1、考研数学三（微积分）模拟试卷 127 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，且 f(0)=0， =1，则（A）f(0)是 f(x)的极大值（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 f(x)，g(x)，“(x)的图形分别为则曲线 y=f(x)，y=g(x) ，y=(x)中恰有两个拐点的是（A）y=f(x)（B） y=f(x)， y=g(x)（C） y=f(x)， y=(x)（D
2、）y=f(x)，y=g(x) ，y=(x)3 曲线 y= +ln(1+ex)的渐近线的条数为（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 f(x)在 x=x0 可导，且 f(x0)=0，则 f(x0)=0 是f(x)在 x0 可导的( )条件（A）充分非必要（B）充分必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要5 设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在x=a 可导的( )条件（A）充分必要（B）充分非必要（C）必要非充分（D）既非充分也非必要6 函数 f(x)=(x2 一 x 一 2)x 3 一 x的不可导点有（A）3 个（
3、B） 2 个（C） 1 个（D）0 个7 设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，其中 a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(1)=b（D）可导且 f(1)=ab二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f(x)在(a ，b)内可导，证明：对于 x，x 0(a， b)且 xx0 时，f(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)f(x) (*)9 求 y(x)= 的极值点、拐点、凹凸区间与渐近线10 ()求曲线 y=xex 在点(1， )处的切线方程； ()求曲线
4、 y=0x(t 一 1)(t 一 2)dt上点(0 ，0) 处的切线方程； () 设曲线 y=x2+ax+b 和 2y=一 1+xy3 在点(1，一 1)处相切，求常数 a，b11 设总成本关于产量 x 的函数为 C(x)=400+3x+ x2，需求量 x 关于价格 P 的函数为 P= 求边际成本，边际收益，边际利润以及收益对价格的弹性12 设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P0，对应的需求量为 Q0 时，边际收益 R(Q0)=2，而 R(P0)=一 150，需求对价格的弹性 EP满足E P= 求 P0 和 Q013 设某商品需求量 Q 是价格 p 的
5、单调减函数 Q=Q(p)，其需求弹性= 0()设 R 为总收益函数，证明 =Q(1)；()求 p=6 时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义14 在椭圆 =1 内嵌入最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积15 求 f(x)= 在(0，+)内的最大、最小值16 求 cosx 的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式17 求 带皮亚诺余项的麦克劳林公式18 求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式19 求极限 I= 20 确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x 一(a+b )sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量21 设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 =
6、e4，求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)22 设 0x 23 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)a，f(1)a，f“(x)b，其中 a，b为非负常数，求证：对任何 c(0，1)，有 f(c)2a+ b24 设函数 f(x)在0，1上具有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0，f( )=一 1证明： 825 设 f(0)=1，且 f(0)=0，求极限 26 已知函数 f(x)在(0，+)内可导且 f(x)0， f(x)=1，又满足求 f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 127 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】
7、 由于 又f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，所以 f“(0)=0，但不能确定点(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点由 =10，根据极限的保号性可知，在 x=0 的某邻域内必有 0，即 f“(x)0，从而 f(x)在该邻域内单调增加又因 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 两侧变号，且在 x=0 的空心邻域内，当 x0 时 f(x)f(0)=0，当x0 时 f(x)f(0)=0 ，由极值第一充分条件可知，x=0 为 f(x)的极小值点即 f(0)是 f(x)的极小值，故选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 (1)由 f(x)的图形可知，在 (x0， 1
8、)上为凸弧，( 1，x 2)上为凹弧，(x2，+) 为凸弧，故 (1，f( 1)，(x 2，f(x 2)是 y=f(x)的两个拐点又因 f(x)在点 x=x0处不连续，所以点(x 0，f(x 0)不是拐点(拐点定义要求函数在该点处连续) (2)由g(x)的图形可知，在 x=1 和 x=x2 处有 g“(x)=0，且在 x=1，x=x 2 的左右两侧一阶导数升降性相反或二阶导数异号，故有两个拐点(x 1，g( 1)与(x 2，g(x 2)由于在 x0 附近，当 xx 0 和 xx 0 时 g(x)均单调上升或均有 g“(x)0，故点(x 0，g(x 0)不是拐点因此 g(x)只有两个拐点(3)由
9、 “(x)的图形可知，在点 x=x0 与 x=x2 处 (x)的二阶导数等于零，且二阶导数在其左右异号，故点(x 0，(x 0)与(x 2，(x 2)为拐点因为点 1 的附近二阶导数均为正，故点( 1，( 1)不是拐点 综上所述，曲线 y=f(x)，y=g(x)，y=(x) 均有两个拐点故选(D) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 先考察垂直渐近线间断点为 x=0 与 x=1，因 =，所以 x=0，x=分别是该曲线的垂直渐近线 再考察水平渐近线由于所以沿 x+方向无水平渐近线又所以沿 x一方向有水平渐近线 y=0 最后考察斜渐近线由于所以沿 x+ 方向有一条斜渐近线 y=x
10、因沿 x 一 方向有水平渐近线，当然就没有斜渐近线，所以共有 4 条，故选(D)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 按定义f(x)在 x0 可导存在因f(x)在 x=x0 处的右导数与左导数分别是 由可导的充要条件知f(x 0)=一f(x 0)f(x 0) =0，故选(B)【知识模块】 微积分5 【正确答案】 A【试题解析】 因为 (a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当g(a)0时，若 F(x)在 x=a 可导，可对 用商的求导法则 ()若 g(a)=0按定义考察即 F(a)=g(a)(a) ( )再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)=0若
11、 g(a)0，则由商的求导法则即知 (x)= 在 x=a 可导，与假设条件 (x)在 x=a 不可导矛盾因此应选(A) 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 函数x，x 一 1，x+1分别仅在 x=0，x=1，x= 一 1 不可导且它们处处连续因此只需在这些点考察 f(x)是否可导 f(x)=(x 2 一 x 一2)x x 一 1x+1，只需考察 x=0，1，一 1 是否可导 考察 x=0，令 g(x)=(x2 一 x 一 2)x 2 一 1，则 f(x)=g(x)x，g(0)存在，g(0)0，(x)=x在x=0 连续但不可导，故 f(x)在 x=0 不可导 考察 x=1，令
12、g(x)=(x2 一 x 一2)x 2+x，(x)=x1 ，则 g(1)存在，g(1)0，(x)在 x=1 连续但不可导，故f(x)=g(x)(x)在 x=1 不可导 考察 x=一 1，令 g(x)=(x2 一 x 一 2)x 2 一 x，(x)=x+1，则 g(一 1)存在，g(一 1)=0，(x)在 x=一 1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=一 1 可导因此选(B)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 按定义考察 =af(0)=ab，aba，abb因此，应选(D)【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 充分
13、性：设(*)成立， x1，x 2(a， b)且 x1x 2，则 f(x 2)f(x 1)+f(x1)(x2 一 x1)，f(x 1)f(x 2)+f(x2)(x1 一 x2) 两式相加可得 f(x1)一 f(x2)(x2 一 x1)0，于是由 x1x 2 知 f(x1)f(x 2)，即 f(x)在(a，b)单调减少 必要性：设 f(x)在(a， b)单调减少对于 x，x 0(a，b)且 xx0，由微分中值定理得 f(x)一f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)=f()一 f(x0)(x 一 x0)0，其中 在 x 与 x0 之间，即(*)成立【知识模块】 微积分9 【正确答案】 () 先求驻
14、点与不可导点由 当 xx 1 时y 0， y=y(x)：为增函数；当 x1x1 时 y0， y=y(x)为减函数；当 x=1 时函数无定义，y=y(x) 不可导；当 1xx 2 时 y0，y=y(x)为减函数；当 xx 2 时y 0， y=y(x)为增函数于是 x=x1 为极大值点，x=x 2 为极小值点，x=1 为不可导点 ( )再考虑凹凸区间与拐点由 令 y“=0，解得 x1= ；在 x=1 处 y“不存在 当 x x1 时y“ 0， y=y(x)图形为凹；当 x1 时 y“(x)0，y=y(x)图形为凹，于是 y=y(x)图形的拐点为 ()最后考察渐近线由于 因此 x=1 为曲线 y=y
15、(x)的垂直渐近线又=，因此无水平渐近线由可知曲线y=y(x)有斜渐近线 y=x+1【知识模块】 微积分10 【正确答案】 () 因为 y=(1 一 x)ex，于是 y(1)=0从而曲线 y=xex 在点(1，) ()因 y(0)=0x(t1)(t 一 2)dt x=0=(x1)(x 一2) x=0=2，于是曲线在点(0，0)处的切线方程是 y=2x ()曲线 y=x2+ax+b 过点(1，一 1)，所以 1+a+b=一 1，在点(1，一 1)处切线的斜率为 y=(x2+ax+b) x=0=2+a将方程 2y=一 1+xy3 对 x 求导得 2y=y3+3xy2y由此知，该曲线在点(1 ，一
16、1)处的斜率 y(1)满足 2y(1)=(一 1)3+3y(1)，解出得 y(1)=1因这两条曲线在点(1，一 1)处相切，所以在该点它们切线的斜率相同，即 2+a=1，即 a=一 1再由 1+a+b=一 1 得 b=一 2a=一 1因此 a=一 1，b=一 1【知识模块】 微积分11 【正确答案】 由边际成本的定义知，边际成本 MC=C(x)=3+x又因总收益函数 R=Px= 从而边际利润 ML=MRMC= 一 x 一 3 由于函数 P=，由此可得收益对价格的弹性 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 因需求函数 Q=Q(P)单调减少，故需求对价格的弹性 EP0，且反函数 P=P(Q)存在
17、由题设知 Q0=Q(P0)，P 0=P(Q0)，且 把它们代入分析中所得的关系式就有 R(Q 0)=P0(1 一 )=一150，即 Q0=300【试题解析】 为了解决本题，必须建立 R(Q)，R(P)与 EP 之间的关系 因R=PQ=PQ(P)，于是 R(P)=Q(P)+ =Q(1+EP) 设 P=P(Q)是需求函数 Q=Q(P)的反函数，则 R=PQ=QP(Q)，于是 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 ()R(p)=pQ(p)，两边对 p 求导得经济意义：当价格 p=6 时，若价格上涨 1，则总收益将增加 054【知识模块】 微积分14 【正确答案】 设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为
18、 M(x，y)，则矩形的面积为 S(x)=4xy= (0xa)下面求 S(x)在0，a上的最大值先求 S(x)：令 S(x)=0 解得 x=2ab，所以 S(x)在0，a的最大值即内接矩形最大面积为 2ab 设 f(x)在(a，b)内可导，又 f(x)=+(一)，则 f(x)在(a ，b)存在最小(大) 值求这个最值归结为求 f(x)在(a，b)的驻点【知识模块】 微积分15 【正确答案】 由 f(x)= (2+lnx)=0，解得唯一驻点 x0=e2(0，+) (分析单调性)x (0，+)时 f(x)可导当 x(0，e 2)时 f(x)0，f(x)在(0， e2单调减少；当 x(e2，+)时
19、f(x)0， f(x)在e 2，+) 单调增加，于是x0=e2 为 f(x)在(0，+)的最小值点f(x)在(0，+)内的最小值为 f(e2)=一 2e1，再由上述单调性可知 f(x)在(0 ，+)无最大值【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 不难看出当 1 一 a 一 b=0 与 一 b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a= x5+o(x5)，f(x)是 x 的 5 阶无穷小量(x0)【知识模块】 微积分21
20、【正确答案】 1)再用当x0 时的等价无穷小替换 ln1+f(x)f(x)，可得 =4 2)用 o(1)表示当x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得 f(x)=4xn+o(xn)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0 ，f(0)=0， ，f (n1)(0)=0， =4，故 f(n)(0)=4n!【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由带拉格朗日余项的泰勒公式【知识模块】 微积分23 【正确答案】 考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： (0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(x 一 c)+ f“()(x 一 c)2， (
21、*)其中 =c+(x 一 c)，0 f“(1)c2，0 1c1； 在(*) 式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1 一 c)+ f“(2)(1 一 c)2，0c 2 1上面两式相减得 f(1)一 f(0)=f，(c)+ f“(2)(1 一 c)2 一 f“(1)c2 从而 f(c)=f(1)一 f(0)+ f“(1)c2 一 f“(2)(1 一 c)2，两端取绝对值并放大即得 其中利用了对任何 c(0，1) 有(1 一 c)21c，c 2c于是(1 一 c)2+c21【试题解析】 证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式本题涉及证明f(c)
22、2a+ ，自然联想到将 f(x)在点x=c 处展开【知识模块】 微积分24 【正确答案】 将 f(x)在 x0= 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，有在上式中分别令 x=0，x=1 ，并利用 f(0)=f(1)=0 即得将式与式相加消去未知的一阶导数值 f( )可得【试题解析】 为了得到 f“(x)的估值可以利用泰勒公式找出它与 f(0)，f(1)及 min f(x)之间的关系由于题设条件中给出了 f(0)与 f(1)的函数值，又涉及二阶导数f“(x)，因此可考虑利用 f(0)和 f(1)在展开点 x0= 处的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式【知识模块】 微积分25 【正确答案】 这是 型极限，因为在题目中没有假设当 x0 时 f(x)可导，故不能使用洛必达法则求极限由导数定义可得【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分
