1、考研数学三（微积分）模拟试卷 138 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）在（一，+）内有定义，且 则（ ）（A）x=0 必是 g（x）的第一类间断点（B） x=0 必是 g（x）的第二类间断点（C） x=0 必是 g（x）的连续点（D）g（x）在点 x=0 处的连续性与 a 的取值有关2 设 其中 a2+c20，则必有（ ）（A）b = 4d（B） b = 4d（C） a = 4c（D）a = 4c3 设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，则 f（x）在 x=a 处可导的一个充分条件是（ ）4 设 f（ x）=arctanx （
2、x1），则（ ）（A）f（x）在1 ，+ ）单调增加（B） f（x）在1，+）单调减少（C） f（x）在1，+）为常数（D）f（x）在1 ，+ ）为常数 05 设函数 f（x）在 x=a 的某邻域内有定义，且 则在 x=a 处（ ）（A）f（x）的导数存在，且 f （a ）0（B） f（x）取得极大值（C） f（x）取得极小值（D）f（x）的导数不存在6 使不等式 lnx 成立的 x 的范围是（ ）（A）（0，1）（B）（C）（D）（， +）7 已知 fx（x 0，y 0）存在，则（A）f x（x 0，y 0）（B） 0（C） 2fx（x 0，y 0）（D） fx（x 0，y 0）8 设 I1
3、= cos（x 2+ y2）d，I 3= cos（x 2+y2） 2d，其中D=（x，y）|x 2+y21，则（ ）（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I29 设函数 f（t）连续，则二重积分 d2cos2f（r 2）rdr=（ ）10 an 和 bn 符合下列哪一个条件可由 an 发散得出 bn 发散？（ ）（A）a nbn（B） |an|bn（C） an|bn|（D）|a n|bn|11 微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y|x=2=1 的特解为（ ）（A）xy 2=4（B） xy=4（C） x2y=4（D）一 xy=4二
4、、填空题12 若 f（x）= 在（一，+）内连续，则 a=_。13 设函数 f（x）在 x=2 的某邻域内可导，且 f（x）=e f（x） ，f（2）=1，则f“（2）=_。14 设曲线 y= f（x）与 y=x2x 在点（1，0）处有公共的切线，则=_。15 16 17 设函数 ，则 dz|（1，1） =_。18 设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分xyd=_。19 无穷级数 的收敛区间为_。20 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y（1）=2 的特解为_。21 设 y=ex（asinx+bcosx）（a，b 为任意常数）为某二阶常系数线性齐
5、次微分方程的通解，则该方程为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求函数 f（x）= 的所有间断点及其类型。23 24 （）证明拉格朗日中值定理：若函数 f（x）在a，b上连续，在（a ，b）内可导，则存在 （a，b），使得 f（b）一 f（a ）=f（）（ba）。（）证明：若函数 f（ x）在 x=0 处连续，在（0， ）（0）内可导，且 f（x）=A，则f+（ 0）存在，且 f+（0） =A。25 设 f（x）= 1xt|t|dt（x一 1），求曲线 y=f（x）与 x 轴所围封闭图形的面积。26 设 z= f（x+y，xy，xy），其中 f 具有二阶连续偏导数，求
6、dz 与27 已知函数 z=f（x，y）的全微分出=2xdx 2ydy，并且 f（1，1）=2。求f（x， y）在椭圆域 D=（x，y）|x 2+ 1上的最大值和最小值。28 计算二重积分 x（y+1）d，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 y=所围成。29 设正项数列a n单调递减，且 （一 1） nan 发散，试问级数 是否收敛?并说明理由。考研数学三（微积分）模拟试卷 138 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 又 g（0）=0，所以当 a=0 时，有 此时 g（x）在点 x=0 处连续，当 a0 时，g（0）
7、，即 x=0 是 g（x）的第一类间断点。因此，g（x）在 x=0 处的连续性与 a 的取值有关，故选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，由佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln（12x）均为 x 的一阶无穷小；而 1cosx，1 e x2 均为 x 的二阶无穷小，因此有故有 =2，即 a=4c，故选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f（x）在 x=a 处可导，即该极限存在是 f（x）在x=a 处可导的一个充分条件。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 按选
8、项要求，先求 f（x）。又 f（x）在1，+）连续，则 f（x）=常数=f（1）= 。故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解。取 f（x）f（a）= 一（xa） 2，显然满足题设条件，而此时 f（x）为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 原问题可化为求成立时 x 的取值范围，由 0，t（0，1）知，当 x（0，1）时，f（x）0。故应选 A。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 由题意=fx（x 0，y 0）+fx（x 0，y 0）=2f x（x 0，y 0
9、），故选 C。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 在区域 D=（x，y）|x 2+y21上，有 0x2+y21，从而有 x2+y2 （x 2+y2） 20。已知函数 cosx 在 上为单调减函数，于是 cos（x 2+ y2） cos（x 2+y2） 2 因此cos（x 2+y2）d cos（x 2+y2） 2d 故应选 A。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r =2 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4，而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=2x，即（x1）2+y 2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=
10、02dx f（x 2+y2）dy。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 反证法。如果 bn 收敛，由|a n|bn 知， |an|收敛，从而 an 收敛与题设矛盾，故选 B。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 原微分方程分离变量得 两端积分得 ln|y|=一 2ln |x|+lnC，x 2y=C，将 y|x=2=1 代入得 C=4，故所求特解为 x2y=4。应选 C。【知识模块】 微积分二、填空题12 【正确答案】 0【试题解析】 因为 f（x）在（一，0）及（0，+）内连续，所以需要确定数a，使 f（x）在 x=0 处连续。 当时，f（x）在 x=0 处
11、连续，因此 a=0 时，f（x）在（一，+ ）内连续。【知识模块】 微积分13 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由题设知，f（x）=f f（x） ，两边对 x 求导得 f“（x）=e f（x） f（x）=e2f（x） ， f“（x）=2e 2f（ x） f（x）=2e 3f（x） 。 又 f（2）=1，故 f“（2）=2e 3f（x）=2e3。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 2【试题解析】 根据已知条件有【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 （1+2ln2） dx+ （1
12、2ln2） dy【试题解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 本题可以利用极坐标变换， ，0r2sin。因此【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 在原级数中令 =t，原级数可化为 ntn，只需讨论 ntn 的收敛半径和收敛区间即可。对于级数 ntn，由于 因此，ntn 的收敛半径为 1，收敛区间为（一 1，1）。由于 =t，t（0，1）所以 x=，即原级数 x2n 的收敛区间为【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 原方程可化为（xy） =0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2，故所求特解为 xy=2，即【知识模块】 微积分21 【正确
13、答案】 y“一 2y+2y=0【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 r1，r 2=1i，因此特征方程为 （rr 1）（rr 2）=r 2 一（r 1+r2）r+r 1r2=r2 一 2r+2=0， 故所求微分方程为 y“一 2y+2y=0。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 函数 f（x）有可疑间断点 x=0，x=1，x= 1，且所以 x=0 为跳跃间断点， x=1 为可去间断点，x=1 为无穷间断点。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由 f（x）=1+ ，由基本初等函数 的高阶导公式可知，【知识模块】 微积分24 【正
14、确答案】 （）作辅助函数 （x）=f（x） f（a）一 ，易验证 （x）满足： （ a）= （b）；（x）在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且 根据罗尔定理，可得在（a，b）内至少有一点 ，使 （ ）=0，即 所以 f（b） f（a）=f （）（ba ）。（ ）任取 x0（0，），则函数 f（x）满足在闭区间0， x0上连续，开区间（0，x 0）内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在，使得又由于 f（x）=A ，对（*）式两边取 x00 +时的极限故 f+（0）存在，且 f+（ 0）=A。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 因为 t|t|为奇函数，可知其原函数 f（x）=
15、1xt|t|dt=10|t|t|dt+0xt|t|dt 为偶函数，因此由 f（1）=0，得 f（1）=0，即 y=f（x）与 x 轴有交点（1，0），（1，0）。又由 f（x）=x|x| ，可知 x0 时，f（x）0，故f（x）单调减少，从而 f（x）f（1）=0 （1 x0）；当 x0 时，f（x）=x|x|0，故 x0 时 f（x）单调增加，且 y=f（x）与 x 轴有唯一交点（1，0）。因此 y=f（x）与 x 轴交点仅有两个。所以封闭曲线所围面积 A=11|f（x）|d=2 10|f（ x）|dx。当 x0 时，f（x）= 1xt|t|dt=10 一 t2dt= （1+ x3），故 A
16、=210（1+x 3）dx= 。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意 = f1“+f2“+yf3“， =f1f2+xf3，所以=（f 1+f2+yf3）dx+ （f 1f2+xf3）dy， =f11“ 1+f 12“（1）+f 13“x +f 21“ 1+ f22“ （1） +f 23“x+f 3+ yf31“ 1 +f 32“ （1） +f 33“x= f3+f11“f22“+ xyf33“+ （x + y）f 13“+ （x y）f 23“。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 根据题意可知 = 2y，于是 f（x，y）=x 2+C（y），且 C（y）= 2y，因此有 C（y）
17、= y2+C，由 f（ 1，1）=2，得 C=2，故f（x， y）=x 2 一 y2+2。令 =0 得可能极值点为 x=0，y=0。且=B2AC =40，所以点（0，0）不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线 x2+ =1 上的情形，令拉格朗日函数为得可能极值点x=0，y=2，=4;x =0，y=2，=4;x=1 ，y=0，=1;x =1，y=0，=1。将其分别代入 f（x，y）得，f（0，2）= 一 2f（1，0 ）=3，因此 z=f（x，y）在区域D=（x，y）|x 2+ 1内的最大值为 3，最小值为 2。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 引入极坐标（r，）满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标（r，）中积分区域 D 可表示为【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由于正项数列a n单调递减有下界，由单调有界原理知极限 an存在，将极限记为 a，则有 ana，且 a0。又因为 （一 1） nan 是发散的，根据交错级数的莱布尼茨判别法可知 a0（否则级数 （一 1） nan 是收敛的）。已知正项级数a n单调递减，因此 而 收敛，因此根据比较判别法可知，级数 也收敛。【知识模块】 微积分
