1、考研数学三（微积分）模拟试卷 130 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数是（A）1+sinx（B） 1 一 sinx（C） 1+cosx（D）1 一 cosx2 函数 F(x)=0x+2(t)dt，其中 f(t)= (1+sin2t)cos2t，则 F(x)（A）为正数（B）为负数（C）恒为零（D）不是常数3 下列反常积分中收敛的是4 下列反常积分其结论不正确的是二、填空题5 设 f(cos2x)=sin2x，且 f(0)=0，则 f(x)=_6 已知 F(x)是 f(x)=xcosx 的一个
2、原函数，且 0F(x)dx=2，则 F(x)=_7 设 f(x)在0，1连续， f(cosx)dx=4，则 I=02f(cosx)dx=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列不定积分：9 设函数 f(x)= 并记 F(x)=0xf(t)dt (0x2)，试求 F(x)及f(x)dx10 求下列不定积分：11 求下列不定积分：12 计算下列不定积分：13 求下列不定积分：14 计算下列不定积分：15 求下列不定积分：()arctanxdx； ()sin 2xdx； ()sin dx16 求下列不定积分：17 求 In= 的递推公式(a 0，n=1，2，3，)18 设函数
3、f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 abf(x)dx=f(b)求证：在(a， b)内至少存在一点 ，使 f()=019 求下列变限积分函数的导数，其中 f(x)连续( )F(x)= 2xln(x+1)0tf(u)dudt，求 F“(x)(x0)20 以下计算是否正确? 为什么 ?21 n 为自然数，证明： 02cosnxdx=02sinnxdx=22 计算下列定积分：23 求 G(x)=0xf(t)g(x 一 t)dt，其中 f(x)=x(x0)，g(x)=24 计算定积分 I= (a0，b0)25 求 26 计算定积分 0e1(x+1)ln2(x+1)dx27 设 f(x)在a
4、，b上有连续的导函数，且 f(b)=0，当 xa，b时f(x)M，证明： abf(x)dx 28 设 f(x)，g(x) 均为0 ，T上的连续可微函数，且 f(0)=0，证明： ( ) 0Tf(x)g(x)dx=0Tf(t)tTg(x)dxdx； () 0Tf(c)dt=0Tf(t)(T 一 t)dt29 求 In= cosnxdx，n=0 ，1，2，3，30 求下列定积分：() I=02 ；() I n，m =02sinnxcosmxdx，其中自然数 n 或 m 为奇数。31 ()设 f(x)连续，证明： 0xf(sinx)dx= f(sinx)dx； ( )求I= sin2xarctane
5、xdx32 计算下列反常积分的值：33 设直线 y=x 将椭圆 x2+3y2 一 6y=0 分成两部分，求椭圆在该直线下方部分的面积34 设 D1 是由曲线 y= 和直线 y=a 及 x=0 所围成的平面区域； D2 是由曲线y= 和直线 y=a 及 x=1 所围成的平面区域，其中 0a1 ()试求 D1 绕x 轴旋转而成的旋转体体积 V1；D 2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2(如图 38)； ()问当 a 为何值时，V 1+V2 取得最小值?试求此最小值35 设两曲线 y= 在(x 0，y 0)处有公切线，求这两曲线与 x轴嗣成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 V考研数学三
6、（微积分）模拟试卷 130 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x)=sinx，从而 f(x)=sinxdx=一 cosx+C1，于是 f(x)的全体原函数为 f(x)dx=一 sinx+C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数 取 C1=0，C 2=1，即得 1 一 sinx 是 f(x)的一个原函数故应选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由于被积函数连续且以 为周期(2 也是周期)，故 F(x)=F(0)=02f(t)dt=20f(t)dt，即 F(x)为常数由于被积函数是变
7、号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即 故应选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 记 I= ，则有若 q1，则积分，收敛；若 q1，则积分，发散由此可知应选(C) 令 t=lnx 通过换元法，经计算也可选出(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 故(A)正确 对于(B)：由分部积分有综上分析，(C) 不正确，故选 (C)【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 x 一 x2【试题解析】 令 u=cos2x，则由题设有 f(u)=1 一 u，于是 f(u)=u 一x2+C，令 x=0，则 0=f(0)=C，所以 f(
8、x)=x 一 x2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 xsinx+cosx+1【试题解析】 由题设及原函数存在定理可知f(x)dx=F(x)= 0xtcostdt+C0，其中 C0 为某常数，从而 F(x)= 0xtd(sint)+C0=tsint 0x 一 0xsintdt+C0=xsinx+cosx+C0 一 1 又0F(x)dx=0xsinxdx+0cosxdx+(C0 一 1)=C0 一 =2，解得 C0=2，于是 F(x)=xsinx+cosx+1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 4A【试题解析】 (cosx ) 在( 一，+) 连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶
9、函数的积分性质得 I=2 02f(cos)dx=(cosx)dx=4A 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 () =tanx一 cotx+C()tan 2xdx=(sec2x 一 1)dx=sec2xdx 一dx=tanx 一 x+C【知识模块】 微积分9 【正确答案】 根据牛顿一莱布尼兹公式，当 0x1 时，有f(x)dx=F(x)+C【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 再利用上面的直角三角形示意图，则有其中 C1=Clna ()被积函数的定义域是 x，即 xa 或 x一 a当 xa 时，令x=a
10、sect，于是 0t ，且 dx=asecttantdt，则其中 C1=Clna 当 x一 a 时，令 x=一 u，于是 ua ，且【知识模块】 微积分12 【正确答案】 ()令 x=tant，则 dx=sec2tdt，且 t=arctanx于是原式= sec2tdt=e2tcostdt=e2tsint一 2e2tsintdt =e2tsint+2e2tcost 一 4e2tcostdt【知识模块】 微积分13 【正确答案】 () 被积函数中含有两个根式=t，即 x=t6，则()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，但也能通过变量替换将根式去掉令 =t，即 x=ln(t21)，从
11、而【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 ()为了计算xcos2xdx，要用分部积分法，有()令=t，则 x=t3，dx=3t 2dt于是原式=sint3t 2dt=一 3t2dcost=一 3t2cost+3cost2tdt =一 3t2cost+6tdsint=一 3t2cost+6tsint 一 6sintdt =一 3t2cost+6tsint+6cost+C=一 3 +C【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 因此，对任意的自然数 n 均可利用上述递推公式求得 In 的值【知识模块】 微积分18 【正确答
12、案】 因为 f(x)在a ，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c 使得 f(c)= abf(x)dx这就说明 f(c)=f(b)，从而根据假设可得：f(x)在c ，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知在(c ，b)内至少存在一点 使得f()=0，其中 (c，b) (a，b)【知识模块】 微积分19 【正确答案】 () 注意到积分的上、下限都是 x 的复合函数，由变限积分求导公式(3 8) 可得()令g(t)= 0tf(u)du，注意 g(t)是 t 的可导函数，则 F(x)=1xg(t)dt，F(x)=g(x)，F“(x)=g(x)= 【知识模块】 微积分20
13、【正确答案】 利用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分 abf(x)dx 必须满足两个条件：其一是 f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在 a，b上的一个原函数 ( )不正确因为 在一 2，2上的原函数 ()正确由于 f(x)在一 2， 1上只有一个第一类间断点 x=0，且是有界函数，因此f(x)在一 2，1上可积，从而利用定积分的性质可知题中的计算过程正确 () 不正确因为 (x0)，可知积分应是负值事实上 由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的原因在于 arctan 在 x=0 不连续，且 x=0 不是arctan 在区间一 1，1上的一个原函数，故不能直接在一 1，1上应用
14、牛顿一莱布尼兹公式这时正确的做法是把一 1， 1分为 一 1，0与 0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算：【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 ()由于函数 f(x)的分界点为 0，所以，令 t=x 一 1 后，有 02f(x1)dx=11f(t)dt=10 +ln(1+t) 01 =一 ln(1+et) 10+ln2=ln(1+e)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 x 一 t=u，于是 t=xu，且当 t 从 0 变到 x 对应于 u 从 x 变到0，dt= 一 du，故可得 G(x)=0xf(t)g(xt)dt=0xf(x 一
15、u)g(u)(一 du)=0xg(u)f(x 一 u)du =0xg(t)f(x 一 t)dt又由题设知 f(x 一 t)=x 一 t(tx)，注意到积分变量 t 总不会大于x，因而 当 0x 时， G(x)= 0xg(t)f(xt)dt=0xsint(xt)dt= 一 0x(xt)d(cost)=xsinx 当 x 时， G(x)= 0xg(t)f(x 一 t)dt= (x 一 t)dt=x1综合得 G(x)= 若被积函数的原函数是分段表示的，则也要用分段积分法求定积分【试题解析】 本题的特点是积分中含有参数 x，且它的取值范围是0，+)，由于当参数 x 在不同区上取值时被积函数有不同表达式
16、，从而需要分段积分【知识模块】 微积分24 【正确答案】 在区间0，上按如下方式用牛顿一莱布尼兹公式是错误的即因而不能在0，上对积分，应用牛顿一莱布尼兹公式但可按如下方法计算：这就是分段积分后用了推广的牛顿一莱布尼兹公式的推论【知识模块】 微积分25 【正确答案】 作代换 x=asect，当 t 由 0 变到 时对应于 x 由 a 变到 2a，所以【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 对 abf(x)d(x 一 a)利用分部积分公式由于 abf(x)dx=abf(x)d(xa)=(xa)f(x) abab(xa)f(x)dx =一 ab(x 一 a)f
17、(x)dx，因此 abf(x)dx= ab(x 一 a)f(x)dxM ab(x 一 a)dx= 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 () 由于 g(x)连续，所以 Ttg(x)dx 关于 t 可导，则利用凑微分及分部积分法有 0Tf(x)g(x)dx=0Tf(x)dtxg(t)dt=f(x)Txg(t)dt 0T 一 0TTxg(t)dtf(x)dx 由f(0)=0 知，上述第二个等号后的第一项为零，于是 0Tf(x)g(x)dx=一 0Tf(x)Txg(t)dtdx=0Tf(t)tTg(x)dxdt ()因 f(0)=0，由分部积分法有 0Tf(t)dt=0Tf(t)d(t 一 T)=
18、f(t)(t一 T) 0T 一 0T(t 一 T)f(t)dt =0Tf(t)(Tt)dt【知识模块】 微积分29 【正确答案】 ()于是当 n2时得递推公式 In= In2 (312) 应用这一递推公式，当 n 为偶数时，就有这说明 Jn 与 In 有相同公式【知识模块】 微积分30 【正确答案】 因此 I n，m =0【知识模块】 微积分31 【正确答案】 () 令 g(x)=xf*sinx)，则 g(x)在0，上连续，注意到 sin(x)=sinx，于是 g( 一 x)=(x)fsin(x)=( 一 x)f(sinx)，由(*) 式可得()由于 1+cos2x=2sin2x，从而可用()
19、的结果，即【试题解析】 在定积分 0af(x)dx 中作换元，令 t=a 一 x 可得 x：0a 对应t：a0 ，且 dx=一 dt，于是 0af(x)dx=一 a0f(a 一 t)dt=0af(a 一 t)dt=0af(ax)dx， 从而有 0af(c)dc= 0af(x)+f(a 一 x)dx (*)当(*)式右端的定积分容易计算时，(*)式就是积分 0af(x)dx 的一个简化计算公式 在定积分 aaf(x)dx 中，除 f(x)是一a，a上的奇函数或偶函数时有简化计算公式外，当 f(x)是不具奇偶性的某些函数时也有如下的简化计算公式 首先 aaf(x)dx=0af(x)dx+a0f(x
20、)dx，在 a0f(x)dx 中作换元，令 t=一 x 可得 x：一 a0 对应 t：a0，且 dx=一 dt，于是 a0f(x)dx=一a0f(t)dt=0af(t)dt=0af(一 x)dx，从而有 aaf(x)dx=0af(x)+f(一 x)dx (*)当(*)式右端的定积分容易计算时，(*) 式就是积分 aaf(x)dx 的一个简化计算公式【知识模块】 微积分32 【正确答案】 ()由于 x2 一 2x=(x 一 1)21，为去掉被积函数中的根号，可令 x 一 1=sect这样就有()采用分解法与分部积分法注意 ，将被积函数分解并用分部积分法有()由于 4x 一 x2=4 一(x 一
21、2)2，令 x 一 2=t，可得【知识模块】 微积分33 【正确答案】 所求图形(如图 35)的面积为【试题解析】 如图 35，直线 y=x 与椭圆 x2+3y2 一 6y=0 的交点坐标为 O(0，0)，A( )选用 y 为积分变量更恰当，这时两曲线方程分别为 x=y 与 x=【知识模块】 微积分34 【正确答案】 ()D 1 与 D2 可分别表示为在 D1 中对应横坐标为xx+dx 的小窄条绕 x 轴旋转一周形成一个圆环形薄片，其内半径为 a，外半径为，厚度为 dx，故其体积为 dV=(1 一 x2a2)dx，从而在 D2 中对应横坐标为 xx+dx 的小窄条绕 y 轴旋转一周形成一个薄壁圆筒，其半径为 x，高度为 a 一，从而【知识模块】 微积分35 【正确答案】 如图 39，先求 a 值与切点坐标： y 1=由两曲线在(x 0，y 0)处有公切线得 解得 x0=e2，a=e 1 我们所求的旋转体体积 V 等于曲线 y= 分别与 x 轴及直线 x=e2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差，即【知识模块】 微积分
