+)上连续【知识模块】 微积分19 【正确答案】 () 首先求出 f(x)注意到其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在( 一，一 1)，(一 1，1)，(1，+)上连续最后，只需考察函数 f(x)在分界点 x=1 处连续所应满足的条件由于从而 f(x)在 x=1 连续 f(1+0)=f(1 一 0)=f(1)a+b=1= (a+b+1) a+b=1 ： f(x) 在 x=一 1 连续 f(一 1+0)=f(一
9、 1 一 0)=f(一 1)a 一 b=一 1= (a 一 b1) a b=一1因此 f(x)在 x=1 均连续 a=0，b=1故当且仅当 a=0，b=1时 f(x)处处连续 ()当(a，b)(0，1)时，若 a+b=1(则 a 一 b一 1)，则 x=1 是连续点，只有 x=一 1 是间断点，且是第一类间断点；若 a 一 b=一 1(则 a+b1)，则x=一 1 是连续点，只有间断点 x=1，且是第一类间断点：若 a 一 b一 1 目 a+b1，则 x=1，x= 一 1 均是第一类间断点【知识模块】 微积分20 【正确答案】 ()恒等变形：分子分母同除以 x，得【知识模块】 微积分21 【正确答案】 () 属 型根据其特点可先作恒等变形与变量替换后再川洛必达法则求极限w= =1，其中 t=xsinx ()先作恒等变形，并作当 x0 时等价无穷小代换 x2，然后结合极限四则运算法则即得【知识模块】 微积分22 【正确答案】 () 属0 型化为 型后再直接用洛必达法则求极限都不方便，应先作恒等变形再求解()属一型先通分化成 。直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明 ln(x+ )x(x0)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用 ln(1+x)x(x0)就有【知识模块】 微积分
