1、考研数学三（微积分）模拟试卷 126 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 =一 1，则 x=0（A）是 f(x)的驻点，且为极大值点（B）是 f(x)的驻点，且为极小值点（C）是 f(x)的驻点，但不是极值点（D）不是 f(x)的驻点二、填空题2 ()用等价、同阶、低阶、高阶回答：设 f(x)在 x0 可微，f(x 0)0，则当x0 时f(x)在 x=x0 处的微分与 x 比较是( )无穷小， y=f(x0+x)一 f(x0)与x 比较是( )无穷小，ydf(x) 与x 比较是( )无穷小( )设函数
2、 y=f(x)可微，且曲线y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则 =( )3 设 =_4 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f 可微，则 dy=_5 若 y=f(x)存在反函数，且 y0，y“存在，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 判断下列结论是否正确?为什么? ()若函数 f(x)， g(x)均在 x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，则 f(x0)=g(x0)； ()若 x(x0 一 ，x 0+)， xx0 时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x=x0 处有相同的可导性； () 若存在 x0 的一个
3、邻域(x 0，x 0+)，使得 x(x0一 ，x 0+)时 f(x)=g(x)，则 f(x)与 g(x)在 x0 处有相同的可导性若可导，则 f(x0)=g(x0)7 说明下列事实的几何意义： ()函数 f(x)，g(x)在点 x=x0 处可导，且 f(x0)=g(x0)，f(x0)=g(x0)； ()函数 y=f(x)在点 x=x0 处连续，且有 =8 设 f(x)存在，求极限 ，其中 a，b 为非零常数9 设函数 f(x)在 x=x0 处存在 f+(x0)与 f(x0)，但 f+(x0)f(x0)，说明这一事实的几何意义10 设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3，求
4、数列极限 w= 11 求下列函数的导数 y：12 设 y=(1+x2)sinx，求 y13 已知 f(x)=kex，常数 k0，求 f(x)的反函数的二阶导数14 ()设函数 y=y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex 一 xy2=0 所确定，求 ；()设函数y=y(x)由方程 x3+y3 一 sin3x+6y=0 所确定，求 dy x=0=0；()设函数 y=f(x+y)，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求 15 设 ex+y=y 确定 y=y(x)，求 y，y“16 设 f(x)= ，求 f(x)在点 x=0 处的导数17 设 f(x)= ，求 f(1)与 f(一 1)18 设 f(
5、x)= 求 f(x)19 设函数 f(x)有任意阶导数，且 f(x)=f2(x)，则当 n2 时，f (n)(x)=_20 求下列函数的 n 阶导数公式：21 设 y=sin3x， 求 y(n)22 设 f(x)在(a，b)内处处可导，且满足 f(x)0证明对任何 x0(a，b)一定存在x1，x 2(a，b)使得 f(x1) f(x0)f(x 2)23 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，又 g(x)在a，b上连续，求证：存在 (a，b) 使得 f()=g()f()24 ()设函数 f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数，且 f(a)=f
6、(b)=0，f(c)0，(ac b)证明：至少存在一点 (a，b)，使 f“()0； ()设 h0，f(x)在a 一 h，a+h上连续，在(a 一 h，a+h) 内可导，证明：存在 01 使得 =f(a+h)一 f(a 一 h)25 设 a0，且函数 f(x)在a，b上连续，在(a ，b) 内可导，试证：至少存在一点b)使得 f()一 f()= 26 证明当 x(一 1，1)时成立函数恒等式 arctanx= 考研数学三（微积分）模拟试卷 126 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题应先从 x=0 是否为驻点人手，即求
7、f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点 由 f(x)=0，从而 f(0)=0， f(0)= =(1 一 cosx)=一 10=0 可知 x=0是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内0；由于 1cosx0，故在此邻域内，当 x0 时 f(x)0=f(0)，而当x0 时 f(x)0=f(0) ，可见 x=0 不是极值点，故选 (C)【知识模块】 微积分二、填空题2 【正确答案】 () 同阶；同阶；高阶()0【试题解析】 ()与x 是同阶无穷小量；按定义 =f(x)0，故 y 与x 也是同阶无穷小量；按微分定义可知当x0 时差 y 一 df(x) =o(x)，即
8、它是比x 高阶的无穷小 ()由题设可知 f(0)=1，又 y 一 dy=o(x)，dy=f(x 0)x=x，于是 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 Acosb【试题解析】 补充定义 f(a)=b，则有【知识模块】 微积分4 【正确答案】 e f(x) f(lnx)+f(x)f(lnx)dx【试题解析】 利用一阶微分形式不变性，可得 dy=df(lnx)ef(x)=ef(x)df(lnx)+f(lnx)def(x)=ef(x)f(lnx)dlnx+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x) f(lnx)+f(x)f(lnx)dx【知识模块】 微积分5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块
9、】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 () 不正确函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关，还与该点附近的函数值有关仅有 f(x0)=g(x0)不能保证 f(x0)=g(x0)正如曲线 y=f(x)与y=g(x)可在某处相交但并不相切 ()不正确例如 f(x)=x2，g(x)=显然，当 x0 时 f(x)=g(x)，但 f(x)在点 x=0 处可导，因为 g(x)在点x=0 不连续，从而 g(x)在点 x=0 处不可导 ()正确由假设可得当 x(x0，x 0+)时 因此，当 xx 0 时等式左右端的极限或同时存在或同时不存在，而且若存在则相等再由导数定义
10、即可得出结论【知识模块】 微积分7 【正确答案】 () 曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切 ( )点 x=x0 是 f(x)的不可导点曲线 y=f(x)在点 M0(x0，f(x 0)处有垂直于 x 轴的切线 x=x0(见图 21)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 按导数定义，将原式改写成=af(x)+bf(x)=(a+b)f(x)【知识模块】 微积分9 【正确答案】 x=x 0 是 f(x)的不可导点曲线在点 M0(x0，f(x 0)处存在左、右切线，且左、右切线有一个夹角(M 0 是曲线 y=f(x)的尖点)，见图 22【知识
11、模块】 微积分10 【正确答案】 这是指数型数列极限，先转化成其指数是 型数列极限，用等价无穷小因子替换，由数列极限与函数极限的关系及导数定义知因此 w=e6【知识模块】 微积分11 【正确答案】 ()y= ()当x0 时，由求导法则得 f(x)= ；当 x=0 时，由导数定义即得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 设 y=f(x)，则【知识模块】 微积分14 【正确答案】 () 将原方程两边直接对 x 求导数，并注意 y 是 x 的函数，然后解出 y即可由 (2x+2yy)cos(x 2+y2)+ex 一 y22xyy=0 ，得 ()先用隐函数求导
12、法求出 y，再求微分dy=ydx在方程的两边对 x 求导，并注意到 y 是 x 的函数，得 3x 2+3y2y一3cos3x+6y=0又 y x=0=0，上式中令 x=0，y=0 解得 y x=0= ()y=y(x)由方程 f(x+y)一 y=0 确定，f 为抽象函数，若把 f(x+y)看成 f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题注意，f(x+y)及其导函数 f(x+y)均是 x 的复合函数 将 Yy=f(x+y)两边对 x 求导，并注意y 是 x 的函数，f 是关于 x 的复合函数，有 y=f (1+y)，即 y= 又由y=(1+y)f再对 x 求导，并注意 y
13、是 x 的函数，f仍然是关于 x 的复合函数，有 y“=(1+y)y+(1+y)(f) =y“f+(1+y)f“(1+y) =y“f+(1+y) 2f“，【知识模块】 微积分15 【正确答案】 注意 y 是 x 的函数，将方程两端对 x 求导得 e x+y(1+y)=y，即 y=(这里用方程 ex+y=y 化简)再对 x 求导得【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 由题设知 f(1+0)= =f(一 1)，故f(x)又可以写成【知识模块】 微积分18 【正确答案】 当 x0 时，由求导法则得 f(x)=3x 2sin ；当 x=0 时，可用以下两种方法
14、求得 f(0)方法 1按定义求：f(0)=0方法 2显然 f(x)=0=f(0)，f(x) 在点 x=0 处连续，又【知识模块】 微积分19 【正确答案】 n!f n+1(x)(n1)【试题解析】 将 f(x)=f2(x)两边求导得 f“(x)=2f(x)f(x)=2f3(x)， 再求导得 f (n)(z)=3!f2(x)f(x)=3!f4(x) 由此可猜想 f(n)(x)=n!fn+1(x)(n1)【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 用三角函数积化和差公式，可将 sin3x 化成形如 sinax 与 cosbx 的函数之和差，并用(s
15、inax) (n)及(cosbx) (n)的公式【知识模块】 微积分22 【正确答案】 假设结论不正确，则存在 x0(a，b)使得对任何 x(a，b)，要么f(x)f(x0)(这时 f(x0)为极小值 )；要么 f(x)f(x0)(这时 f(x0)为极大值)因此若结论不正确，则 f(x)必在(a，b)内某点 x0 处取得极值由于 f(x)在(a，b)内处处可导，由费马定理可知 f(x0)=0，但是对一切 x(a，b)有 f(x)0，这就产生了矛盾因此结论正确【试题解析】 f(x 1)f(x 0)f(x 2)的含义是既有函数值小于 f(x0)的点又有函数值大于f(x0)的点若这个结论不正确，则在
16、(a ，b) 内的函数值要么处处不小于 f(x0)，要么处处不大于 f(x0)，这时 f(x0)就是极值由费马定理得出 f(x0)=0，此与条件矛盾【知识模块】 微积分23 【正确答案】 设g(x)dx 是 g(x)的某个原函数，并令 R(x)=eg(x)dx，作辅助函数F(x)=R(x)f(x)，对 F(x)在a，b 上用罗尔定理，即知本题结论成立【试题解析】 注意存在 (a，b)， f()=g()，()令 f()一 g()f()=0 f(x)一 g(x)f(x) x=0 R(x)f(x)一 R(x)g(x)f(x) x=0 R(x)f(x) x=0， 其中 R(x)是在a，b上连续，在(a
17、，b)内可导，而且当 x(a，b) 时满足如下条件的任一函数： R(x)=一 R(x)g(x)，又 R(x)0 可取 R(x)=eg(x)dx，若对R(x)f(x)在a，b上可用罗尔定理即得证【知识模块】 微积分24 【正确答案】 () 由于 acb，由已知条件可知 f(x)在a ，c与c，b上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点 1(a，c) ， 2(c，b)，使 f(c)一 f(a)=f(1)(c一 a)， 1(a，c)； f(b)一 f(c)=f(2)(b 一 c)， 2(c，b)由于 f(a)=f(b)=0，于是有 f(c)=f(1)(c 一 a)， 一 f(c)=f(2)(b 一
18、c) 由于 c 一 a0，b 一 c0，f(c)0，因此由式、 可知 f(1)0， f( 2)0 由已知条件知 f(x)在 1， 2上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 (1， 2) (a，b)，使 f“()=0 ()令 F(x)=f(a+x)+f(a 一 x)，则 F(x)在0，h 上连续，在(0，h)内可导，由拉格朗日中值定理可得存在 (0，1)使得 =F(h)由于 F(h)一 F(0)=f(a+h)+f(a 一 h)一 2f(a)， F(x)=f(a+x)一f(a 一 x)， F(h)=f(a+h)一 f(a 一 h)，因此存在满足 01 的 使得 =f(a+h)一 f(a 一 h)【试
19、题解析】 () 明在某区间内存在一点 使得 f()=0 常可考虑利用罗尔定理，而证明在某区间内存在一点 使得 f()0 常可考虑利用拉格朗日中值定理 ()在a， a+h和a 一 h，a 上分别对 f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在1， 2(0，1)使得 f(a+h) 一 f(a)=f(a+1h)h， f(a 一 h)一 f(a)=一 f(a 一 2h)h，这时有 =f(a+1h)一 f(a 一 2h)，然而 1 与 2 未必相等若将 f(a+h)一 2f(a)+f(a 一 h)重新组合成 f(a+h)一 2f(a)+f(a 一 h)=f(a+h)+f(a一 h)一f(a+0)+f(a0)，
20、我们发现它是 F(x)=f(a+x)+f(a 一 x)在点 x=h 的值减去在点 x=0 的值，并且 f(a+h)一 f(a 一 h)=F(h)，要证的等式就是对 F(x)在0，h上应用拉格朗日中值定理的结果【知识模块】 微积分25 【正确答案】 将等式右端改写成令 F(x)= ，则F(x)，G(x)在 a，b 上满足柯西中值定理条件，于是，至少存在一点 (a，b)使得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(一1，1)时成立，只需证明： 1 f(x)，g(x) 在(一 1，1)可导且当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)； 2 存在 x0(一 1，1)使得 f(x0)=g(x0) 由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(一 1， 1)内可导，计算可得即当x(一 1，1)时 f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)，即恒等式成立【知识模块】 微积分
