1、考研数学三（微积分）模拟试卷 140 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n与y n满足 xnyn=0，则下列判断正确的是（ ）（A）若x n发散，则y n必发散（B）若 xn无界，则y n必无界（C）若 xn有界，则y n必为无穷小（D）若 为无穷小，则y n必为无穷小2 设函数 f（x）= 在（一，+）内连续，且 f（x）=0，则常数 a，b 满足（ ）（A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b03 设 f（ x）在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f（0）=0 。则 （x）在 x=0 处（ ）
2、（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 （x）在 x=0 不连续（D）可导且 （x）在 x=0 连续4 设 y= f（x）在（a，b）可微，则下列结论中正确的个数是（ ） x 0（a，b），若 f（x 0）0，则x0 时 dy|xx0 与x 是同阶无穷小。 df（x）只与 x（a ，b）有关。 y=f（x+x） f（x），则 dyy。 x0 时，dy y 是x 的高阶无穷小。（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 f（ x）=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（ ）6 曲线 y=1x+（A）既有垂直又有水平与斜渐近线（B）仅有垂直渐近线（C）只有垂直与水平渐近线（D）只有垂直与斜
3、渐近线7 设 f（ x）= 0x（e costecost）dt，则（ ）（A）f（x）=f（x+2）（B） f（x）f（x + 2）（C） f（x） f（x +2 ）（D）当 x0 时，f（x）f（x +2 ）；当 x0 时，f（x）f（x+2）8 设 ，则 f（x，y）在点（0，0）处（ ）（A）不连续（B）连续但两个偏导数不存在（C）两个偏导数存在但不可微（D）可微9 设 D 为单位圆 x2+y21， I1= （x 2+ y3）dxdy，I 2= （x 4+y4） dxdy，I 3= （2x 6+y5）dxdy，则（ ）（A）I 1I 2 I3（B） I3I 1I 2（C） I3I 2I
4、1（D）I 1I 3 I210 设区域 D 由曲线 y= sinx，x= ，y=1 围成，则 （x 5y1）dxdy=（ ）（A）（B） 2（C） 2（D）11 如果级数 （a n+bn）收敛，则级数 bn（ ）（A）都收敛（B）都发散（C）敛散性不同（D）同时收敛或同时发散12 已知 y1（x）和 y2（x）是方程 y+p（x）y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为（ ）（A）y=Cy 1（x）（B） y=Cy2（x）（C） y=C1y1（x）+C 2y2（ x）（D）y=Cy 1（x）一 y2（ x）二、填空题13 设 f（x）= ，则 f（x）=_。14 设有界函数 f（x）在（c，+
5、 ）内可导，且 f（x）=b，则 b=_。15 已知f（x 3）dx=x 3+C（ C 为任意常数），则 f（x）=_。16 已知 ek|x|dx=1，则 k=_。17 将 01dy0yf（x 2+y2）dx 化为极坐标下的二次积分为=_ 。18 交换积分次序19 无穷级数 的收敛区间为_。20 微分方程 满足 y|x=1=1 的特解为_。21 二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y+3y=2e2x 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 23 设 f（x）为 a，a上的连续偶函数且 f（x）0，令 F（x）= aa|xt|f（t ）dt。 （）证明 F（x）
6、单调增加； （）当 x 取何值时， F（x）取最小值； （）当 F（ x）的最小值为 f（a）a 21 时，求函数 f（x）。24 假设函数 f（x）和 g（x）在a ，b上存在二阶导数，并且 g“（x）0，f（a）=f（b） =g （a）=g（b）=0 ，试证：（）在开区间（ a，b）内 g（x）0；（）在开区间（a，b）内至少存在一点 ，使25 设 f（x）在a，b上有二阶连续导数，证明 abf（x）dx= （ba ）f（a）+f（b）+ abf“（x）（x 一 a）（x 一 b）dx26 设 z= f（xy，yg（x），其中函数厂具有二阶连续偏导数，函数 g（x）可导，且在 x=1 处取
7、得极值 g（1）=1 ，求27 求二重积分 （xy）dxdy，其中 D=（x，y）|（x1） 2+（y1） 22，y x。28 设区域 D=（x，y|x 2+y21，x0 ，计算二重积分29 求幂级数 在区间（一 1，1）内的和函数 S（x）。考研数学三（微积分）模拟试卷 140 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 xn=n，y n=0，显然满足 xnyn=0，由此可排除 A、B。若取xn=0， yn=n，也满足 xnyn=0，又排除 C，故选 D。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 因 f（x）连续，
8、故 a+ebx0，因此只要 a0 即可。再由可知 x一时，a+e bx 必为无穷大（否则极限必不存在），此时需 b0，故选 D。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为因此，（x）在 x=0 连续。故选 D。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 逐一分析。正确。因为 =f（x 0）0，因此x0 时 与x 是同阶无穷小。错误。df（x）=f（x）x，df （x）与 x（ a，b）及x 有关。 错误。当 y= f（x）为一次函数，f（x）=ax+b，则dy=ax=y。正确。由可微概念知 f（x+Ax ）f（x）=f（x）x +o（x）（x0），即y dy=o （
9、x）（x0）。故选 B。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 f（x）=smx+xcosx sinx=xcosx，因此 又f“（x）= cosx xsinx，且 故 f（0）是极小值，是极大值。应选 B。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为（一，3） （0，+），且只有间断点 x=一3，又 =+，因此 x=3 是垂直渐近线。x0 时，因此，y= 2x+ 是斜渐近线（x一 ）。故选 A。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 考查 f（x +2）f（x）= xx+2（e costecost）dt ，被积函数以 2 为周期且为偶函
10、数，由周期函数的积分性质得 f（x+2）f（x）= （e costecost）dt=2 0（e costecost）dt 20（e costecost）du，因此，f（x+2） f（x ）=0，故选 A。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 f（x，y）一 f（0，0）+ 2x y=o（），（当（x ，y）（0，0）时）即 f（x，y） f（0，0）= 2x+y+o（），由微分的定义可知 f（x，y）在点（0，0）处可微，故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，y 3 是 y的奇函数，则
11、I1= （x 3+y3）dxdy=0， y5dxdy=0，积分区域 D 关于直线 y=x 对称，从而由轮换对称性可得 I3= x6dxdy= （x 6+ y6）dxdy，由于在 D 内|x|1，|y|1，则 x6+y6x4+y4，则 0 （x 6+y6）dxdy （x 4+y4）dxdy，从而有 I1I 3I 2。故选 D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 区域 D 如图 148 中阴影部分所示，引入曲线 y=sinx 将区域分为 D1，D 2，D 3，D 4 四部分。由于 D1，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D1D2 上关于 x的奇函数积分为零，故 x5ydxdy=
12、0；又由于 D3，D 4 关于 x 轴对称，可知在D3D4 上关于 y 的奇函数为零，故 x5ydxdy=0。因此，故选 D。【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 由于 an=（a n+bn）一 bn，且 （a n+bn）收敛，当 bn 收敛时，an 必收敛；而当 bn 发散时， an 必发散，故选 D。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1（x）和 y2（x）是方程 y+p（x）y=0 的两个不同的特解，则y1（x）一 y2（x）为该方程的一个非零解，则 y=Cy1（x）一 y2（x）为该方程的解。【知识模块】 微积分二、填空题13 【正确答案】
13、 （1+3x）e 3x【试题解析】 因为 因此有 f （x） = e3x+xe 3x3=（1+3x）e 3x。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 0【试题解析】 因 f（x）在（c，+ ）可导，则 f（x）在（c，+）内有界，故=0。又因 所以 b=0。【知识模块】 微积分15 【正确答案】 +C，C 为任意常数【试题解析】 对等式f（x 3）dx=x 3+C 两边求导，得 f（x 3）= 3x2。令t=x3（x= ），则 f（t）= +C，C 为任意常数。【知识模块】 微积分16 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件，1= +ek|x|dx=20+ekxdx=2 ekx|0b。已知要
14、求极限存在，所以 k0。于是有 1=0 ，因此后= 2。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 如图 14 9 所示，则有【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知，积分区域如图 1413 所示，则有【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 幂级数的系数为 因此，幂级数 的收敛半径为 ，收敛区间为 。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 令 u= ，则原方程变为两边积分得 因此 ，将 y|x=1=1 代入上式得 C=e。故满足条件的方程的特解为ex=【知识模块】 微积分21 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2x，
15、C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 特征方程为 r2 一 4r+3=0，解得 r1=1，r 2=3。 则对应齐次线性微分方程 y“一 4y+3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x。 设非齐次线性微分方程 y“一4y+3y=2e2x 的特解为 y*=ke2x，代入非齐次方程可得 k=一 2。 故通解为 y=C1ex+C2e3x 一 2e2x，C 1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 由已知条件有所以原式极限为 1。【知识模块】 微积分23 【正确答案】 （）F（x）= aa|x 一 t|f（t）dt= ax（x
16、 一 t）f（t）dt+ xa（t 一x）f（ t）dt =x axf（t）dt 一 axtf（t）dt+ xatf（t） dt xxaf（t ）dt =xaxf（x）dt一 axtf（t）dt axtf（t）dt+x axf（t）dt， F（x）=f （t）dt+xf（x）一 xf（x）一xf（x） + axf（t）dt+xf（x）= axf（t）dt 一 xaf（t ）dt。 所以 F“（x）=2f（x）0，因此 F“（x）为单调增加的函数。 （）因为 F（0）= a0f（x）dx 一0af（x）dx，且 f（x）为偶函数，所以 F（0）=0，又因为 F“（0） 0，所以 x=0为 F（x
17、）的唯一极小值点，也为最小值点，且最小值为 F （0）= aa|t|（t ）dt=20atf（t） dt。 （）由 20atf（t）dt= f （a）一 a21，两边求导得 2af（a ）=f（ a）一 2a， 于是 f（x）2xf（x）=2x， 解得 f（x）=2xe 2xdxdx+Ce2xdx=Cex21。 在 20atf（t）dt=f（a ）一 a21 中令 a=0 得 f（0）=1 ，则 C=2，于是 f（x ）= 2ex 21。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 （）利用反证法。假设存在 c（a，b），使得 g（c）=0，则对 g（x）在a，c和c ，b上分别应用罗尔定理，可知存
18、在 1（a，c ）和2（c，b），使得 g（ 1）=g（ 2）=0 成立。接着再对 g（x）在区间 1， 2上应用罗尔定理，可知存在 3（ 1， 2），使得 g“（ 3）=0 成立，这与题设条件g“（ x） 0 矛盾，因此在开区间（ a，b）内 g（x）0。（）构造函数 F（x）=f（x）g（x ）g（x）f（x），由题设条件得，函数 F（x）在区间a，b上是连续的，在区间（a ，b）上是可导的，且满足 F（a）=F（b）=0。根据罗尔定理可知，存在点 （a，b），使得 F（）=0 。即 f（）g“（ ）一 f“（）g（ ）=0，因此可得【知识模块】 微积分25 【正确答案】 连续利用分部积分
19、法有 abf（x）dx= abf（x）d（x 一 b）=f（a）（ba）一 abf（x）（x 一 b）d（x 一 a）=f （a）（b a）+ ab（x 一 a）df（x）（x 一 b）=f（a）（b 一 a）+ ab（x 一 a）df（x）+ abf“（x）（x 一 a）（x 一 b）dx=f（a）（ba）+f（b）（b 一 a）一 abf（x）dx+ abf（x）（x 一 a）（x 一 b）dx，移项并整理后得 abf（x）dx= （b 一 a）f（a）+f（b）+ abf“（x）（x 一a）（x 一 b） dx。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意 =f1（xy，yg（x）y+
20、f 2（xy，yg（x）yg（x），=f11“（xy，yg（x）xy+f 12“（xy，yg（x）yg（x）+f 1（xy，yg（x）+f21“（xy，yg（x）xyg（x）+f 22“（xy，yg（x）yg（x）g （x）+f2（xy，yg（x）g （x）由 g（x）在 x=1 处取得极值 g（1）=1，可知 g（1）=0。故 |x=1，y=1 = f11“（1，1） +f 12“（1，1） +f 1（1，1）。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由已知条件，积分区域 D=（x，y）|（x 一 1） 2+（y1）22，yx。由（x1） 2+（y1） 22，得 r2（sin+cos），于是【知识模块】 微积分28 【正确答案】 积分区域 D 如图 14 22 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 f（x ，y）= 是变量 y 的偶函数，函数 g（x，y）= 是变量 y的奇函数。则取 D1=Dy0，【知识模块】 微积分29 【正确答案】 设 S （x ）=则 S（x）=S 1（x）一S2（x），x（一 1，1）。由于又由于S1（0）=0，故 因此 S（x）=S1（x）一 S2（x）=【知识模块】 微积分
