1、考研数学三（微积分）模拟试卷 139 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 x0 时 ax2+bx+ccosx 是比 x2 高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则（ ）2 当 x0 时，e x 一（ax 2+ bx+1）是比 x2 高阶的无穷小，则（ ）（A）a= ， b=1（B） a=1，b=1（C） a = ，b = 1（D）a = 1，b =13 则 f（x）在 x=0 处（ ）（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续但不可导（D）可导4 设 f（ x）可导且 f（x 0） = ，则当x0 时，f（x）在 x0 点处的微分 dy
2、是（ ）（A）与x 等价的无穷小（B）与 x 同阶的无穷小（C）比 x 低阶的无穷小（D）比x 高阶的无穷小5 设常数 k0，函数 f（x）=lnx +k 在（0，+）内零点个数为（ ）（A）3（B） 2（C） 1（D）06 设 f（ x）在a，b上二阶可导，且 f（x）0，使不等式 f（a）（ba ） abf（x）dx（ba） 成立的条件是（ ）（A）f（x） 0，f“ （x）0（B） f（x）0，f“ （x）0（C） f（x）0，f“ （x）0（D）f（x） 0，f“ （x）07 设 F（x）= xx+2esintsintdt，则 F（x）（ ）（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D
3、）不为常数8 设 z=f（x，y）在点（x 0，y 0）处可微，z 是 f（x，y）在点（x 0，y 0）处的全增量，则在点（x 0，y 0） 处（ ）。（A）z = dz（B） z = fx（x 0，y 0） x +f y（x 0，y 0） y（C） z = fx（x 0，y 0）dx +f y（x 0，y 0） dy（D）z = dz + o（）9 设平面 D 由 x+y= ，x+y =1 及两条坐标轴围成，I 1= ln（x+y）3dxdy，I 2= （x+y） 3dxdy，I 3= sin（x+y ）I 3dxdy，则（ ）（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I1I
4、 3I 2（D）I 3I 2 I110 设有平面闭区域，D=（x，y）| axa，xya，D 1=（x，y） 10xa，xya，则 （xy+cosxsiny） dxdy=（ ）11 若级数 an 收敛， bn 发散，则（ ）（A） anbn 必发散（B） an2 必收敛（C） bn2 必发散（D） （a n+|bn|）必发散12 设曲线 Y=y（x）满足 xdy+（x 一 2y）dx=0，且 y=y（x）与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小，则 y（x）=（ ）二、填空题13 14 设 y=（1+sinx） x，则 dy|x=_。15 曲线 的过原点的切线
5、是_。16 17 广义积分18 19 设 z=（x+e y） x，则 |（1，0） =_。20 幂级数 的收敛半径 R=_。21 微分方程 满足初始条件 Y（1）=1 的特解是 y=_。22 微分方程 y“一 2y+2y=ex 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 求函数 f（x）= 的单调区间与极值。24 设函数 f（x），g（x）在a ，b上连续，在（a ，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a ）= g（a），f（b）=g （b），证明：存在 （a ，b），使得f“（） =g“（ ）。25 计算26 已知函数 f（u， ）具有连续的二阶偏导数，f（ 1
6、，1）=2 是 f（u，）的极值，已知 z=f（x+y），f（x，y） 。求27 设平面区域 D 由直线 x= 3y，y=3x 及 x+y=8 围成。计算 x2dxdy。28 计算积分 11dy +sin3y）dx。29 求幂级数 的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。考研数学三（微积分）模拟试卷 139 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由题意得 （ax 2+ bx +ccosx）=0，得 c=1，又因为所以得 b=0，a= 。故选C。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 因 ex=1+x+ +o（x
7、2），故 ex 一（ax 2+ bx+1）= （1b）x+（ 一a）x 2+o（x 2）。显然要使上式是比 x2 高阶的无穷小（x0 时），只要故选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f+（0），f（0）都存在可得，f （x）在 x=0 右连续和左连续，所以 f（x）在 x=0 连续；但f+（0）f （0），所以 f（x）在 x=0 处不可导。所以选 C。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f（x）在 x0 点处可导及微分的定义可知 dy=f（x 0）x= 于是 即当x 时，dy 与x 是同阶的无穷小，故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答
8、案】 B【试题解析】 因 f（x）= 令 f（x）=0，得唯一驻点 x=e，故 f（x）在区间（0，e）与（ e，+）内都具有单调性。又 f（e）=k0，而所以由零点存在定理，f（x）在（0，e）与（e，+）内分别有唯一零点，故选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，要使上面不等式成立，需过点（a，f（a）且平行于 x 轴的直线在曲线 y=f（x）的下方，连接点（a，f（a）和点（b，f（b）的直线在曲线 y=f（x）的上方，如图124 所示。 当曲线 y=f（x）在a ，b是单调上升且是凹函数时有此性质。于是当 f（x）
9、0，f“（x）0 成立时，上述条件成立，故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 由于被积函数以 2 为周期，所以 F（x）=F（0），而 F （0）=02esintsintdt =一 02esintdcost =esunt|02+02esintcos2tdt =02esintcos2tdt0。 故选A。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z= f（x，y）在点（x 0，y 0）处可微，则 z=f （x 0，y 0）x+f，（x 0，y 0）y+o （）=dz+o（ ）， 故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D
10、上 0x+y1，则 ln（x+y） 30，0sin（x+y ）3（x+y ） 3，从而有 ln（x+y ） 3dxdy sin（x+y） 3dxdy （x+y） 3dxdy，故选 C。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 将闭区间 D=（x，y）|axa，xya用直线 y=x 将其分成两部分 D1 和 D2，如图 147 所示，其中 D1 关于 y 轴对称，D 2 关于戈轴对称，xy关于戈和 y 均为奇函数，所以在 D1 和 D2 上，均有 xydxdy=0。向 cosxsiny 是关于x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D1 积分不为零，在 D2 积分值为零，因此【知识模
11、块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 由 bn 发散可知， |bn|必发散，而 an 收敛，则 （a n+|bn|）必发散，故选 D。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 C【试题解析】 原方程可化为 =一 1，其通解为曲线 y=x+Cx2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为故 C= 是唯一的极值点，则为最小值点，所以 y=x x2。【知识模块】 微积分二、填空题13 【正确答案】 1【试题解析】 利用等价无穷小量替换将极限式进行化简，即【知识模块】 微积分14 【正确答案】 dx【试题解析】 等式转换为：y=（1+sinx） x=exlnl +s
12、inx，于是 y=exln（1+sinx） ln（1+sinx ） +x 从而 dy|x=y（ ）dx=dx 。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点（0，0）不在曲线上，首先求出切点坐标。设切点为则切线方程为把（0，0）代入上式得 x0=3 或 x0= 15。则斜率分别为 k 1 =y|x=3=1；k 2=y|x=15= 所以切线方程为 x+25y=0 与 x+y=0。【知识模块】 微积分16 【正确答案】 （e 2xarctanex+ex+arctanex）+C【试题解析】 【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 利用凑微
13、分法和牛顿一莱布尼茨公式求解。【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 2ln2+1【试题解析】 由 z=（x+e y） x，故 z（x，0）=（x+1 ） x，则【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 设 an= x2n，则当满足条件 =2x21 时，即|x|，该幂级数是收敛的。因此，幂级数的收敛半径是 。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 xe 1x【试题解析】 此方程为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则有 ，所以原方程可化为 u+ =ulnu，u| x=1=1。解此微分方程得 ln | lnu 一 1 |=ln | C
14、1x|，去绝对值可得 lnu=C 1x+1，u= ，将 u|x=1=1 代入，得 C1=一 1，u=e 1x，因此原方程的解为 y=xe1x。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 y=C 1excosx+C2exsinx+ex，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应的特征方程为 r 22r+2=0， 解得其特征根为 r1，2 =1i。 由于=1 不是特征根，可设原方程的特解为 y*=Aex，代入原方程解得 A=1。因此所求的通解为 y=C 1excosx+C2exsinx+ex。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 由 f（x ）=
15、=0，可得，x=0，1。列表讨论如下：因此，f（x）的单调增加区间为（1，0）及（1，+），单调减少区间为（一，1）及（0，1）；极小值为 f（1）=f（1）=0，极大值为 f（0）=【知识模块】 微积分24 【正确答案】 构造辅助函数 F（x）=f （x）g（x），由题设有 F（a）=F（b）=0。又 f（x），g（x）在（a，b）内具有相等的最大值，不妨设存在x1x2，x 1，x 2（a ，b）使得若 x1=x2，令 c=x1，则 F（c）=0。若 x1x 2，因 F（x 1）=f（x 1） g（x 1）0 ，F（x 2）=f（x 2） g（x 2）0，从而存在 cx1，x 2 （a，b）
16、，使 F（c）=0。在区间a，c，c ，b上分别应用罗尔定理知，存在 1（a，c）， 2（c，b），使得 F（ 1）=F（ 2）=0。再对F（x）在区间 1， 2上应用罗尔定理知，存在 （ 1， 2） （a ，b），有F“（ ）=0 ，即 f“ （）=g“（）。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 使用分部积分法和换元积分法。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 因为 =f1（x+y ），f（x，y）+f 2（x +y），f（x，y）f 1（x，y），所以 =f11“（x+y），f（x，y）+f 12“（x+y），f（x，y）f 2（x，y）+f 21“（x+y ），f（x，y）f 1（x
17、，y）+f 22“（x+y），f（x，y）f 2（x，y）f 1（x，y）+f 2（x+y），f（x，y）f 12“（x，y），又因为f（1， 1）=2 是 f（u， ）的极值，故 f1（1，1）=0，f 2（1，1）=0。因此=f11“（2，2）+f 12“（2，2）f 2（1，1）+f 21“（2，2）f 1（1，1）+f22“（2，2）f 2（1，1） f1（1，1）+f 2（2，2）f 12“（1，1）=f 11“（2，2）+f2（2，2）f 12“（1，1）。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 根据已知【知识模块】 微积分28 【正确答案】 设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为所以收敛半径为 R=3，相应的收敛区间为（一 3，3）。当 x=3 时，因为且 发散，所以原级数在点 x=3 处发散；当 x=一 3 时，由于 且都收敛。所以原级数在点 x=一 3 处收敛。【知识模块】 微积分
